2023年山东省威海市经开区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省威海市经开区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，有理数是(    )

A.
B.
C.
D. 相邻两个之间的个数逐次加

2.  根据人民银行发布的金融统计数据报告，年月末社会融资规模存量为万亿元，同比增长将数字万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

7.  一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，则第个图中有多少个“”(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  小亮要计算一组数据，，，，，的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，，，，，，记这组新数据的方差为，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

9.  如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 无实根

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______．

12.  分解因式： ______ ．

13.  如图，直线和相交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

14.  如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为______．

15.  如图，以边长为的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取长的条线段，过截得的个端点作所在边的垂线，形成个有两个直角的四边形．把它们沿虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边形的无盖形盒子，则它的容积为______．

16.  如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，将绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，得到，交于点，若反比例函数的图象经过点，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，满足．

18.  本小题分
我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：旅游管理、信息技术、酒店管理、汽车维修四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
学生选择专业条形统计图

学生选择专业扇形统计图

根据图中信息解答下列问题：
本次被调查的学生有______人；
扇统计图中汽车维修专业所对应的圆心角的度数为______，请补全条形统计图；
从选择汽车维修专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

19.  本小题分
有这样一道作图题：“求作一个平行四边形，使得点与边的中点的连线平分”
小明的思考过程是这样的：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．
例如，假设▱即为所求作，则，
．
又平分，
．
，
．
是边的中点，

再倒过来，只要作出的平行四边形满足和的数量关系是即可．
填空：______ ．
参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱，使得点与边的中点的连线与对角线垂直要求：只保留作图痕迹，无需写出文字说明

20.  本小题分
图是某浴室花洒实景图，图是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面距离处淋浴．

当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．
如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论；
活动调节点不动，只要调整的大小，在图中，试求的度数．
参考数据：，，，

21.  本小题分
新冠疫情期间，某网店销售消毒用紫外线灯，该网店店主结合销售数据发现，日销量件是售价元件的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润元的四组对应值如表，此外，该网店每日的固定成本为元．

【注】日销售纯利润日销售量售价进价每日固定成本
求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围．
求该商品进价．
由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了元，且每日固定成本增加了元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于元件销售，若此时的日销售纯利润最高为元，请求出的值．

22.  本小题分
如图，是的直径，点是外一点，连接交于点，作，分别切于点，，连接，．
求证：；
连接，若，，求线段的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
求抛物线的解析式：
如图，若，垂足为，当的长度为最大值时，求此时点的坐标；
如图，若，垂足为，且，求此时点的坐标．

24.  本小题分
探索发现：如图，在中，，，是边上一点，是边上一点，，求证：．
尝试应用：如图，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，求的长．
拓展提高：如图，在等腰中，，为中点，为中点，过点作直线交于，在直线上取一点，连接交于点；若当时，的值为定值，请直接写出该定值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，是无理数；，是无理数；相邻两个之间的个数逐次加是无理数，
是有理数，
故选：．
整数是有理数，据此判断即可．
本题考查无理数，涉及实数的分类，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万亿，
故选C．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、无法合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：．
根据同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从几何体的左边看得到的图形如下：

故选：．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了几何体的三种视图，掌握三种视图的定义是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：位似中心的坐标为．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】
解：根据的图象可得，，
所以，，
因为，
所以，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：第一个图形有：个，
第二个图形有：个，
第三个图形有：个，
第四个图形有：个，

由此可得第个图形有：个，
则可得第个图形有个，
故选：．
分析图形可得：第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；则第个图形中小圆的个数为，据此求第个图形有多少个“”即可．
此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
 

8.【答案】 

【解析】解：一组数据中的每一个数据都加上或都减去同一个常数后，它的平均数都加上或都减去这一个常数，方差不变，
，
故选：．
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
本题考查方差的意义，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
 

9.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
连接并延长交于，
则此时，的值最大，且的最大值，
，
，
，，
≌，
，，
，
过作于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
故选：．
连接并延长交于，则此时，的值最大，且的最大值，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，得到四边形是矩形，得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将代入得，
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
可整理为，
抛物线与直线的一个交点坐标为，
由抛物线的对称性可得：抛物线与直线的另一交点坐标为，
的根是或．
故选：．
由抛物线经过可得，由抛物线经过，可得抛物线对称轴，将整理为，根据表格可得抛物线与直线的交点，再由抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线和相交于点，
，
解得，
，
由函数图象可知，当时，直线在直线的下方，
当时，．
故答案为：．
先求解交点的横坐标，再结合图象可得关于的不等式的解集．
本题考查的是利用一次函数的图象解不等式，掌握数形结合的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、、，作于点，
是平行四边形，是的直径，点在上，，
，，，
是等边三角形，，
，即是等边三角形，
，进一步可得，
同理可得，，是等边三角形，
，可得是等边三角形，
弓形的面积弓形的面积，，
图中阴影部分的面积的面积的面积，
故答案为：．
根据题意，作出合适的辅助线，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题．
本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

由题意，，，
，
，，
≌，
，，
，
盒子的容积底面积高
故答案为：．
如图，连接解直角三角形分别求出，，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，得到，
，，，
，，
∽，
，即，解得，
，
把代入得．
故答案为．
先根据旋转的性质得到，，，再证明∽，利用相似比计算出，则，然后把点坐标代入中求出的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了旋转的性质、矩形的性质和相似三角形的判定与性质．
 

17.【答案】解：由题意得，
解得，，
原式． 

【解析】先根据二次根式有意义的条件求出，的值，然后把所给代数式化简后代入计算．
本题考查了二次根式有意义的条件及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次被调查的学生有：人，
故答案为：；
扇统计图中，汽车维修专业所对应的圆心角的度数为：，
条形统计图中，信息技术专业的人数为：人，
故答案为：，
补全条形统计图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，
恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
由选择专业的人数除以所占百分比即可；
由乘以选择专业的人数所占的比例即可得出扇统计图中汽车维修专业所对应的圆心角的度数，再求出专业的人数，补全条形统计图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
假设▱即为所求作，则，
．
又 平分，
．
，
．
是边的中点，
，
故答案为：；
方法一：作线段的垂直平分线，取的中点，以为圆心，的长为半径作，
在圆上任取一点，连接，，则，
取的中点，以为半径，为圆心作弧，交的延长线于点，则，
作点的垂直平分线交于，交于，则，，
以为圆心长为半径作，延长，交于点，则，
连接、、，则四边形是平行四边形，
连接，此时，，即；

方法二：作，任作射线角度要小，
作于点，在射线上截，
以点为圆心作交于点，
连接，即可；

根据等边对等角，线段中点的性质解答即可；
先作线段，确定中点，再作平行四边形，最后使得点与边的中点的连线与对角线垂直．
本题考查了等边对等角，作平行四边形，平行四边形的性质与判定，线段垂直平分线，三角形三边关系，直径所对的圆周角是直角，构造圆作图是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作的延长线于点，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，，，
在中，
，，
，
，
，
，
又，
，

；
如图，
在中，
，
，
，
在中，．
，
，
，
． 

【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于较难题．
过点作的延长线于点，交的延长线于点，利用含度角的直角三角形的性质即可求出答案．
由平行四边形的判定与性质即可知道；
由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数．
 

21.【答案】解：设一次函数的表达式为，
将点、代入上式得：
，
解得：，
关于的函数解析式为；
设进价为每件元，得到方程：
，
解得：，
答：进价为元件；
由题意得：
，
，故有最大值，
函数的对称轴为，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，
即时，，
解得：． 

【解析】用待定系数法即可求解；
根据日销售纯利润日销售量售价进价每日固定成本，求出进价；
由题意得，函数的对称轴为，当时，，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

，分别切于点，，
，
，，
≌，
，
，
，
；
解：连接，

，
，
在中，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
或舍去，
线段的长为． 

【解析】连接，根据切线的性质可得，从而证明≌，进而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后利用平行线的判定即可解答；
连接，利用的结论可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而在等腰直角三角形中求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及解直角三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：将点，代入，
，
解得，
；
如图，连接，，

当的长度最大时，的面积最大，
作轴，交直线于点，
设直线的解析式为，
代入点，，
可得：，解得：，
得到直线的解析式为，
设点，则，
，
，
当时，面积最大，
，，
利用勾股定理可得，
又，
面积最大时，也最大，
即，
此时，点的坐标为；
过点作轴，垂足为，交于点，

，
，
，轴，
，
，
，，
，，
，，
，
，即，
，
点是的中点，
设，，
，
解得或舍，
点坐标为：． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
连接，，当的长度最大时，的面积最大，作轴，交直线于点，先求出直线的解析式为，设点，则，可得，即可得，当时，面积最大，再根据，可知面积最大时，也最大，问题随之得解；
过点作轴，垂足为，交于点，先证明，即有，可得，，进而可得，，结合，，可证明，即点是的中点，设，，可得方程，解方程即可求解．
本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，勾股定理等知识，添加合理的辅助线，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：，，

，
，，
，
∽，
，
；

解：如图，过点作与交于点，使，

，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
∽，

，
，
，
，
；

解：，

如图，在的延长线上取一点，使，
由，，
，，
∽，
，
即，
又由，得，
，
∽，
 即，
，
依题意得：，，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
证明∽根据相似三角形的性质即可得证；
过点作与交于点，使，证明∽，得出，证明∽得出，求得，根据，解方程可得，即可求得；
在的延长线上取一点，使，同方法证明∽，得出，证明∽，得出，则，代入数据即可求解．
本题是相似形综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．