2023年福建省南安实验中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年福建省南安实验中学中考二模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省南安实验中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α）
A． B． C． D．
2．如图，矩形由个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（    ）
  
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）
    
A． B． C． D．
4．如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形为五棱镜的一个截面，．光线垂直射入，且只在和上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，最后光线垂直射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的条件为折射率)

A． B． C． D．
5．春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7
6．如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（）

A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根
7．生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（    ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大
B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的倍
D．圆是轴对称图形
8．若二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝12，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
10．已知点A（m，n）在抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象上，且当1﹣t＜x＜5+t时，y＞s；当x≤1﹣t或x≥5+t时，y≤s时，若k﹣n＝|16a|，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1或7 D．3或7

二、填空题
11．医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为 _____．
12．我国古代数学著作《九章算术》有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其意思是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？”设好田买了x亩，坏田买了y亩，可列方程组为_______ ．
13．若正整数，且为整数，，则____．
14．如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是______．


15．已知一次函数y＝kx+2k+3(k≠0)，不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为______．
16．已知：如图，在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交的延长线于点，且，有下列四个结论：①菱形的面积为；②点的坐标是；③双曲线的解析式为；④．其中正确的结论有__________．


三、解答题
17．解下列不等式组

18．如图，四边形是的内接四边形，，，作于点，于点，、相交于点．求证：四边形是菱形．
  
19．“疫情就是命令，防控就是责任！”今年春节期间，新型冠状病毒感染的肺炎疫情爆发．面对疫情加快蔓延的严重形势，我市党员教师发扬不畏艰险、无私奉献的精神，挺身而出，协助当地社区做好疫情监测、排查、预警、防控等工作．某社区名党员教师参加社区工作时间（单位：天）的情况统计如下：
时间（天）





党员教师人数
4
6
7


对这名党员教师参加社区工作时间的推断：
(1)平均数是
(2)中位数是
(3)众数是
20．如图，在中，，在边上，是边上一点，若，，，求的长
  
21．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯（）走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听．他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，这就是我们所熟知的黄金分割．由此，黄金矩形和黄金三角形等纷纷衍生而出．黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，同样，所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值黄金分割率和黄金矩形、黄金三角形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．
(1)尺规作图：请在答题卡的规定范围内作黄金矩形（不写作法，保留作图痕迹）
(2)著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，那么的值为
(3)如图，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点A对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点．
  
22．年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛人在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下：
①在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；
②在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分，比赛继续进行，以加时法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，加时法加时赛中获胜的队将额外获得1分；
③在加时法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．
若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为，进球数相同的概率为；在加时法加时赛中，甲队获胜的概率为，双方都没有得分的概率为，在点球赛中，甲队获胜的概率为，假设各比赛结果相互独立．
在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；
23．在平面直角坐标系中，点和点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上，且，，点是的中点．若直角绕点旋转，射线分别交轴、轴于点、，射线交轴于点，连接．当点和点分别在轴的负半轴和轴的正半轴时，若，求点的坐标．
  
24．如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图像，求值．
  
25．【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．


参考答案：
1．B
【分析】根据题意即可写出式子．
【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：，
故选：B．
【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键．
2．D
【分析】分类讨论长宽即可得到答案.
【详解】解：当以第一列的每一个正方形的长为长方形的宽有：，
当以第二列的每一个正方形的长为长方形的宽有：，
当以第三列的每一个正方形的长为长方形的宽有：，
当以第一列的相邻两个正方形的长为宽时：，
当以第二列的相邻两个正方形的长为宽时：，
当以第三列的相邻两个正方形为宽时：，
当以第四列的相邻两个正方形为宽时：，
当以第一列的三个正方形为宽时：，
当以第二列的三个正方形为宽时：2，
当以第三列的三个正方形为宽时：2，
当以第四列的三个正方形为宽时：1，
总共：个矩形，
故选：D；
【点睛】本题考查矩形的定义，解题的关键是分类讨论．
3．D
【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，
    
∴设小圆的半径为，大圆的半径，
∵像素，，
∴，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．
4．D
【分析】根据几何关系求出入射角，通过折射定律求出五棱镜折射率的最小值即可得到答案；
【详解】解：设入射到面上的入射角为，因为在和上发生反射，且两次反射的入射角相等，

根据光学几何关系可得，
∴两次反射的入射角相等，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴最小折射率，
故选：D；
【点睛】本题主要考查解答几何光学问题，解题的关键是正确作出光路图．
5．D
【分析】根据AN∥SC，则，求出：AN＝3.6＝RS，AR＝NS＝BS＋NB，则AM＝10，RD＝RS＋SC＋CD＝3.6＋24＋16＝43.6＝MG，EM＝MGtan37°＝32.7，最后根据AE＝EM−AM，即可求解．
【详解】解：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，过点G作GM平行于地面交AE于点M，

坡度为1：2.4，BC＝26，则BC＝10，SC＝24，BS＝10，
∵AN∥SC，∴，
即：，解得：AN＝3.6＝RS，
AR＝NS＝BS+NB＝10+1.5＝11.5，则AM＝10，
RD＝RS+SC+CD＝3.6+24+16＝43.6＝MG，
EM＝MGtan37°＝32.7，
AE＝EM﹣AM＝32.7﹣10＝22.7，
故选：D．
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
6．A
【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解．
【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM=∠AEM，，
∴，
∵M是三条角平分线的交点
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1=∠2，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
△DBM∽△EMC，
∴，

即：，
即．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．
7．B
【分析】根据圆的特征即可求解．
【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．
8．C
【分析】先求得点A、B、C的坐标，然后可求得AB、AC、BC的长，即可证明△BAC为等边三角形．
【详解】解：令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴x＝＝，
∴AB＝||．
∵b2﹣4ac＝12，
∴C（﹣，﹣）．
∴AC＝＝||．
由抛物线的对称性可知BC＝||，
∴AC＝BC＝AB，
∴∠ACB＝60°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，求得点A、B、C的坐标是解题的关键．
9．D
【分析】根据该抛物线的解析式可求得对称轴为直线x=1，再根据已知得y1=y2≤0，可分a＜0和a＞0，根据二次函数的性质讨论列出关于a的不等式组即可求解．
【详解】解：由题意，该抛物线的对称轴为直线，
∴两点关于对称轴x=1对称，即y1=y2，
∵四个数中有且只有一个大于零，
∴y1=y2≤0，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，又1+ ＜3＜4，
∴y3、y4必小于0，不符合题意，
∴a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴y3≤0、y4＞0，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的性质，得出a＞0和y3≤0、y4＞0是解答的关键．
10．C
【分析】先根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象，当1﹣t＜x＜5+t时，y＞s；当x≤1﹣t或x≥5+t时，y≤s时，即可得到抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，则，，再由点A（m，n）在抛物线的图像上，可得，由此求解即可．
【详解】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象，当1﹣t＜x＜5+t时，y＞s；当x≤1﹣t或x≥5+t时，y≤s时，
∴抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，
∴，，
∵点A（m，n）在抛物线的图像上，
∴，
∴，即，
∴，
解得或，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，二次函数的对称性，解一元二次方程，解题的关键在于能够根据题意得到抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下．
11．1.56×10﹣4
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000156＝1.56×10﹣4．
故答案为：1.56×10﹣4．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题关键是熟练掌握绝对值小于1的数用科学记数法表示的方法．
12．
【分析】设好田买了亩，坏田买了亩，根据合买好田、坏田100亩共需10000钱，即可得出关于的二元一次方程组．
【详解】设好田买了亩，坏田买了亩，
依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．125
【分析】由，，为正整数，且，为正整数可得只能为1，从小到大讨论，，的值求解．
【详解】解：，，为正整数，且，
，，，
，
即，
又为整数，
，．
若，则，
即，
只能为2，
即，
若，则，
即．
只能为3，
即，
综上，．
故答案为：125．
【点睛】本题考查分式的加减法，解题的关键是分类讨论，，的值．
14．8
【分析】首先根据平行四边形的性质得出,再说明EF是△ADO的中位线，得出,即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
又∵E,F为AD,OD的中点，
∴,
∴,
∴,
故填：8．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线的判定和性质，熟练掌握平行四边形和三角形中位线的性质是解题关键．
15．（﹣2，3）
【详解】原函数可变形为：y=k(x+2)+3，
则当x=﹣2时，y=3，
故不论k为何值，该函数的图象都经过点A（﹣2，3）.
故答案为（﹣2，3）.
16．①②/②①
【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的面积计算方法可判定结论①；根据题意可得的长且为的中位线，由此求出点的坐标可判定结论③；用待定系数法求出双曲线解析式可判定结论②；在中，，，根据勾股定理可判定结论④，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵四边形是菱形，点的坐标为，，
∴，
故结论①正确；
∴根据题意可知，，即，
∴，
∵相互垂直，
∴，为的中位线，
∴，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∵点在双曲线的图像上，
∴，则，
∴双曲线的解析式为，
故结论③错误；
∵点是的中点，
∴，
∵点在双曲线的图像上，
∴点的纵坐标为，
∴，解得，
∴点的坐标为，
故结论②正确；
∵轴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，即，
故结论④错误；
综上所述，正确的有①②．
故答案为：①②．
【点睛】主要考查几何图形与函数的综合，掌握几何图形的性质，待定系数法求反比例函数及反比例函数图像的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的计算方法等知识是解题的关键．
17．；
【分析】联立与得到，化简根据完全平方非负性直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
化简得，

∵，
∴不等式的解集为：；
【点睛】本题考查解一元二次不等式，解题的关键是化简得到，结合完全平方的非负性求解．
18．证明过程见详解
【分析】根据，，，可证，是等腰三角形，再证明，，，由此即可求证．
【详解】证明：∵四边形是的内接四边形，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则是等腰三角形，
在中，
，
∴，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，，
∴在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)（天）；
(2)；
(3)众数见详解；

【分析】（1）根据加权平均数公式直接求解即可得到答案；
（2）根据中位数定义找到最中间两个数求平均值即可得到答案；
（3）找到出现次数最多的数即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
当时，
（天），
∴平均数是：（天）；
（2）解：∵，，
∴中位数落在上，；
（3）解：①当的一个数个数大于时，众数是的这个数，
②当的一个数个数等于时，众数是的这个数和，
③当的数个数都小于时，众数是；
【点睛】本题考查求众数，中位数，平均数，解题的关键是熟练掌握几个定义及分类讨论众数情况．
20．
【分析】根据得到，结合即可得到，从而得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质得到三角形相似．
21．(1)作图见详解；
(2)3；
(3)证明见详解；

【分析】（1）画一条线段，找到其中点O，过B作的垂线，点B为圆心为半径画圆交垂线于一点F，连接，以F为圆心为半径画圆交与一点E，点B为圆心为半径画圆交于一点C，过A和C作垂线交于一点即可得到答案；
（2）找到：a，b齐次的项的规律，直接求解即可得到答案；
（3）连接，设，根据折叠得到，，，根据勾股定理直接列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：画一条线段，找到其中点O，过B作的垂线，点B为圆心为半径画圆交垂线于一点F，连接，以F为圆心为半径画圆交与一点E，点B为圆心为半径画圆交于一点C，过A和C作垂线交于一点D，则矩形即为黄金矩形；
  
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点A对应点，得折痕
∴，，，
设，则，
根据勾股定理得，
，
，
解得：，
∴，
∴是的黄金分割点；
  
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，尺规作图，及规律题，解题的关键是理解黄金分割，根据折叠性质得到线段关系结合勾股定理列式求解．
22．
【分析】分别求出当甲，乙常规时间进球相同，突然死亡法加时赛双方都没有得分，当甲，乙常规时间进球相同，突然死亡法加时赛双方都没有得分两种情况的概率，并对所求的结果求和，即可求解；
【详解】解：∵甲队得2分获胜，
∴只能是双方进球相等，每队各得1分，进行加时法或点球法，
①加时法：各比赛结果相互独立，
∵进球数相同的概率为；在加时法加时赛中，甲队获胜的概率为，
∴，
②点球法：各比赛结果相互独立，
∵进球数相同的概率为；在加时法加时赛中，双方都没有得分的概率为，在点球赛中，甲队获胜的概率为，
∴，
∴；
【点睛】本题考查独立事件的概率，解题的关键是熟练掌握相互独立事件概率的求法．
23．点N的坐标为
【分析】先过点D作轴于C，作轴于E，则得出，，，再设，则，判定，得出，判定，得出，再根据，得出关于x的方程，求得x的值即可得到点N的坐标；
【详解】如图，过点D作轴于C，作轴于E，
  
∵点是的中点，轴，轴，
则，，，
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
解得：（舍去），，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴点N的坐标为．
【点睛】本题属于相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例进行推导计算．
24．的值为
【分析】根据图2可知时，点停止运动，可计算出的长，分类讨论，当时，当时分别计算出的面积，当到达点时，，由此即可求解．
【详解】解：根据图2可知，时，点停止运动，
∴，
根据题意得，，
当在上时，即，
∴，如图所示，过作于点，
  
∵，
∴在中，，
∴；
当点在上时，即时，如图所示，
  
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
综上所述，当点到达点时，，
∴当时，，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查函数与几何图形的变换的综合，掌握动点与几何图形的性质，函数图像的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）根据ASA证明；
（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）如图，由折叠得到，
，
．
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．

（2）如图，连接，

由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．

，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，

由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．

②当点在点右边时，如图，

同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．

【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
．