2023年辽宁省阜新市新邱区中考数学一模试卷(含答案)

2023年辽宁省阜新市新邱区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某校开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有名，他们的决赛成绩如表所示：

则这名学生决赛成绩的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

7.  我国元朝朱世杰所著的算学启蒙一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走里，慢马每天走里，慢马先走天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，是等边的外接圆，若，则的半径是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，由图中的尺规作图得到的射线与交于点，则以下推断错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，四边形是边长为的正方形，点，点分别为边，中点，点为正方形的中心，连接，，点从点出发沿运动，同时点从点出发沿运动，两点运动速度均为，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  已知关于、的方程的解满足，则的值为______．

13.  化简：______．

14.  贵阳市年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是______ ．

15.  如图，在正六边形中，分别以，为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为______．

16.  如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且▱的面积为，则______．

17.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将线段向右平移个单位长度，得到线段，点的对应点的坐标是______．

18.  如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为点，，且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点，，当点为的三等分点时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
年月日至日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．

表中______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若某班恰有名女生和名男生的初赛成绩均为分，从这名学生中随机选取名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

21.  本小题分
如图，四边形是菱形，点，分别在，上，求证：．

22.  本小题分
已知关于的一元二次方程有，两实数根．
若，求及的值；
是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔他由地沿正东方向骑行到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行到达地．
求地与信号发射塔之间的距离；
求地与信号发射塔之间的距离计算结果保留根号
 

24.  本小题分
问题提出
如图，在和中，，，点在内部，，之间存在怎样的数量关系？
问题探究
先将问题特殊化如图，当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
再探究一般情形如图，当点，不重合时中的结论仍然成立．
问题拓展
如图，在和中，，是常数，点在内部，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．

 

25.  本小题分
是的直径，是上一点，，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点．
如图，求证；
如图，连接，若的半径为，，求的长．
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
求抛物线的解析式；
点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标；
已知点是轴上的动点，过点作的垂线交抛物线于点，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是；
故选：．
根据实数的大小比较法则即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较，熟练掌握掌握大于，负数小于，正数大于一切负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C、根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握修改运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：出现的次数最多，次，
众数为；
中位数是第个，个数据的平均数即，
故选D．
根据众数，中位数的定义计算选择即可．
本题考查了中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数，众数在一组数据中出现次数最多的数据，熟练掌握定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
故选：．
根据根的判别式好已知条件得出，再求出的范围即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程没有实数解．
 

6.【答案】 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．
故选：．
根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．
本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用路程速度时间，结合天快马比慢马多走的路程为慢马天走的路程，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，

是等边的外接圆，
平分，
，
又，
，
在中，，
，
解得：，
故选：．
连接，过点作，结合三角形外心和垂径定理分析求解．
本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，
，
．
，
．
平分，
．
．
故选项B正确；
．
．
故选项A正确；
，
故选项C正确；
在中，，
又，
故选项D错误．
故选：．
根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可．
本题考查了顶角为的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，
正方形的边长为，点为正方形的中心，
直线垂直，
点到直线的距离为，，
；
当时，
正方形的边长为，点分别为边，中点，点为正方形的中心，
直线，
点到直线的距离为，，
；
故选D．
分和两种情形，确定解析式，判断即可．
本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，得
，
，
，
，
．
故答案为：．
可得，然后列出关于的方程求解即可．
本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
 

13.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有种，
甲、乙两位同学分到同一组的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：正六边形的内角是度，阴影部分的面积为，
设正六边形的边长为，
，
解得．
则正六边形的边长为．
根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．
本题考查了扇形面积的计算．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于，如图，

四边形为平行四边形，
轴，
四边形为矩形，
，
，
而，
．
故答案为：．
作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
 

17.【答案】 

【解析】解：将线段向右平移个单位长度，得到线段，点的对应点的坐标是，即，
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

18.【答案】或 

【解析】解：当时，，
将矩形纸片折叠，折痕为，
，，，，，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
过点作于点，则，
设，
则，
，
，
，
，
解得：，
；
当时，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：或．
根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明∽，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算开方运算、特殊三角函数值、负整数指数幂的运算及绝对值的运算，再合并即可．
此题考查的是实数的运算，负整数指数幂的运算，特殊三角形函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

20.【答案】解：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
用抽取的总人数减去其他三个组的频数得出的值，再由频率的定义求出，即可；
由中求得的的值，补全频数分布直方图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：由题意得：，，，
故答案为：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点评】
本题考查的是频数分布表，频数分布直方图，用树状图法求概率等知识．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．  

21.【答案】证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌
． 

【解析】连接，由菱形的性质得，再由证≌，即可得出结论．
此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，证得≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得，，，
若，，解得，
，
解得：，；
，
，
，，
，
整理得：，
解得：，，
经检验，为原方程的解，
又一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
． 

【解析】根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，即可求出及的值；
将，代入，整理得：，求出的值，然后再舍去不合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：，是解题关键．
 

23.【答案】解：依题意知：，，，
过点作于点，

，，
，
，，
，
，
，
；
，，
，
过点作于，
，，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据题意得到，，，过点作于点，求得，得到，由，求得，于是得到结论；
过点作于，根据，，求得，得到，，根据，于是得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
 

24.【答案】解：结论：；
理由：如图，
，，
，
，，
≌，
，，
而点、重合，故BE，
而为等腰直角三角形，
故DE，
则，
即；
证明：如图，由知，≌，

，，
过点作交于点，
，，
，
，，
≌，
，，
故为等腰直角三角形，则，
则，
即；
解：结论：．
理由：由知，，
而，，
即，
∽，
，
过点作交于点，

由知，，
∽，
，
则，，
在中，，
则，
即． 

【解析】证明≌，则为等腰直角三角形，故DE，进而求解；
由知，≌，再证明≌，得到为等腰直角三角形，则，即可求解；
证明∽和∽，得到，则，，进而求解．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：与相切于点
，
，
，
，
，
．
如图，连接，
，，
根据勾股定理得，
，，
∽，
，
，
，
，
是的直径，
，
在中，根据勾股定理得，
在中，根据勾股定理得

． 

【解析】利用等角的余角相等证明即可；
利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求，根据垂径定理和勾股定理即可求出．
本题考查相似三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：将点，分别代入中，得：，解得，
抛物线得函数关系为；

由抛物线的表达式知，其对称轴为，
故设点，
设点，
当以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则且，
解得或，
故点、的坐标分别为、或、；

当时，，解得：，，
，
又，
抛物线得顶点得坐标为，
、、，
，，，
，
是直角三角形，且，
设点得坐标，则点得坐标为，
根据题意知：，
要使以、、为顶点得三角形与相似，需要满足条件：，
当时，此时有：，
解得：，或，，都不符合，所以时无解；
当时，此时有：，
解得：，不符合要求，舍去或，不符合要求，舍去，
或，
当时，此时有：或，
解得：不符合要求，舍去或，不符要求，舍去，
点或，
答：存在点，使得、、为顶点得三角形与相似，点的坐标为：或或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
当以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形时，点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到点，即可求解；
要使以、、为顶点得三角形与相似，需要满足条件：，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．