2022北京大兴高二（上）期末数学（教师版）

2022北京大兴高二（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．椭圆的焦距为　　

A．2 B．3 C．4 D．6

2．双曲线的离心率等于　　

A． B．2 C． D．4

3．直线关于轴对称的直线方程为　　

A． B． C． D．

4．直线与直线间的距离等于　　

A． B． C．1 D．

5．如图，在平行六面体中，　　

A． B． C． D．

6．已知数列满足，，则等于　　

A．1 B．2 C．4 D．

7．已知向量，0，，，2，，，4，，若，，共面，则等于　　

A． B． C．5 D．9

8．已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是　　

A． B． C．， D．，

9．已知数列的前项和，若数列中第项最大，则等于　　

A．6 B．7 C．6或7 D．8

10．如图，公园里的一条顶点为的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为，的正方形草坪，直线为抛物线的对称轴，为的中点，则等于　　

A． B． C．2 D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）等比数列中，若，则　　．

12．（5分）双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 　　．

13．（5分）圆上的点到原点距离的最小值等于 　　．

14．（5分）若当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，则数列的通项公式可以是 　　．（写出满足题意的一个通项公式即可）

15．（5分）《九章算术商功》：“斜解立方，得两壍堵qiàn dǔ．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑biē nào．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”文中所述可用如图表示：

则几何体“鳖臑”的四个面中，直角三角形的个数为 　　；若上图中的“立方”是棱长为1的正方体，则的中点到直线的距离等于 　　．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（14分）已知等差数列中，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求的值．

17．（14分）已知等比数列的前项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

18．（14分）如图，在多面体中，为正方形，平面，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

19．（14分）已知椭圆离心率为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆在轴上方的交点为，为坐标原点，若平行于的直线与椭圆恰有一个公共点，求此公共点的坐标．

20．（14分）已知抛物线经过点，且其对称轴为轴．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）已知直线与抛物线交于，两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线的位置关系，并加以证明．

21．（15分）治理垃圾是地改善环境的重要举措．去年地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．

（Ⅰ）写出地的年垃圾排放量与治理年数的表达式；

（Ⅱ）设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量，证明：数列为递减数列；

（Ⅲ）通过至少几年的治理，地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】利用椭圆方程，求解，，然后求解得到结果．

【解答】解：椭圆，可得，，

则，

所以椭圆的焦距为：2．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，焦距的求法，是基础题．

2．【分析】求出，，由，，的关系求得，再由离心率公式，计算即可得到．

【解答】解：双曲线方程，

则有，，．

则．

故选：．

【点评】本题考查双曲线方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题．

3．【分析】直线即关于轴对称的直线方程为的斜率为，在轴上的截距为，即可得出．

【解答】解：直线即关于轴对称的直线方程为的斜率为，在轴上的截距为，

要求的直线方程为：，即．

故选：．

【点评】本题考查了直线的对称性、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解．

【解答】解：直线与直线平行，

直线与直线间的距离为．

故选：．

【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．

5．【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．

【解答】解：由题意可得，．

故选：．

【点评】本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题．

6．【分析】根据递推关系式可得数列是以3为周期的数列，然后转化求解即可．

【解答】解：由，，

可得，

，

，

所以数列是以3为周期的数列，

所以．

故选：．

【点评】本题考查数列的递推式的运用，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．

7．【分析】利用共面向量定理列方程，能求出结果．

【解答】解：，0，，，2，，，4，，，，共面，

存在实数，满足，

，0，，，，

，

故选：．

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量加法、共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．【分析】根据等比数列递增的条件可得正确选项．

【解答】解：当，时，数列中所有的项均为负数，即，

由等比数列的定义，

所以，

所以，即数列为递增数列，

所以， “是递增数列”

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题．

9．【分析】根据题意，求出数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，利用作差法分析可得答案．

【解答】解：根据题意，数列的前项和，

当时，，

当时，，

故，

对于数列，有，

当时，，此时，

当时，，此时，

又由，

故是数列中的最大项，

故选：．

【点评】本题考查数列的函数特性，涉及由数列的前项和求通项的方法，属于基础题．

10．【分析】建立以为原点，为轴，的垂直平分线为轴的平面直角坐标系，即可求得点的坐标，再设出抛物线方程，将点坐标代入，即可求解．

【解答】解：建立以为原点，为轴，的垂直平分线为轴的平面直角坐标系，

正方形和正方形的边长分别为，，原点为的中点，

，，，

抛物线经过，两点，

，两边同时除以，化简整理可得，，解得或（舍去）．

故选：．

【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查数形结合的能力，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．

【解答】解：为等比数列且，

．

故答案为：8．

【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．

12．【分析】求出一个焦点坐标，一条渐近线方程，直接用点到直线距离公式求解即可．

【解答】解：等轴双曲线的焦点坐标是，，渐近线是，选其中一个焦点坐标，

和一条直线方程，，

故答案为：1．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．

13．【分析】先求出圆心到原点的距离再减去圆的半径即为所求．

【解答】解：圆上的点到原点距离的最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，

由圆知圆心，半径为1，

，所以圆上的点到原点距离的最小值等于．

故答案为：．

【点评】本题考查点与圆的位置关系，属基础题．

14．【分析】由已知条件可得，，，即可写出满足题意的通项公式．

【解答】解：当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，

，，

故满足题意．

故答案为：．

【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．

15．【分析】易知平面，平面，判断直角三角形的个数，过的中点，作，过作，连接，易证平面，则，得到为点到直线的距离求解．

【解答】解：如图所示，

在正方体中，易知平面，

则，，

所以，都是直角三角形；

同理平面，

则，，

所以△，△都是直角三角形，

故几何体“鳖臑”的四个面中，直角三角形的个数为4；

如图所示，

过的中点，作，过作，连接，

易知平面，则，

又，所以平面，

所以，

所以为点到直线的距离，

又，

所以，

故答案为：4，．

【点评】本题主要考查立体几何中的垂直关系，点线距离的计算等知识，属于中等题．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】根据已知条件，结合等差数列的通项公式，即可求解．

根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，

由题意得，

解得，，

所以．

（Ⅱ）因为，，，构成首项为，公差为的等差数列，是其第10项，

所以．

【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的通项公式，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，由可得，从而求出与的值即可得到的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以是首项为，公比为的等比数列，从而根据等比数列前项和公式即可求出．

【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，

由，得，

解得，，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以．

【点评】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）方法1：设为的中点，连接，，证明，然后证明平面．

方法2：证明平面，平面，推出平面平面，然后证明平面．

（Ⅱ）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，利用空间斜率的数量积转化求解即可．

【解答】（Ⅰ）证明：方法1：设为的中点，连接，，

由已知，且，

所以四边形是平行四边形，（1分）

又为正方形，

所以为平行四边形，（2分）

所以，（3分）

又平面，平面，

所以平面．（5分）

方法2：因为，所以平面，

又，所以平面，，

所以平面平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因为为正方形，平面，

以为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）（1分）

所以，0，，，0，，，2，，，2，，（2分）

，，，（3分）

设平面的一个法向量为，，，

则

即

令，得，．

于是，1，．（5分）

设直线与平面所成角为，则，（7分）

即，（8分）

所以直线与平面所成的角为．（9分）

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．

19．【分析】（Ⅰ）求出，结合离心率，求解，得到椭圆的方程．

（Ⅱ）求出，设与直线平行的直线，联立直线与椭圆的方程，利用判别式求解，然后推出与椭圆公共点的坐标即可．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，（1分）

又，（2分）

解得，（3分）

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）将代入椭圆方程，

解得，或，

所以，直线的斜率为．（2分）

设与直线平行的直线，（3分）

由题意得．（5分）

因为与椭圆恰有一个公共点，

所以关于的方程有两个相等的实数根，

所以△，（6分）

解得，或，（8分）

当时，，与椭圆公共点的坐标为，

当时，，与椭圆公共点的坐标为．（10分）

【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

20．【分析】（Ⅰ）依题意设抛物线的方程为，把点代入求出的值，从而得到抛物线方程．

（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表达出以为直径的圆的圆心的横坐标，再由弦长公式求出，进而求出半径，根据圆心到准线的距离等于半径，得到以为直径的圆与抛物线的准线相切．

【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线顶点在原点，对称轴为轴，且经过第四象限，

设抛物线的方程为，

又抛物线经过点，

所以，解得，

于是抛物线的方程为．

（Ⅱ）以为直径的圆与抛物线的准线相切，证明如下：

由，得，

由于△，设，，，，

则，，

所以，，，

所以，

设以为直径的圆的圆心为，，

则，即，

于是，

由于抛物线的准线的方程为，

所以圆心到准线的距离等于，

又以为直径的圆的半径为，

所以，以为直径的圆与抛物线的准线相切．

【点评】本题主要考查了抛物线的方程，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了直线与圆相切的位置关系，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）设治理年后，地的年垃圾排放量构成数列．判断数列当时，是等差数列，当时，数列是等比数列，然后求解通项公式即可．

（Ⅱ）设为数列的前项和，则．通过作差法，说明为递减数列即可．

（Ⅲ）通过是递减数列，说明5年内年平均垃圾排放量不可能低于100万吨．推出，，得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）设治理年后，地的年垃圾排放量构成数列．

当时，是首项为，公差为的等差数列，

所以；（1分）

当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以，（3分）

所以，治理年后，地的年垃圾排放量的表达式为

（Ⅱ）证明：设为数列的前项和，

则．（1分）

由于（2分）

（3分）

由（Ⅰ）知，时，，所以为递减数列，

时，，所以为递减数列，（5分）

且，（6分）

所以为递减数列，

于是，，，，

因此，（7分）

所以数列为递减数列．

（Ⅲ）由于是递减数列，且，

所以，5年内年平均垃圾排放量不可能低于100万吨．时，由于，

所以（2分）

．

因为，（3分）

，

综上所述，至少经过10年治理地年平均垃圾排放量才能低于100万吨．

【点评】本题考查数列的综合应用，通项公式以及数列的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．