2022北京海淀高二（上）期末数学（教师版）

2022北京海淀高二（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）下列直线中，倾斜角为的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）若直线与直线垂直，则的值为　　

A．2 B．1 C． D．

3．（4分）如图，在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可用向量，，表示为　　

A． B． C． D．

4．（4分）平面与平面平行的充分条件可以是　　

A．平面内有一条直线与平面平行 

B．平面内有两条直线分别与平面平行 

C．平面内有无数条直线分别与平面平行 

D．平面内有两条相交直线分别与平面平行

5．（4分）若双曲线的一条渐近线经过点，，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．2

6．（4分）已知球的半径为2，球心到平面的距离为1，则球被平面截得的截面面积为　　

A． B． C． D．

7．（4分）如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为　　

A．1 B． C． D．

8．（4分）如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，，，，，，是图中两组同心圆的部分公共点．若点在以，为焦点的椭圆上，则　　

A．点和都在椭圆上 B．点和都在椭圆上 

C．点和都在椭圆上 D．点和都在椭圆上

9．（4分）设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为　　

A． B．1 C． D．

10．（4分）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”．他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中，之间的曲线）绕其虚轴所在直线旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2．该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中是双曲线的一个顶点．小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如表所示．

其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是　　

（参考公式：，，

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．（4分）圆的圆心坐标为 　　；半径为 　　．

12．（4分）在棱长为1的正方体中，　　．

13．（4分）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线的标准方程．

①一个焦点坐标为；

②经过点，；

③离心率为．

你选择的两个条件是 　　，得到的双曲线的标准方程是 　　．

14．（4分）椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，，则的面积的最大值为 　　．

15．（4分）如图，在矩形中，，，将沿所在的直线进行翻折，得到空间四边形．

给出下面三个结论：

①在翻折过程中，存在某个位置，使得；

②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；

③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（8分）在平面直角坐标系中，圆以原点为圆心，且经过点．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线与圆交于两点，，求弦长．

17．（11分）如图，在直三棱柱中，，，．为侧棱的中点，连接，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

18．（10分）已知抛物线经过点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，，且与抛物线的准线交于点．若，求直线的方程．

19．（11分）已知椭圆的离心率为，一个焦点为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于不同的两点，，且与轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为证明：是等腰直角三角形．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】先根据直线的方程求出它的斜率，可得它的倾斜角，从而得出结论．

【解答】解：由于的斜率为，故它的倾斜角为，故排除；

由于的斜率为不存在，故它的倾斜角为，故排除；

由于的斜率为1，故它的倾斜角为，故满足条件；

由于的斜率为，故它的倾斜角为，故排除，

故选：．

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．

2．【分析】根据两直线垂直的条件列方程求出的值．

【解答】解：直线与直线垂直，

则，

解得．

故选：．

【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，是基础题．

3．【分析】利用向量的加法公式，即可解出．

【解答】解：在平面中，因为为的中点，

，

又点为线段中点，在中，

，

故选：．

【点评】本题考查了向量的加法公式，学生的数学运算能力，属于基础题．

4．【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断．

【解答】解：对，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故错误；

对，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故错误；

对，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故错误；

对，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查线面关系、面面关系有关命题的判定，属于基础题．

5．【分析】求出渐近线方程，代入点的坐标，推出，关系，然后求解离心率即可．

【解答】解：因为双曲线的一条渐近线经过点，，

所以渐近线经过点，，所以，

从而．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力．是基础题．

6．【分析】先求截面圆的半径，然后求出截面面积．

【解答】解：球的半径为2，球心到平面的距离为1，

截面圆的半径是，

截面面积为：．

故选：．

【点评】本题考查球的性质、球的体积、点到平面的距离，属于基础题．

7．【分析】利用等体积法转化求解点到平面的距离即可．

【解答】解：在三棱锥中，平面，，，，

可得，，

，

设点到平面的距离为，

可得，

可得，解得．

故选：．

【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．

8．【分析】根据椭圆的定义判断即可求求解．

【解答】解：因为点在以，为焦点的椭圆上，

所以，

所以椭圆中，

因为，，

，，

所以，在椭圆上．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的定义，属基础题．

9．【分析】利用圆的圆心到直线的距离大于等于半径，求解的最大值即可．

【解答】解：为直线上任意一点，过总能作圆的切线，

可得，即，

解得，，

所以的最大值为：．

故选：．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．

10．【分析】以为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，设上半部分圆台体积为，下半部分圆台体积为，

再结合圆台的面积公式，即可求解．

【解答】解：以为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，

设上半部分圆台体积为，下半部分圆台体积为，

以为半径的圆面面积为，

以为半径的圆面面积为，

以为半径的圆面面积为，

所以，，

故，

故最接近的是丙同学的估算，

故选：．

【点评】本题考查有关柱体、锥体体积的有关计算，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．【分析】直接利用转换关系，把圆的一般式转换为标准式，进一步求出圆心和半径．

【解答】解：圆转换为标准式，

故圆心坐标为，半径为1．

故答案为：；1．

【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的一般式和标准式之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

12．【分析】直接把向量转化再结合数量积即可求解结论．

【解答】解：在棱长为1的正方体中，

，，

如图：

故，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查空间向量的数量积计算，属于基础题．

13．【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出， 即可得解，选②③，可由顶点坐标及 离心率得出，，即可求解．

【解答】解：选①②，由题意则，

，

双曲线的标准方程为，

选①③，由题意，，

，

，

双曲线的标准方程为；

选②③，由题意知，

，

，

双曲线的标准方程为．

故答案为：①②，或①③，或②③，．

【点评】本题考查了双曲线方程及简单几何性质，属于基础题．

14．【分析】先求出的坐标以及椭圆的短轴端点的坐标，然后分直线的斜率不存在与存在讨论，利用三角形的面积公式以及求解方程解的方法求出三角形的面积，由此即可求解．

【解答】解：由已知可得，所以，则，且，

当过原点的直线的斜率不存在时，此时直线方程为，

则，两点为短轴端点，所以，，则，

所以三角形的面积为，

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

代入椭圆方程可得：，所以，则，

所以点，，，，

所以三角形的面积为，

综上，三角形的面积的最大值为4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到求解三角形面积的最值问题，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．

15．【分析】在矩形中，过，点作的垂线，垂足分别为，，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得，进而得到矛盾，可判断；对于②，在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题可知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得到，，进而得到异面直线与所成角的余弦值范围，即可判断．

【解答】解：如图1，在矩形中，过，点作的垂线，垂足分别为，，

则在翻折过程中，形成图2的几何体，

故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由图，，

所以平面，则，这与图1中的与不垂直矛盾，故①错误；

对于②，在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，

此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故②正确；

对于③，，，由②得讨论可得，，所以，

则，，，

设平面与平面所成的二面角为，所以，，

故，要使直线与为异面直线，所以，

所以，，

则，，，

由于，，所以在翻折过程在，存在某个位置，使得异面直线与所成角为．

故答案为：②③．

【点评】本题考查锥体体积的有关计算，线面垂直的证明，异面直线夹角的向量求法，属于中档题．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（Ⅰ）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程；

（Ⅱ）根据直线与圆的弦长公式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）由，所以圆的方程为．

（Ⅱ）由点到直线的距离为，

所以弦长．

【点评】本题主要考查圆的方程的求解，圆的弦长的计算等知识，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）只要证明平行于平面平面内直线即可；（Ⅱ）只要证明，即可；（Ⅲ）用向量数量积计算二面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为，平面；平面，所以平面．

（Ⅱ）证明：因为，是直三棱柱，所以平面，所以、、两两垂直，

建系如图，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，

，1，，，0，，，1，，

因为，，所以平面．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，1，是平面的法向量，

，1，，，1，，

令，1，，

因为，，所以是平面的法向量，

因为二面角是锐角，设其大小为，，所以．

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．

18．【分析】（1）将点代入抛物线求出即可得出抛物线方程和准线方程；

（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长和即可求出．

【解答】解：（1）将代入可得，解得，所以抛物线的方程为，准线方程为；

（2）由题得，设直线方程为，

设，，，，

联立方程，

可得，

则，

所以，

因为直线与准线交于点，

则，

则，

因为，

所以，解得，

所以直线的方程为或．

【点评】本题考查了求抛物线方程及直线和抛物线相交的问题，第（2）中为避免讨论直线的斜率是否存在就将直线方程设为，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）根据条件求得，，即可求得椭圆的方程；

（Ⅱ）设点，，，，，，，进而联立，结合题意可得或，进而结合韦达定理可得，设的中点，，证明，进而得到，，故，综合即可得到证明．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率，又焦点可得，

所以可得，，

所以椭圆的方程为：；

证明：（Ⅱ）设点，则点，，

联立，可得，

所以△，解得，

因为，故或，

设，，，，，，则，

设向量，，，，

所以，，

，

所以，即，

设的中点，，则，，

所以，

又因为，所以，则，

因为点关于轴的对称点为，所以，故，

则是等腰直角三角形．

【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆标准方程的求解，韦达定理的应用，根据直线与椭圆的位置关系求参数范围，属于中档题．