2021北京大兴高二（上）期末数学（教师版）

2021北京大兴高二（上）期末

数    学

150分.考试时长120分钟.

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 在平面直角坐标系中，斜率为的直线倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知数列满足，，则的值为（    ）

A.  B.  C. 3 D. 6

3. 经过点且与直线垂直直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知圆经过原点，且其圆心在直线上，则圆半径的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第（    ）

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

8. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线交轴于点.若为线段的中点，则（    ）

A. 3 B. 6 C.  D. 12

9. 已知椭圆C：的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 双曲线的渐近线方程是________________．

12. 已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________.

13. 已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)

14. 如图，在四面体ABCD中，其棱长均为1，M，N分别为BC，AD的中点.若，则________；直线MN和CD的夹角为________.

15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：

①；

②；

③当时，；

④.

其中，所有正确结论的序号是__________.

三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 从2名男生(记为和)和3名女生(记为，，和)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.

（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样样本空间；

（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.

17. 已知前n项和为的数列中，.

（1）若是等比数列，，求的通项公式；

（2）若是等差数列，，求的最大值.

18. 如图，在长方体中，，，E为AB的中点.

（1）证明：；

（2）求点E到平面的距离；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

19. 已知直线：与直线：，

（1）若，求a的值；

（2）求证：直线与圆恒有公共点；

（3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值.

20. 如图四棱锥中，是以AD为斜边等腰直角三角形，，，，，E为PD的中点.

（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；

（2）设F是BE中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论.

21. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点，，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；

（3）设，为椭圆的左､右顶点，为椭圆上除，外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值.

2021北京大兴高二（上）期末数学

参考答案

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】B

【解析】

【分析】

根据斜率的定义，由直线的斜率，即可求出倾斜角.

【详解】设所求直线的倾斜角为，其中，

因为该直线的斜率为，

所以，则.

故选：B.

2. 【答案】A

【解析】

【分析】

由题中条件，根据递推公式，逐步计算，即可得出结果.

【详解】因为，，所以，，

，，.

故选：A.

3. 【答案】C

【解析】

【分析】

先由垂直关系，求出所求直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.

【详解】因为所求直线与直线垂直，

所以其斜率为，

又所求直线过点，

因此，所求直线方程为，即.

故选：C.

4. 【答案】D

【解析】

【分析】

先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．

【详解】由题意小明每次投篮不中的概率是，再次投篮都不中的概率是，

∴他再次投篮至少投中一次的概率为．

故选：D．

【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．

5. 【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量在坐标平面上的投影的概念确定．

【详解】向量在坐标平面Oxy上的投影向量是．

故选：A．

6. 【答案】B

【解析】

【分析】

计算出原点到直线的距离，即为所求.

【详解】当与直线垂直时，圆的半径最小，

因此，圆半径的最小值为.

故选：B.

7. 【答案】B

【解析】

【分析】

设两只老鼠在第天相遇，利用等比数列的求和公式列方程可求得的范围，即可得解.

【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，

小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，

由等比数列的求和公式可得，整理得，

可得（舍去）或，所以，两鼠穿透此墙至少在第天.

故选：B.

8. 【答案】B

【解析】

【分析】

先根据抛物线方程得出焦点坐标，根据为线段的中点，求出的横坐标，由抛物线定义，得到，进而可求出结果.

【详解】因为抛物线的焦点为，

直线交轴于点，为线段的中点，

所以的横坐标为，

又点在抛物线的上，

所以，

因此.

故选：B.

9. 【答案】D

【解析】

【分析】

根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率.

【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，

因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，

又该圆与直线相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，

因此，即，所以离心率为.

故选：D.

10. 【答案】C

【解析】

【分析】

先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.

【详解】因为数列的前n项和，

当时，；

当时，满足上式，

所以，

又，恒成立，所以，恒成立；

令，

则对任意，显然都成立，

所以单调递增，

因此，即的最小值为，

所以，即实数的最大值是.

故选：C

【点睛】思路点睛：

根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.

二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 【答案】

【解析】

【分析】

将方程改为，解出来即可

【详解】因为

所以渐近线方程为

即为

故答案为：

【点睛】焦点在轴上的双曲线方程为：，渐近线方程为：

焦点在轴上的双曲线方程为：，渐近线方程为：

渐近线方程就是将标准方程中右边的1变为0，然后解出来就是.

12. 【答案】

【解析】

【分析】

先求出关于x轴对称的点的坐标，反射光线必过点，又反射光线经过点，即可求出直线方程．

【详解】由题意，关于x轴对称的点为，反射光线必过点，

又反射光线经过点，故直线的斜率，

故直线方程为，化成一般式得，

故答案为:

13. 【答案】，，（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式，写出数列的部分项，根据观察法，即可得出结果.

【详解】因为数列的通项公式为，

所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，

显然，

所以，，能构成等比数列.

故答案为：，，

14. 【答案】    (1). ．    (2).

【解析】

【分析】

利用空间向量的线性运算把用表示即可得，再由向量的数量积得向量夹角，从而得异面直线所成的角．

【详解】由已知得，又且不共面，∴，，∴，

是棱长为1的正四面体，∴，同理，

，

，

，

∴，∴，

∴异面直线MN和CD所成的角为．

【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量基本定理，考查用向量法求异面直线所成的角．在空间任意不共面的三个向量可作为空间的一个基底，空间所有向量都可用基底表示，且表示方法唯一，因此在用同一个基底用两种不同方法表示出同一向量时，两种表示法中对应的系数相等．由此结合向量的运算法则可表示得结论．同样用向量法求异面直线所成的角，可以直接计算，不需要作图与证明．

15. 【答案】①③④

【解析】

【分析】

由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.

【详解】当时，，①正确；

当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，

所以，②错误；

要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，

分类进行讨论，

若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；

若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：

所以，④正确；

由上式可得

，

所以，

又，满足当时，，③正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.

三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 【答案】（1）见详解；（2）有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.

【解析】

【分析】

（1）用列举法，分别写出两种抽取方法对应的基本事件，即可得出结果；

（2）先列举出两种抽样方式下，“抽到的2人为1名男生和1名女生”所包含的基本事件，确定基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.

【详解】（1）由题意，有放回简单随机抽样的样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含个基本事件；

不放回简单随机抽样的样本空间为：，，，，，，，，，， ，，，，， ，，，，；共包含个基本事件；

（2）由（1）可得，两种抽样方式下，抽到的2人为1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是： ，，，，，，，，，，，；共个，

有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；

不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.

17. 【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先设等比数列的公比为，根据等比数列的求和公式，求出公比，进而可求出通项公式；

（2）先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得出前项和，即可得出最大值.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

因为，，q≠1所以，即，解得或，

所以或；

（2）设等差数列的公差为，

因为，所以，因此，

所以，

因为是开口向下，对称轴为的二次函数，

又，所以当或时，取得最大值.

18. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）首先建立空间直角坐标系，证明；

（2）求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；

（3）求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.

【详解】（1）如图，以，，为轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，

，，，

，，，

所以；

（2），，，，

，

设平面的法向量为，

则，即，令则，

所以，

则点到平面的距离；

（3）由（1）可知，

又，，且，

平面，是平面的法向量，

，

平面与平面夹角是锐角，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

【点睛】思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.

19. 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据两直线平行，可直接得出的值；

（2）求出直线所过定点在圆上，即可证明结论成立；

（3）根据题中条件，由为直角三角形，得到为斜边，且，由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由圆的几何法表示出弦长，列出等量关系求解，即可得出的值.

【详解】（1）因为直线：的斜率为，

又，直线：，所以，则；

（2）由，令可得，所以直线过定点，

因为显然满足，即点在圆上，

所以直线与圆恒有公共点；

（3）因为圆的圆心为，半径为，

又直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，为直角三角形，所以，则为斜边，且，

又圆心到直线的距离为显然恒成立，

根据圆的性质可得：，

所以，解得.

【点睛】关键点点睛：

求解本题第三问的关键在于根据圆的性质，以及题中条件，确定为的斜边，并得到的长度，再结合点到直线距离公式，以及弦长公式，即可求解.

20. 【答案】（1）；（2）在平面内．证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）计算出，证明，然后取取中点，连接，可证明平面，这样可建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；

（2）在平面内．只要证明与共面即可得．

【详解】直角梯形中，由已知可得，，∴，即，

又是以为斜边的等腰直角三角形，∴，

取中点，连接，则，，

则，∴，

又，∴，

∴，，而，平面，

∴平面，

因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，即，

又，

，

直线PB与平面PAC所成角为，则．

（2）由（1），，，

设，则，，解得，

∴，∴与共面，∴在平面内．

【点睛】方法点睛：本题考查求线面角，判断点到平面的关系．解题方法是空间向量法，通过求出直线与平面法向量的夹角的余弦值得线面角的正弦值．利用向量法证明向量与共面共面从而可得点与平面的位置关系．

21. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解.

【解析】

【分析】

（1）记焦距为，根据题中条件，列出关于的方程组求解，得出，即可得出椭圆方程；

（2）设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到和，由判别式大于零求出范围，根据题中条件，得到，由此求出，即可得出结果；

（3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，根据和两点的坐标得出和的横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立.

【详解】（1）记该椭圆的焦距为，由题意可得，解得，

因此椭圆的方程为；

（2）设，，

由消去，整理得，

所以，，则；

又以线段为直径的圆经过原点，所以，则，

所以，即，

则，整理得满足，所以；

（3）因为，为椭圆的左､右顶点，所以，，

由题意，设，则，所以，

则，

因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，

则为中点，所以，

又直线斜率为，所以其垂直平分线的斜率为，

因此直线的方程为，

即；

又直线的斜率为，

所以直线的方程为，

由可得，则，

解得，即，

又、分别为、在轴的垂足，

则，，

所以为定值.

【点睛】关键点点睛：

求解本题第二问的关键在于，根据线段为直径的圆经过原点得到，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理进行求解；

求解本题第三问的关键在于设出点坐标，根据点坐标表示出直线方程，求出和的坐标，即可求解.