河南省部分名校2022-2023学年高三下学期5月联考理科数学试卷（含解析）

河南省部分名校2022-2023学年高三下学期5月联考理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，且，则（    ）

A． B．4 C． D．2

2．复数的虚部是（    ）

A． B．1 C． D．2

3．已知函数 的图象在点处的切线斜率为2，则（    ）

A． B．1 C． D．2

4．某统计机构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法正确的是（    ）

A．30岁以上人群拥有汽车的人数为720

B．40~45岁之间的人群拥有汽车的人数最多

C．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少

D．40~55岁之间的人群每年购买车险的总费用，比18~30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多

5．若，满足约束条件 则的最大值为（    ）

A．0 B．2 C．14 D．16

6．若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（    ）

A．4 B．6 C． D．

8．有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间（    ）

A． B． C． D．

9．在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知定义在R上的函数满足对任意的实数x，y，都有，则（    ）

A．2023 B．－2023 C．0 D．1

11．欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．个数叫互质数）的正整数（包括1）的个数，记作．例如：小于或等于4的正整数中与4互质的正整数有1，3这两个，即．记为数列的前n项和，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量，，，若，则______．

14．已知等差数列的前n项和为，且，则______．

15．在直三棱柱中，已知，，，则该三棱柱外接球的表面积为_______________．

16．现安排A，B，C，D，E这5名同学参加校园文化艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一人参加，每人只能参加一个项目，A不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能胜任这四个项目，则不同的安排方案有_______________种．

三、解答题

17．已知函数．

(1)求的最小正周期和单调递增区间；

(2)当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．

18．为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：，，，，，．整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）

参考数据：，，．

19．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．

(1)证明：平面．

(2)求二面角的余弦值．

20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．

21．已知函数．

(1)若，求的最小值；

(2)若有两个极值点，证明：．

22．在直角坐标系中，圆的方程为.

(1)以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

(2)直线的参数方程是 （t为参数），与相交于两点，，求的斜率．

23．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)设函数，当时，，求的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】解一元二次不等式化简集合，根据交集的结果求解即可.

【详解】因为，，且，

所以，解得．

故选:A.

2．C

【分析】根据复数的乘除法则化简，再根据复数的虚部定义即可求解.

【详解】因为，

所以的虚部是-2．

故选：C

3．B

【分析】求得，根据题意得出方程，即可求解.

【详解】由函数，可得，

因为函数的图象在点处的切线斜率为，

可得，解得.

故选：B.

4．D

【分析】对于选项A， 30岁以上人群拥有汽车的人数为820，故选项A错误；对于选项B，由图得不出40~45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故选项B错误；对于选项C， 18~30岁之间的人群每年购买车险的总费用更少，故选项C错误；对于选项D，通过计算得到选项D正确．

【详解】对于选项A，由1000×（1-18%）＝820，知30岁以上人群拥有汽车的人数为820，故选项A错误；

对于选项B，由图得不出40~45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故选项B错误；

对于选项C，55岁以上人群每年购买车险的总费用约为1000×17%×3100＝527000元，18~30岁之间的人群每年购买车险的总费用约为1000×18%×2800＝504000元，故选项C错误；

对于选项D，40~55岁之间的人群每年购买车险的总费用约为1000×40%×3900＝1560000元，1560000＞527000＋504000，故选项D正确．

故选：D

5．C

【分析】画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答.

【详解】画出不等式组对应的可行域（如图所示），

由题得，它表示斜率为纵截距为的平行直线系，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最大.

联立直线方程得.

此时的最大值为.

故选：C

6．A

【分析】根据双曲线一条渐近线的斜率可得，将点的坐标代入方程，即可求得答案.

【详解】由题意可得，所以，

把点的坐标代入方程，得，

所以，

则C的标准方程为，

故选：A

7．D

【分析】根据正弦定理化边为角有，再利用两角和与差的正弦公式有，再利用正弦定理进行化角为边有.

【详解】因为，根据正弦定理得

，

移项得，

即，即，

则根据正弦定理有．

故选：D.

8．B

【分析】根据给定条件，构造函数，，利用导数探讨函数零点作答.

【详解】设当甲、乙再次相遇时，所用的时间为t小时，则，

令，，求导得，由得，

而函数在上单调递增，即当时，，当，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

而当时，，，，因此存在唯一，使得，

所以当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间.

故选：B

9．C

【分析】延长CB至F，使得，可得四边形BEDF是平行四边形，，则为异面直线AD与BE所成的角或补角，设，取的中点，求出、、，利用余弦定理求得，可得答案．

【详解】D为的中点，E为的中点，所以，，

如图，延长CB至F，使得，连接DE，DF，AF，，

因为，所以，，

所以四边形BEDF是平行四边形，，

则为异面直线AD与BE所成的角或补角．设，

取的中点，连接、，

则，，，，

，

，

由余弦定理得，

由余弦定理得．

所以直线AD与BE所成角的余弦值为

故选：C.

10．C

【分析】令求得即可得解.

【详解】因为，所以，即，

所以

故选：C.

11．B

【分析】根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】由题意，若正整数，且与不互质，则这个数为偶数或的倍数，共有个，所以，

即数列是首项为2，公比为6的等比数列，所以．

故选：B.

12．A

【分析】根据题意，设，，，分析可得直线关于直线对称，则，变形可得，又由，可得，代入求得，设，作垂直准线于，由抛物线性质可得，进而，当最小时，的值最大，设切线MN的方程为，联立方程组，由判别式等于可得直线的参数值，代入整理的方程求出点坐标，进而求出答案.

【详解】由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以．

设，，，则，

同理可得，，则，

得，所以，

由，得．

将代入抛物线C的方程，得，解得，

故抛物线C的方程为．

设，作垂直准线于，

由抛物线的性质可得，

所以，

当最小时，的值最大，

所以当直线MN与抛物线C相切时，最大，即最小．

由题意可得，

设切线MN的方程为，

联立方程组消去，得，

由，可得，

将代入，可得，

所以，即M的坐标为，所以，，所以的最大值为．

故选：A

【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及抛物线的性质，属于中档题.

13．9

【分析】由垂直向量的坐标表示求出，再由模长公式计算即可得出答案.

【详解】因为，，

所以，解得，

则，．

故答案为：9.

14．70

【分析】设公差为d，化简已知得，再利用等差数列的求和公式计算即得解.

【详解】设公差为d，因为是等差数列，所以，

化简得，即，

所以．

故答案为：70

15．

【分析】根据直三棱柱的特征及其棱长可知，构造长方体即可求得外接球半径，即可求的结果.

【详解】如下图所示：

由直三棱柱可知，平面，

又，所以两两垂直，

设直三棱柱外接球的半径为R，

通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同；

即可得，解得，

所以所求外接球的表面积．

故答案为：

16．

【分析】根据题意，可分为A与其他一人参加同一个项目和A独自一人参加一个项目，两种情况讨论，结合排列、组合和分类计数原理，即可求解.

【详解】若A与其他一人参加同一个项目，则有种；

若A独自一人参加一个项目，则有种，

由分类计数原理，可得共有种不同的安排方案．

故答案为：

17．(1)最小正周期为；单调递增区间为

(2)最大值为，此时.

【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解；

（2）由，求得，得到，进而求得取得最大值时x的值.

【详解】（1）解：因为

，

所以的最小正周期为，

令，解得，

所以的单调递增区间为．

（2）解：因为，所以，

所以，所以，

当，即时，，

所以的最大值为，此时．

18．(1)，

(2)5114元

【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，即可求得，根据平均数公式计算即可得；

（2）利用参考数据由正态分布的对称性分别求出获得学校食堂消费券为元时的概率，即可得出一名学生的期望值为，便可计算出全校1000名学生共可获得食堂消费券为5114元．

【详解】（1）由题意可知，，

解得

（2）设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为Y元，

，

，

，

，

Y的分布列如下表：

即一名学生获得的学校食堂消费券的期望值为

，

所以，全校学生可获得（元）．

故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券5114元．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可．

【详解】（1）证明：连接OB，

因为为等腰直角三角形，，，

所以，

因为O为AC边的中点，

所以，

在等边三角形中，，

因为O为AC边的中点，

所以，则，

又，

所以，即，

因为，平面，平面，

所以平面．

（2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，

所以，

由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

易知平面的一个法向量为，

设二面角的大小为θ，

则，

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

方法二：

作，垂足为M，作，垂足为N，连接，

因为平面，平面，

所以，

又因为，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

又，，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

又平面平面，

所以二面角的平面角为，

因为，所以，

所以，，

在中，，，

所以，

所以，

所以，即二面角的余弦值为．

20．(1)

(2)

【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再将代入椭圆方程，即可求出，进而得出椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为，由点到之间距离公式及勾股定理得出，设，，由直线方程与椭圆方程联立，得出和，代入，设，，由的单调性得出值域，即可求出的范围．

【详解】（1）因为的周长为8，

所以，解得，

将点的坐标代入椭圆方程，得，解得，

所以椭圆E的方程为．

（2）由（1）知圆的方程为，设直线l的方程为，

则圆心到直线l的距离，

由，可得．

设，，联立方程组，

消去x得，

则，，

所以，

设，则，

设，

易知在上单调递增，则在上单调递增，

因为，

所以．

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）若时，求得，得出函数的单调性，进而求得其最小值；

（2）根据题意，得到，令，求出a的取值范围，得到，证明成立，即可证明成立.

【详解】（1）若，则，所以，

令，解得；令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值．

（2）证明：，因为有两个极值点，

所以是方程的两个根，即，

所以

，

，①

令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则，的图象如图所示，

不妨设，

令，则，所以，

所以，

所以，②

下面证明．

由，可得，所以，即，

可得，即，

令，，则，

令，则，

所以在上单调递减，

所以，所以，所以在上单调递减，

所以，即，所以，③

由②知，所以，

即，所以.

【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆C的极坐标方程；

（2）解法1、由直线的参数方程得到l的直角坐标方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程求得，即可求解；

解法2、由直线的参数方程，得到直线l的极坐标方程为，代入圆的极坐标方程，求得，，结合，列出方程求得，即可求解.

【详解】（1）解：由圆的方程，可得，

又由，，可得圆C的极坐标方程为．

（2）解：解法1、由直线的参数方程，可得，

即直线l的直角坐标方程为，

又由圆心到直线l的距离，

因为且，所以，解得，

所以直线l的斜率为．

解法2、因为，可得，

因为，，所以，即直线l的极坐标方程为．

设对应的极径分别为，，

将代入C的极坐标方程，可得，

所以，，

又因为，所以，即，

解得，所以，所以，可得，

所以直线l的斜率为．

23．(1)；

(2).

【分析】（1）化为，再解绝对值不等式得解；

（2）不等式可以化为，再对分类讨论，利用绝对值三角不等式得解.

【详解】（1）若a＝1，则．因为，所以，即，

所以，解得，即原不等式的解集为．

（2）不等式可化为．

当时，，原不等式恒成立，所以．

当时，恒成立，所以．

因为，所以，

所以，所以.

因为，所以．

综上，，即a的取值范围为．