2018北京西城高二（上）期末数学（文）（教师版）

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2018北京西城高二（上）期末                    数    学（文）               2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（    ）  （A）（B）（C）（D）2. 命题“对任意，都有”的否定是（　　）  （A）存在,使得（B）对任意,都有  （C）存在,使得 （D）对任意,都有3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（    ）  （A）（B）（C）（D）4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（    ） （A）若，，则（B）若，，则 （C）若，，则（D）若，，则5. “方程表示的曲线为椭圆”是“”的（    ）  （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件  （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（    ）  （A）与平行（B）与相交（C）与异面（D）与垂直7. 设抛物线的焦点为，直线，若过焦点的直线与抛物线相交于两点，则以线段为直径的圆与直线的位置关系为（    ）  （A）相交  （C）相离（B）相切（D）以上三个答案均有可能8. 设为空间中的一条直线，记直线与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为，则的所有可能取值构成的集合为（    ）  （A） （B）（C） （D） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.   命题“若，则”的逆否命题为_____.10.  经过点且与直线垂直的直线方程为_____.11. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为_____.12. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为_____.13. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为_____；离心率为_____.14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论： 曲线是轴对称图形；         曲线是中心对称图形； 曲线上所有的点都在单位圆内； 曲线上所有的点的纵坐标.其中，所有正确结论的序号是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）如图，在正三棱柱中,为的中点.   （Ⅰ） 求证：平面；   （Ⅱ） 求证：平面.             16．（本小题满分13分） 已知圆，其中.  （Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.          17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，平面，，， ，，为的中点.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断线段上是否存在一点(与点不重合)，使得四点共面? （结论不要求证明）           18．（本小题满分13分）设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点.（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；  （Ⅱ）若直线，求点到直线的距离的最小值.         19．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证：平面平面BDEF； （Ⅱ）若过直线的一个平面与线段和分别相交于点和（点与点均不重合），求证：；（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.               20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；  （Ⅱ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，证明：直线与椭圆相切.     
参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B2. C 3. A4. D 5. B6. A7. C8. D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若，则10.    11. 12. 13. ，    14. 注：第13题第一空3分，第二空2分；第14题多选、少选或错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为正三棱柱，为的中点，所以，底面.                            …………………1分又因为底面，所以.                                            …………………3分又因为，平面，平面，所以平面.                                    …………………6分(Ⅱ)证明：连接，设，连接，              …………………7分由正三棱柱，得，又因为在中，，所以，                …………………10分又因为平面，平面，所以平面.           …………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：将圆的方程配方，得，      …………………1分      所以圆的圆心为，半径.          …………………3分   因为圆与圆相外切，  所以两圆的圆心距等于其半径和，即， ………5分  解得.                                             …………………7分（Ⅱ）解：圆的圆心到直线的距离. ………………9分      因为直线与圆相交所得的弦长为，      所以由垂径定理，可得，        …………………11分      解得.                                            …………………13分 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为平面，平面，       所以.       又因为，，       所以平面.                                  …………………1分      因为，      所以四棱锥的体积     …………………2分                                       .  ……………4分 （Ⅱ）证明：在底面中，因为，，，，       所以，，      所以，即.                      …………………6分因为在四棱柱中，平面，所以，又因为，所以平面，                                  …………………8分又因为平面，所以.                                         …………………10分（Ⅲ）答：对于线段上任意一点(与点不重合)，四点都不共面. …………………13分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得，则直线的方程为.    …………………2分      由  消去，得.               …………………3分      设点，，      则，且，，                       …………………5分      所以.          …………………7分（Ⅱ）解：设，      则点到直线距离.                       …………………8分      由是抛物线上的动点，得，                   …………………9分      所以，              …………………11分     所以当时，.      即点到直线的距离的最小值.                      …………………13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形是正方形，所以.                                           ……………… 1分    又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面.                                   ……………… 3分又因为平面，所以平面平面.                             ……………… 5分（Ⅱ）证明：由题意，，平面，平面，      所以平面，                                 ……………… 7分又因为平面，平面平面，    所以.                                          ……………… 9分（Ⅲ）答：线段上存在一点，使得平面平面，此时. ……10分      以下给出证明过程.      证明：设的中点为，连接，，      因为，平面，平面，所以平面.           ……………… 11分                    设，连接，在中，因为，，所以，又因为平面，平面，所以平面.                                     ……………… 13分又因为，平面， 所以平面平面.                                              ………………14分  20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，知，，                        …………………1分      所以，，                            …………………3分      所以椭圆的标准方程为.                     …………………4分（Ⅱ）证明：由题意，点在圆上，且线段为圆的直径，   所以.                                          …………………5分当直线轴时，易得直线的方程为， 由题意，得直线的方程为，显然直线与椭圆相切.                         同理当直线轴时，直线也与椭圆相切.           …………………7分当直线与轴既不平行也不垂直时，设点，直线的斜率为，则，直线的斜率，所以直线：，直线：， …………9分由  消去，  得.        …………………11分  因为直线与椭圆相切，  所以，  整理，得.     （1）  ……………12分  同理，由直线与椭圆的方程联立，  得.             （2）     因为点为圆上任意一点，      所以，即.      代入（1）式，得，      代入（2）式，得                                                                        .      所以此时直线与椭圆相切.   综上，直线与椭圆相切.                           …………………14分