2021届福建省泉州市高三毕业班质量检测数学试题（解析版）

2021届福建省泉州市高三毕业班质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据交集的定义可得，从而可得正确的选项.

【详解】

依题意，，

故选：C.

【点睛】

本题考查交集的计算，此类问题，关键是理解描述法表示集合时对集合元素属性的要求，本题属于容易题.

2．下列函数为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先由定义判断与是奇函数，既非奇函数，也非偶函数，为偶函数，再给出选项即可.

【详解】

解：A选项：因为函数，所以，故A选项错误；

B选项：因为函数，所以，故B选项错误；

C选项：因为函数且，故C选项错误；

D选项：因为函数，定义域为，且，故D选项正确；

故选：D

【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断，是基础题.

3．己知三条不同的直线，平面，且，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据直线与平面垂直的定义及判定定理判断即可.

【详解】

根据直线与平面垂直的判定定理，若，，，，则

故由“，，”不能推出“”，所以不是充分条件；

又由线面垂直的定义可知“，则，”为真命题，

所以“，”是“”的必要不充分条件；

故选:B.

【点睛】

本题考查线面垂直的定义与判定，属于基础题.

4．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】根据公式，可求出，进而可知，求解即可.

【详解】

，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查新定义，考查复数的模，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据指数函数与对数函数的单调性可得，，，进而可得结果.

【详解】

，，，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了指数式、对数式大小比较，属于基础题.

6．2020年7月31日上午，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通并提出“新时代北斗精神”.已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含有地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，角速度约为15度/小时，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是（    ）

A．指数函数模型 B．对数函数模型 C．幂函数模型 D．三角函数模型

【答案】D

【解析】设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点处，与x轴正半轴的夹角为，经过t小时后，卫星在点P处，则与x轴正半轴的夹角为，根据三角函数知识，可得出点P的纵坐标的关系式，进而可选出答案.

【详解】

如图，不妨假设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点处，与x轴正半轴的夹角为，经过t小时后，卫星在点P处，则与x轴正半轴的夹角为，则点P的纵坐标.

所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数模型的实际应用，考查学生的推理能力，属于基础题.

7．设抛物线C：的焦点为F，点A、B在C上，若，，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出准线，过作，垂直于准线，垂足分别为，利用，，在直角梯形中可求得的斜率．

【详解】

如图，l为抛物线的准线，分别过点A，B作垂线垂直l于，，由抛物线的定义可知，，.所以.过A作垂直于H，在中，，，所以，，由对称可知也满足题意，点A，B其他情形亦同法可得该结果，

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦的性质，解题方法是利用抛物线的定义，把抛物线上到焦点的距离与这絰准线的距离联系起来，通过平面几何知识求解．

8．若函数的值域为，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】就、分类讨论求出在上的范围后，再结合已知的值域可得关于a的的不等式，从而得到a的取值范围.

【详解】

时，，

当时，，分两种情况：

（i）当时，，所以只需，得.即

（ii）当时，，所以只需显然成立，得.

综上，a的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

本题考查分段函数的值域，注意先考虑不含参数的函数在相应范围的函数值的范围，再结合已知的值域判断含参数的函数的性质，本题属于中档题.

二、多选题

9．某校在劳动基地开展开垦菜地、种植蔬菜的实践活动.某班级统计其负责菜地连续八周的蔬菜周产量（单位：斤），并制作折线图如图所示.根据折线图信息，下列结论中正确的是（    ）

A．这八周周产量的众数为19

B．共有4周周产量超过周产量的平均数

C．这八周周产量的中位数小于周产量的平均数

D．前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差

【答案】ABD

【解析】直接根据折线图可得方差的大小关系、计算可得平均数及中位数，即可得答案；

【详解】

由图知，这八周周产量的众数为19，前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差，故A，D正确；这八周周产量的平均数为17.25，中位数17.5，故B正确，C错误.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查通过折线图分析、处理数据，考查数据处理能力，属于基础题.

10．己知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于对称

C．在的最小值为，则m的最大值为

D．将函数的图象向右平移个单位后，可得到的图象

【答案】AC

【解析】直接计算出最小正周期可判断A；计算看是否等于0可判断B，由在的最小值为，可知，即可判断C；化简得，再计算看能否得，即可判断D.

【详解】

由题，A正确；

，B错；

，，所以，，C正确；

，

，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，属于基础题.

11．设d为正项等差数列的公差，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．

【详解】

由题知，只需，

，A正确；

，B正确；

，C正确；

，所以，D错误.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定的范围，由通项公式写出各项（用表示）后，可判断．

12．在棱长为2的正方体中，点M在线段上，，过A、、M三点的平面截正方体所得的截面记为，记与截面的交点为N，则（    ）

A．截面的形状为等腰梯形 B．

C．平面 D．三棱锥的体积为

【答案】BCD

【解析】直接利用三角形的相似，平行线的判定，线面垂直的应用，锥体的体积判定A、B、C、D的结论.

【详解】

对A，如图，连接交于E，

，

即E是中点，取中点F，连接、、，

故，即菱形为与正方体的截面，故A错误；

对B，同理可得，，，故B正确；

对C，连接，由前两个相似三角形可知，，

在正方体中，由，，且，

故面，故而，

同理，且，

平面，平面，故C正确；

对D，，，

故选：BCD.

【点睛】

本题考查的知识要点：三角形的相似，平行线的判定，线面垂直的应用，锥体的体积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.

三、填空题

13．向量，，若，则______

【答案】3

【解析】根据向量平行坐标表示列方程，即得结果.

【详解】

，，

故答案为：3

【点睛】

本题考查根据向量平行求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）

【答案】40

【解析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．

【详解】

∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r

当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项，

∴它的系数是C5322＝40

故答案为40．

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.

四、双空题

15．已知，曲线在点处切线的斜率为______；若恒成立，则a的取值范围为______

【答案】0       

【解析】求出导函数，进而可得，由导数的几何意义可得切线的斜率；利用导数判断函数在单减，单增，只需，解不等式组即可求解.

【详解】

，，

由得，得.

在单减，单增，恒成立，，.

故答案为：0；.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

16．双曲线的渐近线方程为______；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则______.

【答案】       

【解析】由双曲线的标准方程可求得该双曲线的渐近线方程，设点，计算得出，再利用两角差的正切公式可求得的值.

【详解】

由题，，渐近线方程为.

设，由题设，，

又，，即，即，

，，.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，同时也考查了两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

五、解答题

17．已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.

（1）求与的通项公式；

（2）求数列的前项和

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求得和的值，进而可求得数列与的通项公式；

（2）求得数列的通项公式，然后利用分组求和法可求得.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，可得，又，所以.

所以.

由，可得，又，所以，

又因为数列为单调递增的等比数列，则，故，所以；

（2）由（1）可知，

数列的前项和为，

数列的前项和为，

故.

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列通项公式的求解，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题.

18．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.的内角、、的对边分别为、、，已知______.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理边角互化思想结合辅助角公式得出，再结合角的取值范围可求得角的值；

选择条件②，利用正弦定理边角互化思想结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式可得出，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用余弦定理结合条件可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】

（1）选择条件①：

，由正弦定理可得，

，，，即，

所以，，

，则，，解得；

选择条件②：

，由正弦定理得，

，

上式可化简为，

，，，；

（2）由余弦定理，可得，

又由，则，，

因此，的面积为.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也参考了三角形面积公式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

19．如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）记线段的中点M，方法一：通过证明四边形为平行四边形，进而可得，即可证得结论；方法二：证明面面，进而证得结论.

（2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.分别求得法向量，通过，进而可求得正弦值.

【详解】

（1）解法1：记线段的中点M，连接，.

，，且.

四边形为平行四边形，，.

，；，.

四边形为平行四边形，.

又面，面，面

（2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.

则，，，，，

，.

设平面的法向量为，则，.

令，则，.

为平面的一个法向量.

易得为平面的一个法向量.

设二面角的大小为，则.

，即二面角的正弦值为.

解法2：

（1），面，面.

同理，，面，面.

又，面面.

又面，

面.

（2）同解法1.

【点睛】

本题考查线面平行证明，考查向量法求二面角，考查计算能力，属于基础题.

20．已知是函数的一个极值点.

（1）求函数的单调区间；

（2）曲线与的图象有三个不同的公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）增区间为，；减区间；（2）.

【解析】（1）由题意得出，可求得实数的值，再利用导数可求得函数的单调递增区间和递减区间；

（2）令，由题意可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】

（1），该函数的定义域为，，

由是函数的一个极值点，有，得，

.

由，有或；由，有.

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间；

（2）曲线与的图象有三个不同的公共点

等价于方程，

即有三个不同的解，

设，该函数的定义域为，

则，

由得或；由得.

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间.

函数的极大值为，极小值为.

当时，；当时，.

如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，

即曲线与的图象有三个不同的公共点.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的单调区间，利用极值点求参数值，同时也考查了利用导数研究方程的根的个数问题，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

21．某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的质量标准得到下面的柱状图：

（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有回放地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；

（2）按分层抽样从这100个产品中抽取10个.现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为X，求X的分步列及数学期望；

（3）某生产商提供该产品的两种销售方案给采购商选择.

方案1：产品不分类，售价为22元/个；

方案2：分类卖出，分类后的产品售价如下：

根据样本估计总体的思想，从采购商的角度考虑，应该接收哪种方案?请说明理用.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）选择方案2，理由见解析.

【解析】（1）可知4等品的数量为，再根据公式即可计算；

（2）依题意，0，1，2，3，依次计算出概率即可写出分布列，求出数学期望；

（3）计算出方案2的平均单价，和方案1比较即可得出.

【详解】

（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为.

依题意得：.

则.

（2）10个产品中，1等品的有4个，非1等品的有6个.

依题意，，1，2，3.

，，

，.

则X的分布列为

.

（3）方案2的平均单价为.

因为，从采购商角度考虑，应该选择方案2.

【点睛】

本题考查概率的计算，考查分布列和数学期望的求法，考查利用平均值进行决策，属于中档题.

22．已知椭圆C：的的离心率为，且其右顶点到右焦点的距离为1.

（1）求C的方程；

（2）点M、N在C上，且，证明：存在定点P，使得P到直线的距离为定值.

【答案】（1），（2）证明见解析.

【解析】（1）根据已知列出方程组，解方程即可求得结果；

（2）若直线与x轴垂直，求得的坐标，若直线不与x轴垂直，设直线的方程为与椭圆方程联立，由可得，利用韦达定理化简可得，则有，即可证得存在点符合条件.

【详解】

（1）由题意得，解得，，所以椭圆C的方程为；

（2）①若直线与x轴垂直，由对称性可知，

将点代入椭圆方程中，解得；

②若直线不与x轴垂直，设直线的方程为，

，，由，消去y整理得，

所以，，

又，则，

即，

所以，

整理得，

即，故存在定点.

综上所述，存在定点，使得P到直线的距离为定值.

【点睛】

本题考查根据椭圆性质求方程，考查直线和椭圆关系中定点、定值问题,考查计算能力，属于中档题.