2023年陕西省联盟学校高考数学三模试卷（文科）

2023年陕西省联盟学校高考数学三模试卷（文科）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知复数满足，在复平面内对应的点在第二象限，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了株该农作物苗，经测量，其高度单位：均在区间内，按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于的为“优质苗”则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知等比数列的前项和为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知：，：，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中所有正确的命题是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数，则下列正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 的值域为

11.  已知定点，直线：与抛物线交于两点，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  设函数的零点为，，，表示不超过的最大整数，有下述四个结论：
函数在上单调递增；
函数与有相同零点；
函数有且仅有一个零点，且；
函数有且仅有两个零点，且．
其中所有正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  已知，，，则与的夹角为        ．

14.  从边长为的正六边形的各个顶点中，任取两个顶点连成线段，则该线段长度为的概率为        ．

15.  如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，点，是底面弧的两个三等分点，则与所成角的正切值为        ．

16.  已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ ．

17.  九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文的了解和重视，组织全校高三学生进行了“创文知多少”知识竞赛满分，现从中随机抽取了文科生、理科生各名同学，统计他们的知识竞赛成绩分布如下：

在得分小于分的学生样本中，按文理科类分层抽样抽取名学生．
求抽取的名学生中文科生、理科生各多少人；
从这名学生中随机抽取名学生，求抽取的名学生中至少有一名文科生的概率．
如果得分大于等于分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关？
参考数据：

，其中．

18.  在中，已知．
求角的值；
求边长的值．

19.  如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，．
证明：平面平面；
若，，，求三棱锥的体积．

20.  已知函数．
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
证明：当时，没有零点．

21.  已知直线与抛物线交于，两点，且，，为垂足，点的坐标为．

求的方程；

若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．

22.  在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线的极坐标方程；
设射线：和射线分别与曲线交于，两点，求面积的最大值．

23.  设，，，，，均不为零，且．
证明：；
求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查交集与并集的求法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
先解不等式化简集合，由此能求出和．

【解答】

解：集合，，
，
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：设复数，且，，则，
由，可得，
解得舍，，
所以，
故选：．
设复数，建立方程求出，的值，进而可以求解结论．
本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图知，高度不低于的频率为，
所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为．
故选：．
根据频率分布直方图求高度不低于的频率和频数即可．
本题考查了利用频率分布直方图求频率和频数的应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若前项和为，，则有，解可得：，
则，
故选：．
根据题意，设等比数列的公比为，分析可得有，解可得和的值，即可得数列的通项公式，计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：令，，
且，
故为奇函数，时，递增，则也递增，
又为奇函数，则在上递增，，若，则，
则，即
即；，若，
则等价于，即，
由在上递增，则，即，
故是的充要条件，
故选：．
令，结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，
得的图象．
又在上为增函数，故，且，又，
解得，
故的最大值为，
故选：．
依题意，利用函数的图象变换规律可得，再根据在上为增函数，列式可求得的最大值．
本题主要考查函数的图象变换规律及正弦函数的单调性，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A符合图象；
对于，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B不符题意；
对于，函数，定义域为，
因为，故C不符题意；
对于，当时，，故D不符题意．
故选：．
根据函数的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判断即可．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，，，知：
在中，若，则由线面垂直的判定定理得，故正确；
在中，若，则与平行或相交，故错误；
在中，若，则由面面垂直的判定定理得，故正确；
在中，若，则与相交或平行，故错误．
故选：．
在中，由线面垂直的判定定理得；在中，与平行或相交；在中，由面面垂直的判定定理得；在中，与相交或平行．
本题考查命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可．

【解答】

解：由题意可知，
所以，，所以，
，所以，
所以：，可得．
所以双曲线的离心率为：．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：对选项A，，，故A错误；
对选项B，，，故B正确；
对选项C，因为，所以，，故C错误；
对选项D，当时，，函数的值域为，
当时，，，函数的值域为，
又因为时，，是周期为的函数，
所以当时，函数的值域为，
综上，函数的值域为，故D正确，
故选：．
根据分段函数的解析式，将，，即可判断，分和两种情况，求解函数值域，即可判断．
本题考查的知识点是分段函数的应用和抽象函数的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，，
联立，
由题意得，故，
则，
又，
则，即，解得，
则，
则．
故选：．
设，，联立直线与抛物线的方程，求得，，，由可得，求出，利用弦长公式即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，，
，
令，
则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，故正确；
显然不是零点，
令，
令，则有，
所以在上，与有相同零点，故正确；
在上，，
所以在上单调递增，在上也单调递增，
而，，
，使，
又，，
，使，
在上只有两个零点、，
也即在上只有两个零点为、，
且，故错误，正确．
所以说法正确有，共个．
故选：．
对，对函数求导，通过判断在的正负，从而判断得函数在上单调递增；
对，可直接判断出函数与在上有相同零点；
对和，对函数求导可判断出在和上单调递增，再利用零点存在定理判断出函数在和上存在零点．
本题考查了函数的零点、导数的应用，也考查了转化思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，，
，，，．
故答案为：．
运用向量的平方即为模的平方，求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如下图所示，在边长为的正六边形中，

任取两个顶点连成线段，所有的线段有：、、、、、、、、、、、、、、，共条，
其中长度为的线段有：、、，共条，
故所求概率为．
故答案为：．
列举出所有的线段，并列举出长度为的线段，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、，则底面圆，因为底面圆，所以，
又因为，所以，所以是异面直线与所成的角，
计算．
故答案为：．
取的中点，连接、，证明，，是异面直线与所成的角，计算即可．
本题考查了异面直线所成的角计算问题，解题的关键是找角，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，满足上式，
所以．
所以，
所以，
由，可得，即，
因为函数在单调递增，
所以当时，有最小值为，
所以，所以，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
利用，的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围．
本题主要考查数列的求和，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：得分小于分的学生中，文科生与理科生人数分别为：和，比例为：，
所以抽取的人中，文科生人，理科生人．
这名学生有人是文科生，记这两人为，，人是理科生，记这三人为，，，
随机抽取两名同学人包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，共个，
其中至少有一名文科生情况有种：，，，，，，，
因此抽取的名学生至少有一名文科生的概率为 ；
由题中数据可得如下联表：

则，
所以没有的把握认为获“创文竞赛优秀奖“与文理科类有关． 

【解析】求出抽取的人中文科生人，理科生人，再利用列举法求出概率作答；
先列联表，求出的观测值，再与临界值表比对作答．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：在中，由，，，
得．
由正弦定理得，
所以，故；
又因为为钝角，所以
在中，．
由余弦定理得：

所以． 

【解析】利用同角三角函数基本关系及正弦定理可求解；
利用两角差的余弦公式结合余弦定理求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】证明：如图，设平面于点，过作于，于，连接，，
平面，平面，
，
又，平面，，
同理，
在，中，，，
≌，，
在，中，，，
≌，，即到，的距离相等，
同理到，的距离相等，故为的内心，与重合，
平面，
又平面，平面平面．
解：由已知可得，设的内切圆半径为，
则，故，
为的内心，平分，，，，，
故的面积为，
因为，，，，得，
，，
故三棱锥的体积为． 

【解析】设平面于点，过作于，于，连接，，通过全等三角形及角平分线性质可证与重合，从而可证平面平面；
由知平面，且由已知可求长度，再由角平分线性质可求面积，从而可求三棱锥的体积．
本题主要考查面面垂直的证明，棱锥体积的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，
则，
因为，，
故曲线在点处的切线方程为，
即，
因为该切线在，轴上的截距分别为和，
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
证明：当时，因为，
所以，，
令，，则，，
因为，，所以，
所以在上单调递增，
又，，
故在上有唯一的零点，即，因此有．
当时，，即；当时，，即即．
所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．
由，得，
所以在时，，
因为，所以，又因为当时，，
所以．
所以．
因此当时，没有零点． 

【解析】求出导函数后计算斜率，再计算，然后写出切线方程，求出其在坐标轴上的截距后可得三角形面积；
求出导函数，引入新函数，，由导数确定的零点的存在，从而得出的正负，得的最小值，然后证明这个最小值大于即可证．
本题主要考查了导数的几何意义及函数零点的判断，证明函数无零点问题，可利用导数求出函数的最小值或最大值，然后证明最小值大于或最大值小于即可，难点在于函数的最值点不能具体地求出，
 

21.【答案】解：设点的坐标为，点的坐标为，
因为，所以，则直线的方程为，
联立方程组，消去，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得，
所以的方程为．
由，得，所以，
设过点作抛物线的切线的切点为，
则相应的切线方程为，即，
设点，由切线经过点，得，即，
设，，则，是的两实数根，
可得，．
设是的中点，则相应，
则，即，
又，
直线的方程为，即，
所以直线恒过定点． 

【解析】设点的坐标为，点的坐标为，根据题意可得到直线的方程，联立抛物线的方程，整理可得到关于含参的一元二次方程，从而得到，，再根据，代入即可求解的值，进而得到的方程；
结合中抛物线，得，设过点作抛物线的切线的切点为，则可得到过点的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，则得到，，进而得到的中点的坐标，，从而得到直线的方程，进而得到直线恒过的定点．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：易知曲线的普通方程：，
因为，，
所以曲线的极坐标方程为：，即；
由题意及知，，
，
因为，则，
所以当，即时，的面积最大，最大值是． 

【解析】先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；
求出，，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
 

23.【答案】证明：依题意，，且，，均不为零，
则，
所以．
解：因为，
当且仅当，即，，时取等号，因此，
所以的最小值为． 

【解析】根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答．
利用柯西不等式求解最小值作答．
本题主要考查不等式的证明，柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．