2021北京十二中高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京十二中高二（上）期末数学（教师版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京十二中高二（上）期末数    学一、选择题（每题5分，共60分，每题只有一个选项）1．两条平行线与之间的距离为　　A． B．1 C．2 D．2．过点且与直线垂直的直线方程是　　A． B． C． D．3．某校高一、高二两个年级比赛目测数学必修第一册教科书的长度，其误差和（单位：的分布列如下：高一的目测误差分布列0120.10.20.40.20.1 高二的目测误差分布列0120.050.150.60.150.05则直观判断和的分布中离散程度大的是　　A． B． C．离散程度相同 D．不能确定4．圆关于轴对称的圆的方程为　　A． B． C． D．5．如图，在三棱锥中，，，，，分别为棱，的中点，则　　A． B． C． D．6．直线：与圆的位置关系是　　A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定7．在校园艺术节才艺展示活动中，小明书写“求真、崇善、唯美”6个字，有2种不同颜色的笔供选择，要求不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有　　A．34种 B．30种 C．62种 D．63种8．圆截直线所得的弦长为，则实数　　A． B． C． D．29．近期新冠疫情在全球肆虐，某国在，，三个地区分别有，，的民众核酸检测呈阳性，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任选一人，则这个人核酸检测呈阳性的概率为　　A． B． C． D．10．校园电视台给甲、乙、丙、丁4位同学安排了“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每人做且仅做一项工作，甲不能安排“负重扛机”工作，乙不能安排“编制剪辑”工作，则不同的安排方法共有　　A．12种 B．14种 C．7种 D．9种11．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若以为直径的圆过点，则的值为　　A．4或9 B．4或18 C．2或18 D．2或912．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是　　A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每题5分，共30分，两空的前3后2）13．若直线经过，两点，则直线的倾斜角的大小是 　　．14．已知两个平面，的法向量分别是和，若，则　　．15．在的展开式中，二项式系数的和为 　　；的系数为 　　．（用数字作答）16．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长为 　　；的面积为 　　．17．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面（包含边界）．（1）若点与点重合，则点到平面的距离是 　　；（2）若，则线段长度的取值范围是 　　．18．已知曲线．给出下列结论：①曲线是中心对称图形；②曲线是轴对称图形；③曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④设为坐标原点，则曲线上存在点，使得．其中，所有正确结论的序号是 　　．三、解答题（共5题，共60分）19．（10分）已知，求下列各式的值，并用数字作答：（Ⅰ）；（Ⅱ）．20．（10分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．（Ⅰ）求点的坐标和抛物线的准线方程；（Ⅱ）设为坐标原点，过点的直线交抛物线于点，，再从条件①的中点为；②的中点为这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．21．（14分）甲、乙两位同学到校学生会竞聘同一岗位，进入最后面试环节．具体面试方案如下：甲、乙各自从5个问题中随机抽取3个问题，已知这5个问题中，甲能正确回答其中3个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙对每个问题的回答都相互独立，互不影响．（Ⅰ）设甲答对的问题个数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；（Ⅱ）请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大？22．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AB1；（Ⅱ）求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值；（Ⅲ）在棱CC1上是否存在一点F，使得EF与平面AB1E所成角的正弦值为，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．23．（12分）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线交椭圆于点，，直线交直线于点，求证：．
参考答案一、选择题（每题5分，共60分，每题只有一个选项）1．【分析】由题意利用两条平行直线间的距离公式，计算即可．【解答】解：两条平行线与之间的距离为，故选：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．2．【分析】设与直线垂直的直线方程为，把代入，解得即可．【解答】解：设与直线垂直的直线方程为，把代入，可得，解得．所求直线方程为：．故选：．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．3．【分析】根据期望公式，求出二者的期望，再结合数据偏离程度，即可求解．【解答】解：由表可得，，直观观察的数据相对于的数据，更加偏离平均值0，故直观判断和的分布中离散程度大的是．故选：．【点评】本题主要考查离散型随机变量期望公式的应用，属于基础题．4．【分析】求出关于轴对称的圆的圆心坐标为，半径还是2，从而求得所求的圆的方程．【解答】解：已知圆关于轴对称的圆的圆心坐标为，半径不变，还是2，故对称圆的方程为，故选：．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，求出关于轴对称的圆的圆心坐标为，是解题的关键，属于基础题．5．【分析】直接根据向量的三角形法则求解即可．【解答】解：在三棱锥中，，，，，分别为棱，的中点，，故选：．【点评】本题主要考查向量的三角形法则，属于基础题．6．【分析】根据已知条件，将原问题转化为直线的定点在圆内，即可求解．【解答】解：直线：恒过定点，圆，圆，半径，，定点在圆内，直线：与圆的位置关系是相交．故选：．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．7．【分析】首先根据分步计数原理求出所有颜色的写法，然后减去2种颜色相同的，即可求出结果．【解答】解：因为每个字都有两种选择，则分6步，每步都是 种选择，所以，同种颜色写字只有2种，所以要求不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有 种；故选：．【点评】本题考查排列组合，考查学生的运算能力，属于中档题．8．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选：．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．9．【分析】设出三个地区的人口数，求出核酸检测呈阳性的人数，然后求解概率即可．【解答】解：设三个地区的人口数为，在，，三个地区分别有，，的民众核酸检测呈阳性，这三个地区的人口数的比为，则核酸检测呈阳性的人数为：．从这三个地区中任选一人，则这个人核酸检测呈阳性的概率为：，故选：．【点评】本题考查古典概型概率的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．10．【分析】分甲安排为“编制剪辑”工作和甲也不安排“编制剪辑”工作两种情况分别求出不同的安排数，求和即可得出答案．【解答】解：当甲安排为“编制剪辑”工作，另外3人任意安排工作有 种方法．当甲也不安排“编制剪辑”工作时，先安排甲有 种，再安排乙有种，另外剩余2人有，则此时有，共有 种，故选：．【点评】本题考查排列组合，属于中档题．11．【分析】设，，由抛物线的定义可得，，解得，再结合已知条件，以及圆的性质可得，，代入抛物线方程得，解出，即可求解．【解答】解：抛物线，焦点，设，，由抛物线的定义可得，，解得，以为直径的圆的圆心是的中点，圆心横坐标为，，圆的半径，以为直径的圆过点，圆心纵坐标为3，则点纵坐标为6，即，代入抛物线方程得，故或．故选：．【点评】本题主要考查抛物的性质，考查转化能力，属于中档题．12．【分析】设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．【解答】解：设，，为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即为，则，当且仅当，即，取得最小值3．故选：．【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，共30分，两空的前3后2）13．【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．【解答】解：直线经过，两点，直线的斜率等于：．设直线的倾斜角等于，则有．再由可得，故答案为：．【点评】本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．14．【分析】由，得，列方程求出，，由此能求出．【解答】解：两个平面，的法向量分别是，，和，，，，解得，，．故答案为：4．【点评】本题考查两数和的求法，考查平面与平面平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】直接结合二项式系数的性质即可求解二项式系数的和；先求出二项展开式的通项，结合指定项的指数可求，进而可求．【解答】解：在的展开式中，二项式系数的和，因为展开式的通项，令，则，此时的系数为．故答案为：32，80．【点评】本题主要考查了二项式系数的性质及二项展开式的通项的应用，属于基础题．16．【分析】利用双曲线方程求解，即可得到实轴长，求出双曲线的渐近线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积即可．【解答】解：双曲线的，实轴长为4；右焦点为，，渐近线方程为：，不妨设在第一象限，，，，所以的面积为：．故答案为：4；．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．17．【分析】（1）连接交于点，由正方体的性质可证面，面，即可得到点到平面的距离，当点与点重合时，点到平面的距离即为点到平面的距离；（2）建立空间直角坐标系，设，2，，由得到，再根据及二次函数的性质计算可得．【解答】解：（1）在正方体中，，面，面，所以面，连接交于点，所以，又面，面，所以，因为，所以面，因为正方体的棱长为2，所以，即点到平面的距离为，若点与点重合，则点到平面的距离即为点到平面的距离为；（2）如图建立空间直角坐标系，则，2，，，0，，，0，，，2，，设，2，，则，2，，，2，，，0，，因为，所以，所以，即，所以，因为，解得，所以，即，．故答案为：；，．【点评】本题考查了点到平面的距离及线段的长度，（1）问中找到点到面的距离是难点，也是关键点；（2）问中建立坐标系，将立方体几何问题转化为代数问题来研究就降低了难度，属于中档题．18．【分析】设设曲线上任意一点坐标为，求出其关于原点的对称点坐标，关于的对称点为，将这两个点代入曲线的方程，即可求解①②，分别令，，，，即可求解③，根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解④．【解答】解：对于①，设曲线上任意一点坐标为，则其关于原点的对称点坐标为，将代入曲线，则，故点在曲线上，故曲线关于原点中心对称，故①正确，对于②，将代入曲线，则，所以曲线关于轴对称，故②正确，对于③，当时，，当时，，当时，，当时，，故曲线恰好经过6个整点，，，，，，故③正确，设，则，若，则，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，又，故在曲线上不存在点，使得，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查曲线与方程，需要学生较强的综合能力，属于中档题．三、解答题（共5题，共60分）19．【分析】令，代入即可求解；分别令，代入即可求解．【解答】解：令得，，令，得，与中等式联立得，，所以．【点评】本题主要考查了二项展开式的系数的求解，赋值法的应用是求解问题的关键，属于基础题．20．【分析】（Ⅰ）由点在抛物线上，可得参数的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；（Ⅱ）若选①，点差法求出直线的斜率，由题意可得直线的方程，与抛物线联立求出横坐标之和，由抛物线的性质，求出弦长的值，再求到直线的距离，代入面积公式，求出三角形的面积；选②，同①先求出直线的斜率，写出直线方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式，求出三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为在抛物线上，代入可得，可得，所以抛物线的方程为：，焦点；（Ⅱ）若选①设，，，，则，的中点坐标为，，由题意可得中点，所以，将，的坐标代入可得，作差整理可得：，所以直线的斜率为，则直线的方程为：，，整理可得，则，由抛物线的定义可得，到直线的距离，所以；若选②，由，的中点，同①可得直线的斜率：，所以直线的方程为：，整理可得：，则，所以，所以．【点评】本题考查求抛物线的方程及点差法求直线的斜率，直线与抛物线的综合应用，三角形的面积公式的应用，属于中档题．21．【分析】由题意可知，所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望与方差公式，即可求解．设乙答对的题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可得，，分别求出对应的期望与方差，通过比较二者的期望与方差，即可求解．【解答】解：由题意可知，所有可能取值为1，2，3，故，，，故的分布列为：123故，．设乙答对的题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可得，，则，，，，甲的方差小，甲比较稳定，故甲同学竞聘成功的可能性更大．【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望与方差公式，属于中档题．22．【分析】（Ⅰ）只要证明BC垂直于AB1所在平面AA1B1B即可；（Ⅱ）用向量数量积计算两平面成角余弦值；（Ⅲ）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求解．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以BC⊥平面AA1B1B，因为AB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：建系如图，A（0，0，0），E（0，1，1），B1（1，0，2），＝（0，1，1），＝（1，0，2），令＝（2，1，﹣1），因为•＝0，•＝0，所以是平面AB1E的法向量，平面ABCD的法向量是＝（0，0，1），所以平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值为＝＝．（Ⅲ）解：设CF＝t，t∈[0，2]，则E（1，1，t），＝（1，0，t﹣1），所以EF与平面AB1E所成角的正弦值为＝＝，解得t＝．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．23．【分析】（Ⅰ）由已知可得，，则，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意可得，直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程，得关于的一元二次方程，可得、的横坐标的和与积，再求出所在直线方程，与所在直线方程联立求得的坐标，可得的斜率，再求出的斜率，证明斜率相等即可．【解答】（Ⅰ）解：由已知可得，，则，则椭圆的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可得，直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程可得，．△，解得．设，，，，则，，，，，则所在直线方程为，所在直线方程为，联立，解得，，则，，要证，需证，即证，也就是证，即证．把根与系数的关系代入，需证．，可证．也就是证，此时显然成立．．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．