湖南省长沙市长郡中学2023届高三高考前保温卷（1）数学试题（含解析）

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湖南省长沙市长郡中学2023届高三高考前保温卷（1）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设全集，若集合，，则（    ）A． B． C． D．2．函数在上的图像大致为（    ）A． B．C． D．3．已知向量在单位向量上的投影向量为，则（    ）A．-3 B．-1 C．3 D．54．若，则（    ）A．0 B． C．1 D．5．黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（    ）A． B． C． D．6．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ）A． B． C． D．7．若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ）A．2 B． C．4 D．8．如图，底面同心的圆锥高为，，在半径为3的底面圆上，，在半径为4的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点到平面的距离为（    ）A． B． C．2 D． 二、多选题9．近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为万人，从该县随机选取人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.则（    ）A．由直方图可估计样本的平均数约为B．由直方图可估计样本的中位数约为C．由正态分布可估计全县的人数约为万人D．由正态分布可估计全县的人数约为万人10．已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（    ）A．双曲线C的离心率为 B．C．当P为C与的交点时， D．的最小值为111．如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ）．A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为12．已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（    ）A．是偶函数 B．C． D． 三、填空题13．173，174，166，172，170，165，165，168，164，173，175，178，则这组数据的上四分位数为________．14．若函数的最小值为，则常数的一个取值为___________.（写出一个即可）15．设直线与两坐标轴的交点分别为，点为线段的中点，若圆上有且只有一个点，使得直线平分，则______.16．已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为________． 四、解答题17．已知数列的前项和为，.(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;(2)若 ，求数列的前项和.从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.18．如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．    (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．
参考答案：1．C【分析】根据题意，将集合化简，然后结合集合的运算即可得到结果.【详解】因为，即，且，则，所以.故选:C2．B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数定义域为，而，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；而当时，，排除选项A，选项B符合要求.故选：B3．A【分析】根据投影向量可求得向量的数量积，再根据数量积的运算即可得所求.【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为，所以，又，所以，则.故选：A.4．C【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到，再由余弦的倍角公式，得到，令，求得，结合，即可求解.【详解】解：由，可得，又由正弦的倍角公式，可得，即，令，则，解得，所以.故选：C.5．D【分析】根据，得，将中每一项逐一拆解，即可求解.【详解】解：由得，所以，.故选：D.6．B【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.7．A【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.【详解】  如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则设△内切圆的半径为，则，∴不妨设，则，∴，因为椭圆的离心率为，∴，故选：A.8．A【分析】根据给定条件，确定四边形的形状，再求出四边形面积最大时，圆心O到边的距离，然后在几何体中作出点到平面的垂线段，借助直角三角形计算作答.【详解】如图，直线交大圆于点，连接，由，知四边形为等腰梯形， 取的中点，连接，则，由，知四边形是矩形，因此四边形为矩形，过O作于Q，连接，从而四边形的面积，当且仅当，即时取等号，此时，如图，在几何体中，连接，因为平面，平面，则，又，平面，于是平面，而平面，则有平面平面，显然平面平面，在平面内过O作于R，从而平面，即长即为点到平面的距离，在中，，，，所以点到平面的距离是.故选：A【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.9．ABD【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，可判断AB选项；利用正态分布原则可判断CD选项.【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为，A对；对于B选项，前两个矩形的面积为，前三个矩形的面积之和为，设样本的中位数为，则，由中位数的定义可得，解得，B对；对于C选项，因为，，，所以，，所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；对于D选项，因为，，所以，，所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对.故选：ABD.10．ACD【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为，将点代入得，所以双曲线方程为，得其离心率为，故A正确；B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图，，所以，得，故B错误；C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正确；D：设，则，所以，当时，，故D正确.故选：ACD.11．ABD【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项A，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据垂直得向量数量积为列式，从而判断选项B，C，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D.【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高为，底面积，所以，所以三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，若，则，即，取，此时点与点重合，满足题意，所以存在点，使得，B正确；对于C，，若，，即，所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，C错误；对于D，如图取中点，连接，由题可得，平面，连接，因为，平面，则，，又，    平面，则平面，又取中点为，则，有四点共面，则平面即为平面，又由两平面平行性质可知，，，，又都是中点，故是中点，是中点，则平面截正方体的截面为正六边形，又正方体棱长为，则，故截面面积为，D正确.故选：ABD12．BCD【分析】举例说明判断选项A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断选项B、C、D作答.【详解】对于A，函数，显然，而，即，因此不是偶函数，故A错误；函对于B，数定义域为R，满足，当时，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数，在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，当时，函数的图象有唯一公共点，因为，因此，，而满足的整数有个，即，故B正确；对于C，显然，所以，故C正确；对于D，，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键.13．173.5【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】由题意可得，将12位同学的身高从小到大排列为：，故这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数，即.故答案为：173.5.14．（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.【详解】可化为，所以，设，则，设，则，因为函数的最小值为，所以，，所以或，其中，故答案为：（答案不唯一）.15．或1【分析】根据点为线段的中点，直线平分可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆仅有一个不与C重合的交点可求解.【详解】点为线段的中点，直线平分，在的垂直平分线上，因为所以中垂线的斜率为，的中点为，由点斜式得，化简得，在圆满足条件的有且仅有一个，直线与圆相切或圆过点C，当直线与圆相切时，；当直线过点C时，.故答案为: 或1.16．【分析】分为两种情况，当时，，只需，当即，令，对求导求出的最大值，即可求出答案.【详解】当时，，  由图可知，，此时若对任意，只需，即，即．当，此时若对任意，即，所以只需．令，则，当单调递增，当单调递减，．综上，．故答案为：.17．(1)证明见解析，(2)答案见解析 【分析】（1）通过消去，得到从而得到证明；（2）若选①，则要运用错位相减法求和，若选②，先化简，然后分奇数偶数，利用分组求和计算.【详解】（1）依题意可得， 两式相减并化简得，所以                  又，，解得.所以，故 由于，所以，于是.故数列是首项为3，公比为3的等比数列      ，即（2）选①: 由（1）得，则        两式相减得：    所以      选②: 由（1）得，所以 （i）当为偶数时，  （ii）当为奇数时， 综上所述18．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面；（2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为.【详解】（1）证明：连接，如下图（1）中所示：因为四边形为平行四边形，所以是中点，又点为线段的中点，则，且,又且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；  （2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由平面⊥平面，，可知，均为边长为2的正三角形，则有，设，则，为平面的法向量，所以，解得（其中舍去）,所以，设平面的法向量为，则有，令，则，故可取．设平面的法向量为，则有，令，则，故可取所以．所以二面角的正弦值为．即二面角的正弦值为.