2022-2023学年广东省汕头市育能重点学校高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年广东省汕头市育能重点学校高一（下）期中

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  化简(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，那么复数等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知命题：，，则是(    )

A. ， B. ，
C.  D.

5.  (    )

A.  B.  C.  D.

6.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  为得到函数的图象，只需将的图象(    )

A. 先将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B. 先将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变
D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变

10.  已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 与的夹角为

11.  记函数，，其中若，则(    )

A.  B.
C. 为奇函数 D. 为奇函数

12.  已知正实数，，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数，则______．

14.  在中，若，，，则 ______ ．

15.  已知，则的值为           ．

16.  已知，且，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，
求，的值；
求的值．

18.  本小题分
已知平面向量，，，，且与的夹角为．
求；
若与垂直，求的值．

19.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的值．

20.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知
求；
若，求的面积的最大值

21.  本小题分
已知幂函数的图像经过点．
求的解析式；
设，利用定义证明函数在区间上单调递增．

22.  本小题分
某医药研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数是常数的图象，且，．
写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式；
据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
若按中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过，该人每毫升血液中药物含量为多少精确到？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

根据集合的基本运算即可．
本题主要考查集合的基本运算，是基础题．

【解答】

解：，，，

则，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：．
故选D．
利用向量的三角形法则即可得出．
熟练掌握向量三角形法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由已知
故选：．
利用复数的加减运算法则、直接求出
本题考查了复数的加减运算法则，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：命题：，，则是：．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

5.【答案】 

【解析】解：




．
故选：．
利用诱导公式，两角差的正弦公式化简所求即可求解．
本题考查了诱导公式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数值大小的比较，此类题一般借助单调性进行比较，由于本题中三个数太接近，不好直接比较，转化为它们的四倍进行比较是解答本题的关键，属于中档题．
三个数，，太接近，不易找中间量比较大小，可采取放大法，比较，，的大小，从而得出答案

【解答】

解：由题意，可得，可得，
又，可得，又，
综上得．
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数关系式与两角差的余弦公式，是基础题．
，根据同角三角函数关系式与两角差的余弦公式，计算即可．

【解答】

解：因为，所以，，
又，
所以，
，
所以


．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：因为恒成立，
所以恒成立，
，
当且仅当时取等号，
．
故选：．
由题意得恒成立，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，还考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：只需将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，
再将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，可得函数的图象．
或者，将的图象先将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，可得的图象，
再向右平移个单位长度，可得函数的图象，
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
，
与的夹角为，故BC正确．
故选：．
利用向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由于函数满足，
所以函数的对称轴满足，
故，
由于，
当或时，所以或．
故或；
对于：，故A错误；
对于：，故B正确；
对于：当或时，不满足奇函数，故C错误；
对于：当满足满足奇函数，当或时，满足奇函数，故D正确．
故选：．
直接利用函数的性质确定函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则，
，，，
对于选项A：
，故选项A错误，
对于选项B：
，，
，故选项B正确；
对于选项C：
，同理，，
，函数在上单调递增，
，
即，故选项C正确，
对于选项D：，，
，
，即，
，故选项D正确，
故选：．
设，则，，，，利用换底公式可判断，，利用换底公式可得，同理，，利用函数的单调性即可判断，由，，利用作差法结合完全平方公式比较，的大小，即可判断．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，同时考查了换底公式和对数的运算性质，以及基本不等式的应用，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据分段函数求值即可．
考查分段函数求值，基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】由与的度数求出的度数，再由，，以及的值，利用正弦定理即可求出的值．
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
【解答】
解：在中，，，，
，
利用正弦定理
得：．
故答案为：  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

原式分子分母除以，利用同角三角函数间基本关系弦化切后，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

【解答】

解：，
原式．
故答案为：

16.【答案】 

【解析】解：当时，，则，
因为对任意的，都存在，使得成立，
因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值，
而当时，，，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答．
本题考查了函数的恒成立问题，考查了初等函数的最值问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
则，
；
． 

【解析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解；
根据已知条件，结合余弦函数的两角和公式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据题意，，，与的夹角为，
则，
则有；
若与垂直，
则，
即，
，解可得：；
故． 

【解析】根据题意，由数量积的运算性质可得，由此变形计算可得答案；
根据题意，由向量垂直的判断方法可得，代入数据计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 

19.【答案】解：已知等式，
由正弦定理化简得：，
即，
在中，，
，；
，；
由余弦定理得：
，
代入得
． 

【解析】利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为求出的值，即可确定出的度数；
利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将，以及的值代入求出的值．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用这两个定理完成了边角问题的互化．
 

20.【答案】解：，
由正弦定理可得：，
，
，可得，
由，可得．
由余弦定理可得：，可得：，
解得：，当且仅当时取等号，
，的面积的最大值． 

【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得的值．
由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．
 

21.【答案】解：设为常数，
幂函数的图像经过点，
，
，
；
证明：，，
任取，，且，
则，
，，且，
，，，
，即，
函数在区间上单调递增． 

【解析】利用待定系数法求解；
利用函数单调性的定义证明．
本题主要考查了幂函数的定义，考查了函数单调性的证明，属于基础题．
 

22.【答案】解：当时，；
当时，把，代入，是常数，
得，解得，故．
设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中，
则，解得，
即第一次注射药物后开始第二次注射药物，即最迟点注射药物．
解：第二次注射药物后，
每毫升血液中第一次注射药物的含量，
每毫升血液中第二次注射药物的含量，
所以此时两次注射药物后的药物含量为．
故该人每毫升血液中药物含量为． 

【解析】根据函数图象分段求解函数解析式即可；
根据题意列出不等式，求解出答案；
分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．