上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题基础题

这是一份上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题基础题，共51页。
上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题基础题
【考点目录】
一．三角函数的周期性（共1小题） 1
二．三角函数中的恒等变换应用（共1小题） 2
三．根据实际问题选择函数类型（共1小题） 2
四．数列的求和（共3小题） 2
五．利用导数研究函数的单调性（共1小题） 3
六．利用导数研究函数的极值（共2小题） 3
七．利用导数研究函数的最值（共1小题） 3
八．平面向量数量积的性质及其运算（共2小题） 4
九．解三角形（共4小题） 4
一十．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题） 4
一十一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题） 5
一十二．直线与平面所成的角（共1小题） 5
一十三．二面角的平面角及求法（共2小题） 6
一十四．点、线、面间的距离计算（共2小题） 6
一十七．独立性检验（共2小题） 9
【专题练习】
一．三角函数的周期性（共1小题）
1．（1）求简谐振动y＝sinx+cosx的振幅、周期和初相位φ（φ∈[0，2π））；
（2）若函数在区间（0，m）上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
（3）设a＞0，f（x）＝sinax﹣asinx，若函数y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，求实数a的取值范围．
二．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
2．已知函数y＝f（x）的表达式为．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期及图像的对称轴的方程；
（2）求函数y＝f（x）在上的值域．
三．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
3．如图，某国家森林公园的一区域OAB为人工湖，其中射线OA、OB为公园边界．已知OA⊥OB，以点O为坐标原点，以OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）．曲线AB的轨迹方程为：y＝﹣x2+4（0≤x≤2）．计划修一条与湖边AB相切于点P的直路l（宽度不计），直路l与公园边界交于点C、D两点，把人工湖围成一片景区△OCD．
（1）若P点坐标为（1，3），计算直路CD的长度；（精确到0.1千米）
（2）若P为曲线AB（不含端点）上的任意一点，求景区△OCD面积的最小值．（精确到0.1平方千米）

四．数列的求和（共3小题）
4．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，an+1＝Sn（n为正整数）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，若bm+bm+1+bm+2+…+bm+9＝145，求正整数m的值．
5．已知数列{an}是首项为9，公比为的等比数列．
（1）求的值；
（2）设数列{log3an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值，并指出Sn取最大值时n的取值．
6．已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＝2an﹣1+3（正整数n≥2）．
（1）求证：数列{an+3}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
五．利用导数研究函数的单调性（共1小题）
7．设f（x）＝ex，g（x）＝lnx，h（x）＝sinx+cosx．
（1）求函数y＝，x∈（﹣π，3π）的单调区间和极值；
（2）若关于x不等式f（x）+h（x）≥ax+2在区间[0，+∞）上恒成立，求实数a的值；
（3）若存在直线y＝t，其与曲线y＝和y＝共有3个不同交点A（x1，t），B（x2，t），C（x3，t）（x1＜x2＜x3），求证：x1，x2，x3成等比数列．
六．利用导数研究函数的极值（共2小题）
8．若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值，且f（x0）＝λx0（常数λ∈R），则称x0是函数y＝f（x）的“λ相关点”．
（1）若函数y＝x2+2x+2存在“λ相关点”，求λ的值；
（2）若函数y＝kx2﹣2lnx（常数k∈R）存在“1相关点”，求k的值：
（3）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝ax3+bx2+cx（常数a、b、c∈R且a≠0），若函数y＝f（x）有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点P（1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数a的取值范围．
9．设y＝f（x）、y＝g（x）是定义域为R的函数，当g（x1）≠g（x2）时，
记．
（1）已知y＝g（x）在区间I上严格增，且对任意x1，x2∈I，x1≠x2，有δ（x1，x2）＞0，
证明：函数y＝f（x）在区间I上严格增；
（2）已知，且对任意x1，x2∈R，当g（x1）≠g（x2）时，有δ（x1，x2）＞0，若当x＝1时，函数y＝f（x）取得极值，求实数a的值；
（3）已知g（x）＝sinx，，，且对任意x1，x2∈R，当g（x1）≠g（x2）时，有|δ（x1，x2）|≤1，证明：f（x）＝sinx．
七．利用导数研究函数的最值（共1小题）
10．已知函数．（其中a为常数）．
（1）若a＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a＜0时，求函数y＝f（x）的最小值；
（3）当0≤a＜1时，试讨论函数y＝f（x）的零点个数，并说明理由．
八．平面向量数量积的性质及其运算（共2小题）
11．已知向量，，．
（1）求函数y＝f（x）的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角，且，f（A）＝1，BC＝2，求边AC的长．
12．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，＝0．
（1）求角B大小；
（2）设，当时，求f（x）的最小值及相应的x．
九．解三角形（共4小题）
13．在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，C＝45°．
（1）若，求c；
（2）若B﹣A＝15°，求△ABC的面积．
14．在△ABC中，．
（1）求sinC的值；
（2）若AB＝4，求△ABC的周长和面积．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA＝sin2B，a＝4，b＝6．
（1）求cosB的值；
（2）求△ABC的面积．
16．在锐角△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且．
（1）求角B；
（2）求cosA+cosB+cosC的最大值．
一十．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）
17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E、F分别是棱BC和CC1的中点．
（1）判断直线AE与D1F的关系，并说明理由；
（2）若直线D1E与底面ABCD所成角为，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的全面积．

一十一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
18．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，若AD＝2，AF＝AB＝BC＝FE＝1．
（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面CDE⊥平面AMD．

一十二．直线与平面所成的角（共1小题）
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，∠ADC＝45°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的大小．

一十三．二面角的平面角及求法（共2小题）
20．如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD，AB＝AE＝BC＝2，AD＝4，F、H分别为ED、EA的中点．
（1）求证：BH∥平面AFC；
（2）求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且BE＝AB．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P﹣CE﹣A的余弦值．

一十四．点、线、面间的距离计算（共2小题）
22．如图，多面体A1C1D1ABCD是由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1沿平面A1BC1截去一角所得到在棱A1C1上取一点E，过点D1，C，E的平面交棱BC1于点F．
（1）求证：EF∥A1B；
（2）若C1E＝2EA1，求点E到平面A1D1CB的距离以及ED1与平面A1D1CB所成角的大小．

23．四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
（1）求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）证明：OE∥平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．

一十五．离散型随机变量及其分布列（共1小题）
24．已知一个随机变量X的分布为：．
（1）已知，求a、b的值；
（2）记事件A：X为偶数；事件B：X≤8．已知，求P（B），P（A∩B），并判断A、B是否相互独立？
一十六．离散型随机变量的期望与方差（共5小题）
25．某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元．假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元．根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关．为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：
每天的浏览量
（0，1）
[1，+∞）
每晚7点前的购买量
300
900
天数
36
24
以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率．
（1）求4月份草莓每晚7点前的购买量X（单位：盒）的分布；
（2）设4月份销售草莓一天的利润为Y（单位：元），一天的进货量为n（单位：盒），n为正整数且n∈[600，900]，当n为多少时，Y的期望达到最大值，并求此最大值．
26．为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．
（1）在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；
（2）在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．
27．概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛．请解决下列两个问题．
（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天．某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处．设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望．
（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话．其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人．
根据上述信息写出下面这张2×2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验．（显著性水平α＝0.05）

习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
a
b
42
脑瘤部位在右侧的病人
c
d
46
总计
a+c
b+d
88
参考公式及数据：K，其中，n＝a+b+c+d，P（K2≥3.841）≈0.05．
28．在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件A表示试验者的检测结果为阳性，事件B表示试验者患有此疾病．据临床统计显示，P（A|B）＝0.99，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为0.001．（下列两小题计算结果中的概率值精确到0.00001）
（1）对该地某人进行抗原检测，求事件A与同时发生的概率；
（2）对该地3个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量X表示检测结果为阳性的人数，求X的分布和期望．
29．现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
（1）求取到的白球数不少于2个的概率；
（2）设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
一十七．独立性检验（共2小题）
30．将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．

（1）请列出2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
附：．
P（x2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
31．李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：

（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：

超过M
不超过M
上班时间


下班时间


（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05

上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题基础题
参考答案与试题解析
一．三角函数的周期性（共1小题）
1．（1）求简谐振动y＝sinx+cosx的振幅、周期和初相位φ（φ∈[0，2π））；
（2）若函数在区间（0，m）上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
（3）设a＞0，f（x）＝sinax﹣asinx，若函数y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，先对函数y化简，再结合振幅、周期、初相的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解；
（3）根据已知条件，先对f（x）求导，再对a分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1），
所以振幅为，周期为2π，初相为．
（2），
设，则，
当时，y取得极大值，
由题意，方程在区间（0，m）上有唯一解，
所以，得，
故m的取值范围为；
（3）f'（x）＝acosax﹣acosx，
当0＜a＜1时，
因为0＜x＜π，
所以0＜ax＜x＜π，
进而cosax＞cosx，f'（x）＝a（cosax﹣cosx）＞0，
此时，y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，
当a＝1时，f（x）＝0，不是严格增函数；
当a＞1时，设，则0＜x＜ax＜π，进而cosx＞cosax，f'（x）＜0，
此时，y＝f（x）在区间上是严格减函数，
综上，若函数y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，则0＜a＜1，
故a的取值范围为（0，1）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及三角函数的周期性，属于中档题．
二．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
2．已知函数y＝f（x）的表达式为．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期及图像的对称轴的方程；
（2）求函数y＝f（x）在上的值域．
【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，化简f（x），再结合正弦函数的性质，即可求解；
（2根据已知条件，结合x的取值范围，以及三角函数的有界性，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝＝，
则函数f（x）的最小正周期为，
令，得，
故函数f（x）的对称轴方程为；
（2）由（1），
∵，
∴，
∴，
∴，
故f（x）在上的值域为．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
三．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
3．如图，某国家森林公园的一区域OAB为人工湖，其中射线OA、OB为公园边界．已知OA⊥OB，以点O为坐标原点，以OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）．曲线AB的轨迹方程为：y＝﹣x2+4（0≤x≤2）．计划修一条与湖边AB相切于点P的直路l（宽度不计），直路l与公园边界交于点C、D两点，把人工湖围成一片景区△OCD．
（1）若P点坐标为（1，3），计算直路CD的长度；（精确到0.1千米）
（2）若P为曲线AB（不含端点）上的任意一点，求景区△OCD面积的最小值．（精确到0.1平方千米）

【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；
（2）利用切线方程与导数的关系求出点P处的切线方程，从而表示出△OCD的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解．
【解答】解：（1）因为y＝﹣x2+4（0≤x≤2），所以y′＝﹣2x，所以y′|x＝1＝﹣2，
所以由点斜式可得y﹣3＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+5，
令x＝0，解得y＝5，令y＝0，解得，
所以，
所以；
（2）设P（t，﹣t2+4），0＜t＜2，
则由（1）可知y′|x＝t＝﹣2t，
所以CD的直线方程为y+t2﹣4＝﹣2t（x﹣t），
整理得y＝﹣2tx+t2+4，
令x＝0，解得y＝t2+4，令y＝0，解得，
所以，
设，
，
令f′（t）＞0，即3t2﹣4＞0，解得，
令f′（t）＜0，即3t2﹣4＜0，解得，
所以函数f（t）在单调递减，单调递增，
所以，
所以景区△OCD面积的最小值为6.2km2．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
四．数列的求和（共3小题）
4．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，an+1＝Sn（n为正整数）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，若bm+bm+1+bm+2+…+bm+9＝145，求正整数m的值．
【分析】（1）由已知可得an+1＝2an，（n≥2），又a2＝S1＝a1＝2，则，得解；
（2）由（1）可得，然后讨论当m＝1时和m≥2时两种情况，结合等差数列的通项公式求解即可．
【解答】解：（1）已知a1＝2，an+1＝Sn（n为正整数），
则an＝Sn﹣1，（n≥2），
两式相减可得an+1﹣an＝an，
即an+1＝2an，（n≥2），
又a2＝S1＝a1＝2，
则；
（2）因为bn＝log2an，
所以，
又bm+bm+1+bm+2+…+bm+9＝145，
当m＝1时，b1+b2+b3+…+b10＝，
即m＝1不满足题意，
即m≥2，
则bm+bm+1+bm+2+…+bm+9＝，
即m＝22，
即正整数m的值22．
【点评】本题考查了利用数列的递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属基础题．
5．已知数列{an}是首项为9，公比为的等比数列．
（1）求的值；
（2）设数列{log3an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值，并指出Sn取最大值时n的取值．
【分析】（1）由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，然后结合等比数列的前n项和公式求解即可；
（2）由题意可得＝3﹣n，然后结合等差数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：（1）已知数列{an}是首项为9，公比为的等比数列，
则数列是以为首项，3为公比的等比数列，
即＝＝；
（2）由题意可得，
则＝3﹣n，
则＝＝，
又n∈N+，
则当n＝2或n＝3时，Sn取最大值3．
【点评】本题考查了等比数列及等差数列，重点考查了等比数列及等差数列的前n项和公式，属基础题．
6．已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＝2an﹣1+3（正整数n≥2）．
（1）求证：数列{an+3}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【分析】（1）由已知可得an+3＝2（an﹣1+3），然后求证即可；
（2）由（1）可得，然后结合等比数列前n项和的公式求解即可．
【解答】（1）证明：已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＝2an﹣1+3（正整数n≥2），
则an+3＝2（an﹣1+3），
又a1+3＝4，
即数列{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
即，
则Sn＝（22+23+...+2n+1）﹣3n＝＝2n+2﹣3n﹣4．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列前n项和的公式，属基础题．
五．利用导数研究函数的单调性（共1小题）
7．设f（x）＝ex，g（x）＝lnx，h（x）＝sinx+cosx．
（1）求函数y＝，x∈（﹣π，3π）的单调区间和极值；
（2）若关于x不等式f（x）+h（x）≥ax+2在区间[0，+∞）上恒成立，求实数a的值；
（3）若存在直线y＝t，其与曲线y＝和y＝共有3个不同交点A（x1，t），B（x2，t），C（x3，t）（x1＜x2＜x3），求证：x1，x2，x3成等比数列．
【分析】（1）由题意可得y＝＝，令fh（x）＝，求导分析单调性，极值，即可得出答案．
（2）关于x的不等式f（x）+h（x）≥ax+2，即ex+sinx+cosx﹣ax﹣2≥0在区间[0，+∞）恒成立，令F（x）＝ex+sinx+cosx﹣ax﹣2，只需F（x）min≥0，即可得出答案．
（3）函数y＝＝，令F1（x）＝，求导分析单调性，进而可得F1（x）max＝，对于函数y＝＝，令G1（x）＝，求导分析单调性可得G1（x）max，函数y＝F1（x）与y＝G1（x）有相同的最大值，证明曲线y＝F1（x）与y＝G1（x）有唯一交点，再证明：直线y＝t与曲线y＝F1（x），y＝G1（x）共有3个不同交点，可得x1＝lnx2，x3＝，进而可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得y＝＝，
y′＝＝﹣，
所以当（2k﹣1）π＜x＜2kπ（k∈Z）时，y′＞0，
当2kπ＜x＜（2k+1）π（k∈Z）时，y′＞0，
令fh（x）＝，
所以函数fh（x）在（﹣π，0）上fh′（x）＞0，fh（x）单调递增，
在（0，π）上fh′（x）＜0，fh（x）单调递减，
在（π，2π）上fh′（x）＞0，fh（x）单调递增，
在（2π，3π）上fh′（x）＜0，fh（x）单调递减，
所以函数fh（x）在（﹣π，3π）上的单调递增区间为（﹣π，0）与（π，2π），递减区间为（0，π）与（2π，3π），
所以fh（x）极小值＝fh（π）＝﹣，fh（x）极大值＝fh（0）＝1，fh（x）极大值＝fh（2π）＝．
（2）关于x的不等式f（x）+h（x）≥ax+2，即ex+sinx+cosx﹣ax﹣2≥0在区间[0，+∞）恒成立，
令F（x）＝ex+sinx+cosx﹣ax﹣2，则F（0）＝0，且F′（x）＝ex+cosx﹣sinx﹣a，
F″（x）＝ex﹣sinx﹣cosx，
由（1）知，fk（x）＝在[0，+∞）上的极大值为（k∈N），
所以fk（x）在[0，+∞）上的最大值为1，即≤1在[0，+∞）上恒成立，
所以F″（x）＝ex﹣sinx﹣cosx≥0在[0，+∞）上恒成立，
所以y＝F′（x）在[0，+∞）上严格单调递增，
所以F′（x）≥F′（0）＝2﹣a（x≥0），
若2﹣a≥0，即a≤2，则y＝F（x）在[0，+∞）上严格递增，
所以F（x）≥F（0）＝0在[0，+∞）上恒成立，
若2﹣a＜0，即a＞2，则由y＝F′（0）＝2﹣a＜0，F′（ln（2a））＝eln2a+cos（ln（2a））﹣sin（ln（2a））﹣a
＝a﹣sin（ln（2a）﹣φ）＞2﹣＞0，
由零点的存在定理可得，存在x0∈（0，ln（2a）），使得F′（x0）＝0，
所以在（0，x0）上F′（x）＜0，F（x）单调递减，
所以F（x0）＜F（0）＝0，
所以在（0，x0）上F（x）＜0，不符合F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立的条件，
所以当且仅当a≤2时，F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]．
（3）证明：函数y＝＝，令F1（x）＝，则F1′（x）＝，
所以当x∈（﹣∞，1）时，F1′（x）＞0，F1（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，F1′（x）＜0，F1（x）单调递减，
所以F1（x）max＝F1（1）＝，
对于函数y＝＝，
令G1（x）＝，则G1′（x）＝，
所以在（0，e）上，G1′（x）＞0，G1（x）在（0，e）上单调递增，
在（e，+∞）上，G1′（x）＜0，G1（x）在（e，+∞）上单调递减，
所以G1（x）max＝G1（e）＝，
所以函数y＝F1（x）与y＝G1（x）有相同的最大值，其图象如下：

下面先证明：曲线y＝F1（x）与y＝G1（x）有唯一交点，
由F1（x）＝G1（x），即＝（x＞0），即方程﹣lnx＝0有唯一实数根x2，
令φ（x）＝﹣lnx，（x＞0），
则φ′（x）＝﹣＝，
所以φ′（x）在（e，+∞）上恒为负数，
所以曲线y＝F1（x）与y＝G1（x）在区间[0，1]上没有交点，
在区间（1，e）上，函数y＝F1（x）单调递减，函数y＝G1（x）单调递增，
所以y＝φ（x）在（1，e）上单调递减，
所以函数y＝φ（x）在（1，+∞）上单调递减，
由φ（1）＝＞0，φ（e）＝﹣1＜0及零点的存在定理可得：
函数y＝φ（x）在（1，e）上存在唯一零点，
所以方程φ（x）＝0在（1，+∞）上有唯一实数根x2，且x2∈（1，e），
下面证明：直线y＝t与曲线y＝F1（x），y＝G1（x）共有3个不同交点，
所以直线y＝t必经过点B（x2，t），且F1（x1）＝F1（x2）＝G1（x2）＝G1（x3）＝t，0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，0＜t＜，
由F1（x1）＝F1（x2），得＝＝，即F1（x1）＝F1（lnx2），
函数y＝F1（x）在（﹣∞，1）上单调递增，x1∈（0，1），lnx2∈（0，1），
所以x1＝lnx2，
由F1（x2）＝G1（x3），得＝＝，即G1（x3）＝G1（），
函数y＝G1（x）在（e，+∞）上单调递增，x3∈（e，+∞），∈（e，+∞），
所以x3＝，
所以x1x3＝lnx2，
由F1（x2）＝G1（x2），得＝，
所以＝lnx2，
所以x1x3＝，
所以x1，x2，x3成等比数列．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
六．利用导数研究函数的极值（共2小题）
8．若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值，且f（x0）＝λx0（常数λ∈R），则称x0是函数y＝f（x）的“λ相关点”．
（1）若函数y＝x2+2x+2存在“λ相关点”，求λ的值；
（2）若函数y＝kx2﹣2lnx（常数k∈R）存在“1相关点”，求k的值：
（3）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝ax3+bx2+cx（常数a、b、c∈R且a≠0），若函数y＝f（x）有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点P（1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数a的取值范围．
【分析】（1）因为g（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1在x＝﹣1处取得极值（最值），由g（﹣1）＝λ（﹣1），解得λ．
（2）记h（x）＝kx2﹣2lnx（x＞0），由函数y＝kx2﹣2lnx（常数k∈R）存在“1相关点”，得y＝h（x）在x＝x0处取得极值且h（x0）＝x0，由h′（x）＝2kx﹣得2kx0﹣＝0，即x0＝，由kx0﹣2lnx0＝x0，得x0+2lnx0﹣1＝0，设φ（x）＝x+2lnx﹣1，求导分析φ（x）的单调性，零点，进而解得k．
（3）由f（x）＝2x得ax2+bx+c﹣2＝0，设x1，x2为函数y＝f（x）的“2相关点”，则b2﹣4a（c﹣2）＞0且x1+x2，x1x2，由f′（x）＝3ax2+2bx+c，得x1+x2，x1x2，则﹣＝﹣且＝，
解得b，c，求导得f′（x）＝3ax2+3（a＜0），设切点为（x0，+3x0），则由导数的几何意义切线的斜率k＝3+3，切线方程为y﹣（a+3x0）＝（3+3）（x﹣x0），将点P（1，2）代入整理2a﹣3﹣1＝0，设p（x）＝2ax3﹣3ax2﹣1，求导分析单调性，零点，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为g（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1在x＝﹣1处取得极值（最值），
由g（﹣1）＝λ（﹣1），解得λ＝﹣1．
（2）记h（x）＝kx2﹣2lnx（x＞0），
y＝h（x）在x＝x0处取得极值且h（x0）＝x0，
由h′（x）＝2kx﹣得2kx0﹣＝0，
所以kx0＝1且k＞0，
所以x0＝，
由kx0﹣2lnx0＝x0，得x0+2lnx0﹣1＝0，
设φ（x）＝x+2lnx﹣1，
所以φ′（x）＝1+＞0，
所以函数y＝φ（x）在区间（0，+∞）上严格单调递增，
又φ（1）＝0，
所以方程x+2lnx﹣1＝0有唯一实数根x＝1，即＝1，
解得k＝1，
当k＝1时，y＝x2﹣2lnx，x＞0，
y′＝2x﹣＝，
令y′＝0，得x＝1或x＝﹣1（舍去），
所以在（0，1）上y′＜0，y＝x2﹣2lnx单调递减，
在（1，+∞）上y′＞0，y＝x2﹣2lnx单调递增，
所以y＝x2﹣2lnx在x＝1处取得极小值，满足题意，
综上所述，k的值为1．
（3）由f（x）＝2x得ax3+bx2+（c﹣2）x＝0，
所以ax2+bx+c﹣2＝0，
设x1，x2为函数y＝f（x）的“2相关点”，
则b2﹣4a（c﹣2）＞0且x1+x2＝﹣，x1x2＝，
f′（x）＝3ax2+2bx+c．
则4b2﹣4ac＞0且x1+x2＝﹣，x1x2＝，
所以﹣＝﹣且＝，
解得b＝0，c＝3，a＜0，
由f（x）＝ax3+3x，f′（x）＝3ax2+3（a＜0），
设切点为（x0，+3x0），则切线的斜率k＝3+3，
所以切线方程为y﹣（a+3x0）＝（3+3）（x﹣x0），
将点P（1，2）代入整理2a﹣3﹣1＝0，
设p（x）＝2ax3﹣3ax2﹣1，
则函数y＝p（x）在R上有三个不同的零点，
p′（x）＝6ax2﹣6ax＝6ax（x﹣1），（a＜0），
令p′（x）＝0得x＝0或x＝1，
所以在（﹣∞，0）上p′（x）＜0，p（x）单调递减，
在（0，1）上p′（x）＞0，p（x）单调递增，
在（1，+∞）上p′（x）＜0，p（x）单调递减，
p（﹣）＝＞0，p（2）＝4a﹣1＜0，
所以p（x）在区间（﹣∞，﹣）和（2，+∞）上都没有零点，在（﹣，0）上恰有一个零点，
所以区间（0，1）和（1，2）各有一个零点，
所以﹣a﹣1＞0，
所以a＜﹣1，
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9．设y＝f（x）、y＝g（x）是定义域为R的函数，当g（x1）≠g（x2）时，
记．
（1）已知y＝g（x）在区间I上严格增，且对任意x1，x2∈I，x1≠x2，有δ（x1，x2）＞0，
证明：函数y＝f（x）在区间I上严格增；
（2）已知，且对任意x1，x2∈R，当g（x1）≠g（x2）时，有δ（x1，x2）＞0，若当x＝1时，函数y＝f（x）取得极值，求实数a的值；
（3）已知g（x）＝sinx，，，且对任意x1，x2∈R，当g（x1）≠g（x2）时，有|δ（x1，x2）|≤1，证明：f（x）＝sinx．
【分析】（1）不妨设x1＜x2，由于y＝g（x）在I上严格增，则g（x1）﹣g（x2）＜0，由于，进而可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由单调性定义，即可得出答案．
（2）由（1）可知：当y＝g（x）在区间I上严格增时，y＝f（x）在I上严格增，当y＝g（x）在区间I上严格减时，y＝f（x）在I上严格减，当x＝1时，y＝f（x）取得极值，则当x＝1时，y＝g（x）也取得极值，g'（1）＝0，可得a＝1，即可得出答案．
（3）分三种情况：当时，当时，证明f（x）＝sinx．
【解答】解：（1）证明：不妨设x1＜x2，
因为y＝g（x）在I上严格增，
所以对任意x1，x2∈I，x1＜x2，有g（x1）﹣g（x2）＜0，
又，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以y＝f（x）在区间I上严格增．
（2）由（1）可知：当y＝g（x）在区间I上严格增时，y＝f（x）在I上严格增，
当y＝g（x）在区间I上严格减时，y＝f（x）在I上严格减，
又当x＝1时，y＝f（x）取得极值，
所以当x＝1时，y＝g（x）也取得极值，
g'（x）＝x2+2ax﹣3，g'（1）＝2a﹣2＝0，可得a＝1，
当a＝1时，g'（x）＝（x+3）（x﹣1），
所以在（﹣∞，﹣3）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在（﹣3，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
在（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）在x＝1处取得极值，
所以a＝1．
（3）证明：当时，由条件知，
所以f（x）≤sinx，，
所以f（x）≥sinx，
所以f（x）＝sinx，
当时，对任意，有，
所以2sint﹣1≤f（x）≤1，
又因为2sint﹣1的值域为（﹣3，1），
所以f（x）＝1，
当时，对任意，有，
所以﹣1≤f（x）≤1+2sint，
又因为1+2sint值域为（1，3），
所以f（x）＝﹣1，
综上可知，对任意x∈R，f（x）＝sinx．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
七．利用导数研究函数的最值（共1小题）
10．已知函数．（其中a为常数）．
（1）若a＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a＜0时，求函数y＝f（x）的最小值；
（3）当0≤a＜1时，试讨论函数y＝f（x）的零点个数，并说明理由．
【分析】（1）当a＝﹣2时，求得，得到f′（2）＝2且f（2）＝4﹣2ln2，进而求得切线方程；
（2）求得，利用导数求得函数f（x）的单调性和极值，即可求解；
（3）当a＝0时，求得y＝f（x）在（0，+∞）上有一个零点；当0＜a＜1时，利用导数求得函数f（x）的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．
【解答】（1）解：当a＝﹣2时，可得，
可得，所以f′（2）＝2且f（2）＝4﹣2ln2，
所以切线方程为y﹣（4﹣2ln2）＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣2ln2＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣2ln2＝0．
（2）解：由函数，可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又由，令f′（x）＝0，解得x1＝a，x1＝1，
当a＜0时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↓
极小值
↑
所以函数的极小值为，也是函数f（x）的最小值，
所以当a＜0时，函数f（x）的最小值为；
（3）解：当a＝0时，，令f（x）＝0，解得x1＝2，x2＝0（舍去）所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上有一个零点；
当0＜a＜1时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：
x
（0，a）
a
（a，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）上单调递减，
此时函数f（x）的极大值为，
所以函数y＝f（x）在（0，1）上没有零点；
又由且函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
且当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以函数f（x）在（1，+∞）上只有一个零点，
综上可得，当0≤a＜1时，f（x）在（0，+∞）上有一个零点．
【点评】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．
八．平面向量数量积的性质及其运算（共2小题）
11．已知向量，，．
（1）求函数y＝f（x）的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角，且，f（A）＝1，BC＝2，求边AC的长．
【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换及三角函数的性质求解即可；
（2）由正弦定理，结合三角函数求值问题求解即可．
【解答】解：（1）已知向量，，，
则，
令，k∈Z，
则，k∈Z，
所以函数y＝f（x）的最大值为，此时x＝，（k∈Z）；
（2）因为f（A）＝1，
所以，
即
又角A为锐角，
则，
则，
因为，
所以，
又BC＝2，
由正弦定理可得，
即AC的长为．
【点评】本题考查了三角恒等变换，重点考查了平面向量数量积的运算及正弦定理，属基础题．
12．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，＝0．
（1）求角B大小；
（2）设，当时，求f（x）的最小值及相应的x．
【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；
（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值．
【解答】解：（1）由已知条件得＝（2a+c）cosB+bcosC＝0，
由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC＝0，
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC＝0，
2sinAcosB+sin（B+C）＝0，
则2sinAcosB+sinA＝0，
∵sinA≠0，∴，
又∵B∈（0，π），
∴；
（2）
＝
＝
＝，
∵，
∴，
则f（x）的最小值﹣2，其中，
即当时，f（x）有最小值﹣2．
【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换，正余弦定理以及三角函数的性质，属于中档题．
九．解三角形（共4小题）
13．在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，C＝45°．
（1）若，求c；
（2）若B﹣A＝15°，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可；
（2）先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得．
【解答】解：（1）由，应用正弦定理得，∴b＝2，
∴，即得c＝2；
（2）因为，则，
又由正弦定理得，
∴．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
14．在△ABC中，．
（1）求sinC的值；
（2）若AB＝4，求△ABC的周长和面积．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得sinC的值；
（2）先利用正弦定理求得△ABC的a，b的长，进而求得△ABC的周长和面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，，又A，B∈（0，π），
则，
则；
（2）c＝AB＝4，又，
则由正弦定理得，
则△ABC的周长为15+13+4＝32，
△ABC的面积为．
【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA＝sin2B，a＝4，b＝6．
（1）求cosB的值；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解；
（2）根据余弦定理可得c，由cosB可得sinB，进而可得面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，
又sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
所以，即，
解得；
（2）由（1）得，则，
又由余弦定理，
解得c＝6，
所以．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
16．在锐角△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且．
（1）求角B；
（2）求cosA+cosB+cosC的最大值．
【分析】（1）根据正弦定理得，则，结合角B的范围即可求出角B的大小；
（2）通过三角恒等变换得，结合角A的范围即可得到其最值．
【解答】解：（1）由结合正弦定理可得：，
因为△ABC为锐角三角形，所以sinA≠0，
所以，
∵，故；
（2）结合（1）的结论有：

＝
＝，
由，可得：，
当时，，
即cosA+cosB+cosC的最大值是．
【点评】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，属于中档题．
一十．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）
17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E、F分别是棱BC和CC1的中点．
（1）判断直线AE与D1F的关系，并说明理由；
（2）若直线D1E与底面ABCD所成角为，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的全面积．

【分析】（1）说明四边形EFD1A是梯形即可；（2）∠D1ED是直线D1E与底面ABCD所成角，由此可得棱长，从而确定四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的全面积．
【解答】解：（1）连结EF、AD1、BC1，
∵点E、F是中点，∴EF∥BC1且，
正四棱柱中四边形ABC1D1是矩形，则AD1∥BC1且AD1＝BC1
于是EF∥AD1且，则四边形EFD1A是梯形，
则直线AE与D1F是相交直线．

（2）连结DE，因为AB＝2，点E是中点，所以在RT△DEC中，，
正四棱柱中D1D⊥面ABCD，则∠D1ED是直线D1E与底面ABCD所成角，
所以∠D1ED＝45°，于是，
正四棱柱的4个侧面是矩形，上下两个底面是正方形，
则全面积为．
【点评】本题考查线面垂直，考查线面所成的角，属于中档题．
一十一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
18．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，若AD＝2，AF＝AB＝BC＝FE＝1．
（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面CDE⊥平面AMD．

【分析】（1）取AD中点N，连接EN，CN，易证得EN⊥平面ABCD，五面体ABCDEF的体积等于棱柱ABF﹣NCE的体积+棱锥E﹣CDN的体积，分别求出棱柱ABF﹣NCE的体积和棱锥E﹣CDN的体积即可得出答案．
（2）以A为坐标原点，以为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，由垂直向量的坐标运算可证得CE⊥AD，CE⊥MD，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明．
【解答】解：（1）因为AD＝2，AF＝AB＝BC＝FE＝1，取AD中点N，连接EN，CN，

因为AD∥BC∥FE，所以EN∥AF，EN＝AF＝1，CN＝AB＝1，
又FA⊥平面ABCD，AN⊂平面ABCD，FA⊥AN，
所以EN⊥平面ABCD，又因为AB⊥AD，即AB⊥AN，AB∩FA＝A，
AB，FA⊂平面FAB，所以AN⊥平面FAB，
所以ABF﹣NCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，
三棱锥E﹣CDN的高等于1，底面是等腰直角三角形，
所以五面体ABCDEF的体积＝棱柱ABF﹣NCE的体积+棱锥E﹣CDN的体积，
即：．
（2）证明：以A为坐标原点，以为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，

点，
所以，
所以，
所以CE⊥AD，CE⊥MD，
又AD∩MD＝D，AD，MD⊂平面AMD，所以CE⊥平面AMD，
又CE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面AMD．
【点评】本题考查了几何体体积的计算，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
一十二．直线与平面所成的角（共1小题）
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，∠ADC＝45°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的大小．

【分析】（1）连接OM，根据中位线定理证明PB∥MO，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）取DO的中点N，连接MN，AN，证明MN∥PO，从而MN⊥平面ABCD，可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，计算相关的长度，在Rt△ANM中求解即可．
【解答】解：（1）证明：连接OM，
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，
又M为PD的中点，所以PB∥MO，
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM；
（2）取DO的中点N，连接MN，AN，
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，
因为∠ADC＝45°，AD＝AC＝2，所以∠ACD＝∠ADC＝45°，所以∠CAD＝90°，
在Rt△DAO中，AD＝2，AO＝AC＝1，
所以，从而，
在Rt△ANM中，，
所以直线AM与平面ABCD所成角的大小为arctan．

【点评】本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
一十三．二面角的平面角及求法（共2小题）
20．如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD，AB＝AE＝BC＝2，AD＝4，F、H分别为ED、EA的中点．
（1）求证：BH∥平面AFC；
（2）求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值．

【分析】（1）连接FH，由题意得FH∥AD且FH＝AD，结合题意可得FH∥BC且FH＝BC，即四边形FHBC是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）由题意得平面EAD⊥平面ABCD，AE⊥AD，可得AE⊥AB，建立以A为原点的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：连接FH，如图所示：

∵F、H分别为ED、EA的中点，
∴在△AED中，FH∥AD且FH＝AD，
∵BC∥AD，BC＝2，AD＝4，
∴FH∥BC且FH＝BC，
∴四边形FHBC是平行四边形，
∴FC∥BH，
又BH⊄平面平面AFC，FC⊂平面AFC，
∴BH∥平面AFC；
（2）∵三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，即平面EAD⊥平面ABCD，AE⊥AD，
又平面EAD∩平面ABCD＝AD，AE⊂平面EAD，
∴AE⊥平面ABCD，
又AB⊂平面ABCD，则AE⊥AB，
则建立以A为原点的空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：
AB＝AE＝BC＝2，AD＝4，则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），F（0，2，1），
∴＝（2，2，0），＝（0，2，1），
由（1）得平面EAB的法向量为＝（0，1，0），
设平面ACF的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取y＝﹣1，则x＝1，z＝2，
∴平面ACF的一个法向量为＝（1，﹣1，2），
设平面ACF与平面EAB所成锐二面角为α，
∴cosα＝|cos＜，＞|＝＝＝，
故平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且BE＝AB．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P﹣CE﹣A的余弦值．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）由题意得PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，则建立以A为原点的空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）设BD与CE相交于点F，
∵PD⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
∴PD⊥CE，
∵AB＝4，BE＝AB，∴BE＝1，
在矩形ABCD中，∠ECB＝90°，PD＝AD＝2，则在Rt△ECB中，tan∠ECB＝，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴∠ECB＝∠ABD，
∵∠DBC＝∠ADB，∴∠BHC＝∠BAD＝90°，即BD⊥CE，
又PD⊥CE，PE∩BD＝D，且PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴CE⊥平面PBD；
（2）由题意得PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，则建立以A为原点的空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：

PD＝AD＝2，AB＝4，则D（0，0，0），C（0，4，0），A（2，0，0），P（0，0，2），E（2，3，0），
∴＝（0，4，﹣2），＝（2，﹣1，0），
设平面PCE的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，则y＝2，z＝4，
∴平面PCE的一个法向量为＝（1，2，4），
平面ACE的法向量为＝（0，0，2），
设二面角P﹣CE﹣A的平面角为α，且α为锐角，
则cosα＝|cos＜，＞|＝＝＝，
故二面角P﹣CE﹣A的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
一十四．点、线、面间的距离计算（共2小题）
22．如图，多面体A1C1D1ABCD是由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1沿平面A1BC1截去一角所得到在棱A1C1上取一点E，过点D1，C，E的平面交棱BC1于点F．
（1）求证：EF∥A1B；
（2）若C1E＝2EA1，求点E到平面A1D1CB的距离以及ED1与平面A1D1CB所成角的大小．

【分析】（1）在正方体中可知A1B∥D1C，进而可证得D1C∥面A1BC1，再由线面平行的性质定理可得D1C∥EF，进而可证得EF∥A1B；
（2）由等体积法＝，可得E到面A1D1CB的距离，设线面角，可得角的正弦值，进而求出线面角的大小．
【解答】解：（1）证明：在正方体中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC，
所以四边形A1D1CB为平行四边形，所以A1B∥D1C，
而D1C⊈面A1BC1，A1B⊆面A1BC1，
所以D1C∥面A1BC1，
又因为D1C⊆面EFCD1，面A1BC1∩面EFCD1＝EF，
所以D1C∥EF，
所以EF∥A1B；
（2）点E到平面A1D1CB的距离即是E到面ABD1的距离，设为h，
因为＝，
在正方体中，B到面A1D1E的距离为正方体的棱长3，
又因为若C1E＝2EA1，所以＝＝××A1D1×D1C1＝×3×3＝，
因为A1D1⊥面AA1B，所以A1D1⊥A1B，
所以＝A1D1×A1B＝×3×3＝，
所以••h＝•3，
即•h＝•3，解得h＝，
所以E到面A1D1CB的距离为；
A1E＝A1C1＝•3＝，D1E＝＝＝，
设ED1与平面A1D1CB所成角的大小为α，α∈[0，]，
则sinα＝＝＝，
所以α＝arcsin，
即ED1与平面A1D1CB所成角的大小为arcsin．
【点评】本题考查线面平行的性质的应用及等体积法求点到面的距离，属于中档题．
23．四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
（1）求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）证明：OE∥平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．

【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，DF，可得EF∥PA，所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角，由题意求出EF，DE，DF的值，由余弦定理可得两条直线所成角的余弦值，进而求出角的大小；
（2）由（1）可证得面OEF∥面PAD，进而可证得OE∥面PAD，进而可知E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离，再由等体积法求出O到平面PAD的距离．
【解答】解：（1）因为PO⊥底面ABCD，BO＝OD，
所以PB＝PD，
又因为PB与底面ABCD所成的角为60°，所以△PBD为等边三角形，
因为E为PB的中点，所以PO＝DE＝PD＝，
因为四边形ABCD边长为2的菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，即BD＝2，
所以DE＝，AO＝，DF＝，
取AB的中点F，连接EF，DF，可得EF∥PA，
所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角，
则EF＝PA，PA＝＝＝，
所以EF＝，
在△DEF中，cos∠DEF＝＝＝，
所以∠DEF＝arccos，
即异面直线DE与PA所成角的大小为arccos；
（2）证明：连接OF，
由（1）可得OF∥AD，EF∥PA，EF∩OF＝F，
所以面OEF∥面PAD，
因为OE⊆面OEF，
所以OE∥面PAD；
所以O到面PAD的距离等于E到面PAD的距离，设h，
则VO﹣PAD＝VP﹣AOD，
而VP﹣AOD＝SAOD•PO＝•S△ABD•PO＝•××2×2×，
S△PAD＝PA•＝•3•＝•3•，
所以••3•h＝ו×2×2×，解得h＝，
即点E到平面PAD的距离为．

【点评】本题考查线面平行的证法及面面平行的性质的应用，等体积法求点到面的距离的应用，属于中档题．
一十五．离散型随机变量及其分布列（共1小题）
24．已知一个随机变量X的分布为：．
（1）已知，求a、b的值；
（2）记事件A：X为偶数；事件B：X≤8．已知，求P（B），P（A∩B），并判断A、B是否相互独立？
【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；
（2）由P（A）＝及分布列的性质求出a、b，进一步求出P（B），P（A∩B），利用两个事件相互独立的定义判断即可．
【解答】解：（1）由随机变量的分布的性质有0.1+a+0.2+0.3+b＝1，得a+b＝0.4，
又E（X）＝6×0.1+7×a+8×0.2+9×0.3+10×b＝6×0.1+7×（0.4﹣b）+8×0.2+9×0.3+10×b＝7.7+3b＝＝8.6，解得b＝0.3，
所以a＝0.4﹣b＝0.1，即a＝0.1，b＝0.3；
（2）由题意，P（X＝10）＝b，又事件A：X为偶数，
所以P（A）＝＝P（X＝6）+P（X＝8）+P（X＝10）＝0.1+0.2+b，所以b＝0.2，
由随机变量的分布的性质有0.1+a+0.2+0.3+b＝1，得a＝0.2，
又事件B为X≤8，
所以P（B）＝P（X＝6）+P（X＝7）+P（X＝8）＝0.1+0.2+0.2＝0.5，
所以P（A∩B）＝P（X＝6）+P（X＝8）﹣0.1+0.2＝0.3，
因为P（A∩B）≠P（A）P（B），所以A与B不相互独立．
【点评】本题考查随机变量分布列的应用，独立事件的判断，属于基础题．
一十六．离散型随机变量的期望与方差（共5小题）
25．某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元．假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元．根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关．为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：
每天的浏览量
（0，1）
[1，+∞）
每晚7点前的购买量
300
900
天数
36
24
以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率．
（1）求4月份草莓每晚7点前的购买量X（单位：盒）的分布；
（2）设4月份销售草莓一天的利润为Y（单位：元），一天的进货量为n（单位：盒），n为正整数且n∈[600，900]，当n为多少时，Y的期望达到最大值，并求此最大值．
【分析】（1）依题意X的可能取值为300、900，求出所对应的概率，即可得到概率分布列；
（2）依题意可得Y的可能取值为3000﹣5n或5n，求出所对应的概率，即可得到E（Y）．
【解答】解：（1）依题意X的可能取值为300、900，
则，
所以X的分布列为：
X
300
900
P


（2）当一天的进货量为n（单位：盒），n为正整数且n∈[600，900]时，利润Y的可能取值为300×5﹣5（n﹣300）＝3000﹣5n或5n，
且，
所以，
显然E（Y）＝1800﹣n随着n的增大而减少，
所以当n＝600时Y的期望达到最大值，E（Y）max＝1200．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
26．为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．
（1）在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；
（2）在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．
【分析】（1）先求出“某代表队没有抢到地理环境题”的概率，再由对立事件即可求出答案；
（2）分别求出某代表队先答人文历史题，再答地理环境题和先答地理环境题，再答人文历史题的数学期望，比较它们大小即可得出答案．
【解答】解：（1）从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，
将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为A，事件A的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”，
则；
（2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，
设该代表队必答环节的得分为X，X＝0，2，4，7，10，
，
，
则X的分布列为：
X
0
2
4
7
10
P





此时得分期望；
情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，
设该代表队必答环节的得分为Y，Y＝0，3，6，8，10，
，
，
则Y的分布列为：
Y
0
3
6
8
10
P





此时得分期望；
由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
27．概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛．请解决下列两个问题．
（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天．某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处．设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望．
（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话．其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人．
根据上述信息写出下面这张2×2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验．（显著性水平α＝0.05）

习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
a
b
42
脑瘤部位在右侧的病人
c
d
46
总计
a+c
b+d
88
参考公式及数据：K，其中，n＝a+b+c+d，P（K2≥3.841）≈0.05．
【分析】（1）由题可知ξ可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；
（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算χ2，比较其与3.841大小即可判断长时间使用手机与是否得脑瘤有无显著关系．
【解答】解：（1）第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以ξ可取的值为0，1，2，
，
则分布列如下：
ξ
0
1
2
P



则期望为；
（2）由题目条件可得列联表如下：

习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
14
28
42
脑瘤部位在右侧的病人
19
27
46
总计
33
55
88
则，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望和独立性检验，属于中档题．
28．在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件A表示试验者的检测结果为阳性，事件B表示试验者患有此疾病．据临床统计显示，P（A|B）＝0.99，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为0.001．（下列两小题计算结果中的概率值精确到0.00001）
（1）对该地某人进行抗原检测，求事件A与同时发生的概率；
（2）对该地3个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量X表示检测结果为阳性的人数，求X的分布和期望．
【分析】（1）根据直接求解即可；
（2）根据X～B（3，0.99），由二项分布概率公式可求得X每个取值对应的概率，由此可得分布；根据二项分布期望公式直接求解即可得到期望值．
【解答】解：（1）由题意知：，
∴，
即事件A与同时发生的概率为0.01998；
（2）∵P（A|B）＝0.99，∴X～B（3，0.99），
∵X所有可能的取值为0，1，2，3，
∴；
；
∴X的分布为，数学期望E（X）＝3×0.99＝2.97．
【点评】本题考查了二项分布概率公式和二项分布期望公式，属于中档题．
29．现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
（1）求取到的白球数不少于2个的概率；
（2）设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
【分析】（1）用乘法公式和全概率公式，分别算出取到2个白球和3个白球的概率即可；
（2）分别计算出取到的白球数的概率，计算期望即可．
【解答】解：（1）设取到的白球数为X，则X的可能值为：0，1，2，3，
取到2个白球的概率，则，
取到3个白球的概率，，
则取到的白球数不少于2个的概率：；
（2），
，
，
，
所以取到的白球数的期望：．
【点评】本题考查了乘法公式、全概率公式和数学期望的计算，属于中档题．
一十七．独立性检验（共2小题）
30．将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．

（1）请列出2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
附：．
P（x2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）由频率分布直方图可得35周岁以上组中的生产标兵的人数，以及35周岁以下组中的生产标兵的人数，再列出2×2列联表，求出χ2即可．
（2）利用全概率公式求出P（A），再利用条件概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，
在抽取的80名工人中，35周岁以上组中的生产标兵有80×0.25＝20人，35周岁以下组中的生产标兵有80×0.375＝30人，
则2×2列联表如下：

生产标兵
非生产标兵
合计
35周岁以上组
20
60
80
35周岁以下组
30
50
80
合计
50
110
160
则χ2＝＝＜3.841，
∴没有95%的把握认为生产标兵与工人所在的年龄组有关；
（2）设35周岁以下的工人为事件A，生产标兵为事件B，
由频率分布直方图可知，P（B|A）＝＝，P（B|）＝＝，P（B）＝30%，
则0.3＝P（A）×+×（1﹣P（A），∴P（A）＝0.4，P（AB）＝0.4×，
P（A|B）＝＝＝0.5，
∴估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比为40%，
生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比为50%．
【点评】本题考查独立性检验的应用，全概率公式，条件概率公式的运用，属于中档题．
31．李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：

（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：

超过M
不超过M
上班时间


下班时间


（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05
【分析】（1）根据茎叶图计数中位数即可；（2）根据独立性检验公式，计算并判断即可．
【解答】解：（1）根据茎叶图可知，这40个通勤记录的中位数是，故M＝43，
2×2列联表：

超过M
不超过M
上班时间
8
12
下班时间
7
13
（2）根据题意，由，则，
故上下班的通勤时间没有显著差异．
【点评】本题考查独立性检验的应用，属于基础题．
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