2023年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2023年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了 下列实数中，比-3小的数是， 下列运算正确的是， 若点P在直线l， 抛物线G等内容，欢迎下载使用。

A. -2B. 4C. -5D. 1
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为34，35，35，36.下列关于这组数据描述错误的是( )
A. 中位数是35B. 众数是35C. 平均数是35D. 方差是2
4. 下列运算正确的是( )
A. (2a2)3=6a6B. 2a2+3a4=5a6
C. (2a)-2=14a2D. a2(a3-2a)=a6-2a3
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB=30∘，则∠ADC的度数是( )
A. 65∘
B. 55∘
C. 60∘
D. 70∘
6. 若点P(1,3)在直线l：y=2x+b上，则下列各点也在直线l上的是( )
A. (2,-1)B. (2,5)C. (-2,3)D. (-2,9)
7. 如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是( )
A. 92π
B. 9 34
C. 9π
D. 9 34π
8. 在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动.“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼BC的高度.如图，已知无人机A与教学楼的水平距离AD为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为α，测得教学楼顶部C的仰角为β.根据以上信息，可以表示教学楼BC(单位：米)的高度是( )
A. mtanα+mtanβ
B. mtanα+mtanβ
C. msinα+msinβ
D. msinα+msinβ
9. 抛物线G：y=-13x2+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是( )
A. 415B. 154C. 32D. 23
10. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AC⊥BD，AC=AD，∠CBD=∠CAD，CB=5，CD=4 5，则AD的长是( )
A. 9
B. 10
C. 403
D. 443
11. 在函数y= 2x-1中，自变量x的取值范围是__________.
12. 在平面直角坐标系xOy中，点A(3,a)关于x轴的对称点为B(b,4)，则a+b的值是__________.
13. 分解因式：ax2-4ax+4a=__________.
14. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值.则∠1+∠2=__________度.
15. 如图，在菱形ABCD中，AD与⊙O相切于点A，CD与⊙O相切于点C，点B在⊙O上，则sinB=__________.
16. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE=CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90∘得到线段FG，连接DG.
(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是__________；
(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是__________.
解不等式组：4x-2≥3(x-1)x-52>x-4.
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上一点，AE=CF，EF交AC于点O.求证：AO=CO.
19. 已知：A=2a2-4-1a(a-2).
(1)化简A；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值.
条件①：若点P(a,a+2)是反比例函数y=8x图象上的点；
条件②：若a是方程x2+x=8-x的一个根.
20. 为落实立德树人根本任务，坚持“五育”并举全面发展素质教育.某学校提倡家长引导孩子在家做一些力所能及的家务劳动.为了解九年级学生平均每周家务劳动时间，随机抽取了部分九年级学生进行调查，根据调查结果，绘制如下频数分布表：
请完成下列问题：
(1)若九年级共有400名学生，估计平均每周家务劳动时间少于2小时的学生大约有______ 人.
(2)学校为了鼓励学生进行家务劳动，计划在参与调查的学生中，抽取2名学生分享劳动心得.若只从平均每周家务劳动时间不低于3小时的5名学生(其中2名男生，3名女生)中随机抽取，请用树状图或列表的方法求抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生的概率.
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4,3)在对角线OB上，且ODOB=13.反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过C，D两点，直线CD交x轴于点E.
(1)求k的值；
(2)求△ODE的面积.
坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂.为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售.第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本增加了3元.
(1)该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
(2)两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出.问每件文化衫标价为多少元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于50%？
注：盈利率=(销售金额-成本)÷成本
23. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60∘，BC=6，点D为BC的中点，连接AD，作∠ABC的角平分线交AD于点E.
(1)尺规作图：作出线段BE；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接DB，求证：DB=DE；
(3)若AE=4 33，求△ABC的周长.
24. 已知抛物线G：y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,a+5b).
(1)用含b的代数式表示c；
(2)若抛物线G与x轴交于两点B，C(点B在点C左侧)，且BC=6，求点B的坐标；
(3)当y≤3时，自变量x的取值范围是：x≤1-m或x≥m+1(m>0)，若点D(n,-9)在抛物线G上，求n的取值范围.
25. 如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，点D为AB的中点，点E，F分别为边BC，AC上的动点(点E不与B，C重合)，且AF=2BE.
(1)求BE的取值范围；
(2)若∠DEF=90∘，求BE的长；
(3)求 3DE+EF的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【解答】
解：∵-2>-3，4>-3，-5<-3，1>-3，
∴所给的实数中，比-3小的数是-5.
故选：C.
2.【答案】B
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心轴对称图形，不符合题意．
故选：B.
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转180∘后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
本题主要考查了众数、平均数以及方差的计算，注意：极差只能反映数据的波动范围，众数反映了一组数据的集中程度，平均数是反映数据集中趋势的一项指标，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
【解答】
解：A、中位数是35+352=35，选项不符合题意；
B、众数是35，选项不符合题意；
C、平均数为34+35+35+364=35，选项不符合题意；
D、方差为14[(34-35)2+2×(35-35)2+(36-35)2]=0.5，选项符合题意．
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：A、(2a2)3=8a6，故不A符合题意；
B、2a2与3a4不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、(2a)-2=14a2，故C符合题意；
D、a2(a3-2a)=a5-2a3，故D不符合题意；
故选：C.
利用单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘多项式，合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90∘，又由∠CAB=30∘，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．掌握圆周角定理是解题的关键.
【解答】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CAB=30∘，
∴∠ABC=90∘-∠CAB=60∘，
∴∠ADC=∠ABC=60∘.
故选：C.
6.【答案】B
【解析】解：∵点P(1,3)在直线l：y=2x+b上，
∴3=2×1+b，
解得：b=1，
∴直线l的解析式为y=2x+1.
当x=2时，y=2×2+1=5，
∴点(2,5)在直线l上；
当x=-2时，y=2×(-2)+1=-3，
∴点(-2,-3)在直线l上．
故选：B.
由点P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出b值，进而可得出直线l的解析式，分别代入x=2，x=-2，求出y值，再对照四个选项后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图求出圆锥的底面直径为3，母线长为3，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【解答】
解：∵圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，
∴圆锥的底面直径为3，母线长为3，
∴圆锥的底面周长为3π，
∴圆锥的侧面展开图的面积为：12×3π×3=92π，
故选：A.
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：AD⊥BC，
在Rt△ADC中，∠CAD=β，AD=m米，
∴CD=AD⋅tanβ=mtanβ(米)，
在Rt△ADB中，∠DAB=α，
∴DB=AD⋅tanα=mtanα(米)，
∴CB=CD+BD=(mtanβ+mtanα)米，
故选：A.
根据题意可得：AD⊥BC，然后分别在Rt△ADC和Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在y=-13x2+3中，当x=0时，y=3；
当y=0时，y=-13x2+3=0，
解得x=±3，
A(-3,0)，B(0,3)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则-3k+b=0b=3，
解得k=1b=3.
∴直线AB的解析式为y=x+3，
∵抛物线y=-13x2+3的顶点坐标为(0,3)，即抛物线y=-13x2+3的顶点在直线AB上，
∴抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，
设抛物线H的顶点坐标为(m,m+3)，
∴抛物线H的解析式为y=-13(x-m)2+m+3，
在y=-13(x-m)2+m+3中，令x=0，则yD=-13m2+m+3=-13(m-32)2+154，
∵-13<0，
∴yD的最大值为154，
故选：B.
先求出A(-3,0)，B(0,3)，进而求出直线AB的解析式为y=x+3，再推出抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，设抛物线H的顶点坐标为(m,m+3)，则抛物线H的解析式为y=-13(x-m)2+m+3，进而求出yD=-13(m-32)2+154，则yD的最大值为154.
本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设CE=x，AE=y，
则AC=AD=x+y，
∵AC⊥DB，
∴sin∠CBD=CEBC=x5，
sin∠CAD=DEAD= CD2-CE2AD= (4 5)2-x2x+y，
∵∠CBD=∠CAD，
∴sin∠CBD=sin∠CAD，
∴x5= 80-x2x+y，
整理得，x4+2x3y+x²y²+25x²=2000①，
在Rt△CED和Rt△AED中，
DE²=CD²-CE²=AD²-AE²，
∴(4 5)²-x²=(x+y)²-y²，
∴y=40-x2x②，
把②代入①式并整理得，
25x²=400，
∴x=4，
∴y=40-x2x=40-424=6，
∴AD=x+y=4+6=10.
故选：B.
设CE=x，AE=y，分别用x，y表示出sin∠CBD和sin∠CAD，由sin∠CBD=sin∠CAD，列出方程关于x，y的方程，再根据勾股定理DE²=CD²-CE²=AD²-AE²，列出方程关于x，y的方程，两方程联立解出x，y的值，从而得到AD的长度．
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理建立方程求解是解题关键．
11.【答案】x≥12
【解析】
【分析】
本题考查函数自变量取值范围的求法以及二次根式有意义的条件．
根据被开方数大于等于0可知：2x-1≥0，解得x的范围．
【解答】
解：根据题意得：2x-1≥0，
解得，x≥12.
故答案为：x≥12.
12.【答案】-1
【解析】
【分析】
直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出a，b的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
【解答】
解：∵点A(3,a)关于x轴的对称点为B(b,4)，
∴b=3，a=-4，
∴a+b=3-4=-1.
故答案为：-1.
13.【答案】a(x-2)2
【解析】
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
本题主要考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键.
【解答】
解：ax2-4ax+4a
=a(x2-4x+4)
=a(x-2)2，
故答案为：a(x-2)2.
14.【答案】240
【解析】
【分析】
由三角形外角的性质得到∠1+∠2=∠A+∠A+∠AED+∠ADE，由三角形内角和定理，即可得到答案．
本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60∘，
∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，
∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AED+∠ADE=60∘+180∘=240∘.
故答案为：240.
15.【答案】 32
【解析】
【分析】
由条件可以证明Rt△OAD≌Rt△OCD，△ABO≌△CBO推出∠AOB+∠AOD=12×360∘=180∘，得到A、O、D三点共线，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质，推出∠AOD=2∠ADO，由直角三角形的性质，即可求出∠ADO的度数，得到∠ABC的度数，即可解决问题．
本题考查切线的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出∠AOD=2∠ADO；由直角三角形的性质，求出∠ADO=30∘.
【解答】
解：连接OA，OC，OB，OD，
∵AD与⊙O相切于点A，CD与⊙O相切于点C，
∴∠OAD=∠OCD=90∘，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵OD=OD，
∴Rt△OAD≌Rt△OCD(HL)，
∴∠AOD=∠COD，
∵OA=OC，OB=OB，
∴△ABO≌△CBO(SSS)，
∴∠AOB=∠BOC，∠ABO=∠CBO，
∴∠AOB+∠AOD=∠BOC+∠COD=12×360∘=180∘，
∴A、O、D三点共线，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠OAB=∠ABD，
∴∠AOD=∠OAB+∠ABD=2∠ADO，
∵∠AOD+∠ADO=90∘，
∴3∠ADO=90∘，
∴∠ADO=30∘，
∴∠ABC=2∠ABD=2×30∘=60∘，
∴sin∠ABC=sin60∘= 32.
故答案为： 32.
16.【答案】1
2 55

【解析】
【分析】
(1)根据已知条件得到AE=CF，推出点F在CD的中点，于是得到EF=FG=4，DG=FG-FD=1；
(2)设AE=a，作FH⊥AB于H，作IG⊥CD于I，得到∠FHE=∠GIF=90∘，根据旋转的性质得到∠EFG=90∘，EF=FG，根据全等三角形的性质得到EH=GI，①当0本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理以及二次函数的性质等知识，添加恰当辅助线是解题题的关键．
【解答】
解：(1)当E为AB的中点时，
∵AE=CF，
∴点F为CD的中点，
∴EF=FG=4，DG=FG-FD=1；
(2)设AE=a，作FH⊥AB于H，作IG⊥CD于I，
∴∠FHE=∠GIF=90∘，
∵将线段EF绕点F逆时针旋转90∘得到线段FG，
∴∠EFG=90∘，EF=FG，
∴∠EFH+∠EFI=∠EFI+∠GFI=90∘，
∴∠EFH=∠GFI，
∴△EFH≌△GFI(AAS)，
∴EH=GI，
①当0∴DG2=ID2+IG2=(2-a)2+(6-2a)2=5a2-28a+40=5(a-145)2+45，
当a=145时，DG2取最小值45，
∴DG=2 55；
②当3≤a<6，GI=EH=2a-6，ID=FI-FD=FH-FD=a-2，
∴DG2=ID2+IG2=(a-2)2+(2a-6)2=5a2-28a+40=5(a-145)2+45，
当a=3时，DG2取最小值1，
∴DG=1；
∵2 55<1，
∴DG的最小值为：2 55.
17.【答案】解：解不等式4x-2≥3(x-1)得：x≥-1，
解不等式x-52>x-4得：x<3，
∴该不等式组的解集为-1≤x<3.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠AOE=∠COF∠EAO=∠FCOAE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AO=CO.
【解析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得AO=CO.
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)A=2a2-4-1a(a-2)
=2aa(a+2)(a-2)-a+2a(a+2)(a-2)
=1a(a+2)；
(2)①点P(a,a+2)是反比例函数y=8x图象上的点，
∴a(a+2)=8，
∴A=1a(a+2)=18；
②∵a是方程x2+x=8-x的一个根，
∴a2+a=8-a，
∴a(a+2)=8，
∴A=1a(a+2)=18；
【解析】(1)利用分式的减法法则化简即可；
(2)①由点P在反比例函数图象上，即可得出a(a+2)的值，代入化解后的分式A中即可得出答案；
②a是方程x2+x=8-x的一个根，即可得出a(a+2)的值，代入化解后的分式A中即可得出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，分式的混合运算，正确进行分式的化简是解题的关键．
20.【答案】解：(1)280；
(2)列表如下：
共有20种情况，其中1名男同学和1名女同学的有12种结果，
则恰是1名男同学和1名女同学的概率为1220=35.
【解析】
【分析】
(1)总人数乘以样本中平均每周家务劳动时间少于2小时的学生人数所占比例即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：(1)估计平均每周家务劳动时间少于2小时的学生大约有400×8+208+20+7+5=280(人)，
故答案为：280；
(2)见答案；
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过D点，D(4,3)，
∴k=4×3=12；
(2)分别过点D、B作x轴垂线DF，BG；
∵DF//BG，
∴△ODF∽△OBG，
∴ODOB=DFBG，
∵ODOB=13，DF=3，
∴BG=9，
∵平行四边形OABC中，BC//OA，
∴点C的纵坐标为9，
∵点C在反比例函数y=12x上，
∴C(43,9)，
又∵D(4,3)，
设直线CD解析式为：y=ax+b，则4a+b=343a+b=9，
解得a=-94b=12，
∴直线CD解析式为：y=-94x+12，
令y=0，-94x+12=0，解得x=163，
∴点E(163,0)，
∴OE=163，
∴S△ODE=12DF⋅OE=12×3×163=8.
【解析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)分别过点D、B作x轴垂线DF，BG，通过证得△ODF∽△OBG，求得BG=9，进一步求得C(43,9)，利用待定系数法求得直线CD的解析式，即可求得点E的坐标，根据三角形面积公式即可求得△ODE的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法以及求得关键点的坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)该企业制作的第一批文化衫每件的成本是x元，则该企业制作的第二批文化衫每件的成本是(x+3)元，
根据题意得：6600x+3=3000x×2，
解得：x=30，
经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意．
答：该企业制作的第一批文化衫每件的成本是30元；
(2)该企业制作的第一批文化衫数量为3000÷30=100(件)，
该企业制作的第二批文化衫数量为6600÷(30+3)=200(件).
设每件文化衫标价为y元，
根据题意得：(300-30)y+30×0.6y-3000-6600=(3000+6600)×50%，
解得：y=50.
答：每件文化衫标价为50元．
【解析】(1)该企业制作的第一批文化衫每件的成本是x元，则该企业制作的第二批文化衫每件的成本是(x+3)元，利用数量=总价÷单价，结合制作第二批文化衫的数量是第一批数量的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)利用制作数量=制作总成本÷制作单价，可求出该企业制作的第一、二批文化衫的数量，设每件文化衫标价为y元，利用总利润=销售单价×销售数量-制作总成本，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23.【答案】(1)解：如图，线段BE即为所求；
(2)证明：∵∠DEB=∠ABE+∠BAE，∠DBE=∠DBC+∠CBE，
又∵∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD=∠DBC，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DB=DE；
(3)解：如图2，连接DB，DC，延长AC至点M，使得CM=AB，连接DM，
由(1)可得，BD=DC，∠DCM=180∘-ACD=∠ABD，
∴△ABD≌△MCD(SAS)，
∴DA=DM，∠CDM=∠BDA，
∴∠ADM=∠BDC=180∘-∠BAC=120∘，
在△ADM中，设AM边上的高h，则AD=2h，AM=2 3h，
∴AB+ACAD=AMAD=2 3h2h= 3，
∵∠BDC=180∘-∠BAC=120∘，DB=DC，DJ⊥BC，
∴∠BDJ=∠CDJ=60∘，BJ=JC=3，
∴BD=BJsin60∘=3 32=2 3，
∴DE=DB=2 3，
∴AD=AE+DE=10 33，
∴AB+AC= 3AD=10，
∴△ABC的周长=10+6=16.
【解析】(1)根据要求作∠ABC的平分线即可；
(2)根据三角形外角的性质证明∠DEB=∠DBE，可得结论；
(3)如图2，连接DB，DC，延长AC至点M，使得CM=AB，连接DM，首先证明AB+ACAD= 3，求出AD，可得结论．
本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24.【答案】解：(1)∵抛物线过点A(1,a+5b)，
∴a+b+c=a+5b，
解得c=4b；
(2)由(1)知抛物线解析式为y=ax2+bx+4b(a≠0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a，
又BC=6，
∴点B的坐标为(-b2a-3,0)，
把点B的坐标代入抛物线解析式得0=a(-b2a-3)2+b(-b2a-3)+4b，
化简得b2-16ab-36a2=0，
∴(b-18a)(b+2a)=0，
∴b=18a或b=-2a，
∴-b2a=-9或1，
∴点B的坐标为(-12,0)或(-2,0)；
(3)∵m>0，
∴1-m∵当y≤3时，x≤1-m或x≥m+1，
∴抛物线过点(1-m,3)和(m+1,3)且抛物线开口向下，
∴抛物线的对称轴为直线x=1-m+m+12=1=-b2a，
∴b=-2a，
∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-8a(a<0)，
∴当x=1时，ymax=a-2a-8a=-9a，
∵抛物线过点(1-m,3)和(m+1,3)，
∴-9a>3，解得a<-13，
当a=-13时，抛物线解析式为y=-13(x2-2x-8)，
令y=-9得-13(x2-2x-8)=-9，
解得x=-5或7，
过点(0,-9)作y轴垂线交抛物线于点D(n1,-9)，E(n2,-9)，
∵|a|越大，抛物线开口越小，
∴当a<-13时，n1>-5，n2<7，
在抛物线y=ax2-2ax-8a(a<0)中，令y=0，则ax2-2ax-8a=0，
解得x=-2或4，
∴抛物线G过定点(-2,0)和(4,0)，
又∵点D(n1,-9)只能在点(-2,0)的左边，点E(n2,-9)只能在点(4,0)的右边，
∴-5∴-5方法二：(2)设B(x1,0)，C(x2,0)，
则x1，x2为方程ax2+bx+4b=0的解，
根据根与系数的关系得x1+x2=-ba，x1⋅x2=4ba，
设ba=t，则x1+x2=-t，x1x2=4t，
∴BC=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1⋅x2=6，
∴(-t)2-4×4t=36，
解得t=18或-2，
∴-b2a-3=-t2-3=-12或-2，
∴点B的坐标为(-12,0)或(-2,0).
【解析】(1)把点A(1,a+5b)代入y=ax2+bx+c即可求得c=4b；
(2)求得抛物线的对称轴，即可得到点B的坐标为(-b2a-3,0)，代入抛物线解析式化简得到b2-16ab-36a2=0，分解因式得到(b-18a)(b+2a)=0，从而求得b=18a或b=-2a，进一步求得点B的坐标为(-12,0)或(-2,0)；
(3)由m>0可知1-m本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵0∴0<2BE<4，
∴0(2)过点D作DG⊥BC，过点F作FH⊥BC，
∵∠DGE=∠EHF=∠DEF=90∘，
∴∠EDG+∠DEG=90∘，∠DEG+∠FEH=90∘，
∴∠EDG=∠FEG，
∴△DGE∽△EHF，
设BE=a，则AF=2a，
∵D为AB中点，
∴BD=2，
在Rt△DGB中，∠DBG=60∘，
∴BG=1，DG= 3，
∴EG=a-1，
∵AC=4，
∴CF=4-2a
∵∠C=60∘，
∴CH=2-a，FH= 3(2-a)，EH=4-BE-CH=2，
∵△DGE∽△EHF，
∴DGEH=GEFH，即 32=a-1 3(2-a)，
解得：a=85，即BE=85；
(3)如图，连接BF，过点F作FH⊥BC于H，过点C作CK⊥AC且CK=4 3，
在△BDE与△ABF中，
∵AB=2BD，AF=2BE，∠DBE=∠A=60∘，
∴△BDE∽△ABF，
∴BF=2DE，
设BE=a，
由(2)可知EH=2，
又∵∠FCH=60∘，CFFH=2 3，
又∵CK=4 3.CKEH=2 3=CFFH，
又∠EHF=∠FCK=90∘，
∴△EFH∽△KFC，
∴FKEF=2 3，即FK=2 3EF.
∴ 3DE+EF= 32(2DE+2 3EF)= 32(BF+FK)≥ 32BK.
当且仅当B，F，K三点共线时取等号，即 3DE+EF取得最小值．
过点K作KM⊥BC交BC的延长线于点M，
∵∠KCM=30∘，CK=4 3，
∴CM= 32CK=2，KM=12CK=2 3，
∴BM=BC+CM=6，
在Rt△KBM中，
∴BK= BM2+KM2= 62+(2 3)2=4 7 3，
∴ 3DE+EF≥ 32BK=2 7
即 3DE+EF的最小值是2 7.
【解析】(1)根据AF的取值范围，可得结论；
(2)过点D作DG⊥BC，过点F作FH⊥BC，证明△DGE∽△EHF，设BE=a，则AF=2a，利用相似三角形的性质构建方程求解；
(3)如图，连接BF，过点F作FH⊥BC于H，过点C作CK⊥AC且CK=4 3，构造相似三角形解决问题即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
劳动时间(x/时)
频数(学生人数)
0≤x<1
8
1≤x<2
20
2≤x<3
7
3≤x<4
5
男
男
女
女
女
男
(男，男)
(女，男)
(女，男)
(女，男)
男
(男，男)
(女，男)
(女，男)
(女，男)
女
(男，女)
(男，女)
(女，女)
(女，女)
女
(男，女)
(男，女)
(女，女)
(女，女)
女
(男，女)
(男，女)
(女，女)
(女，女)