2022北京怀柔高二（上）期末数学（教师版）

2022北京怀柔高二（上）期末

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．（4分）直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

2．（4分）圆的圆心为　　

A． B． C． D．

3．（4分）给出下列判断，其中正确的是　　

A．三点唯一确定一个平面 

B．一条直线和一个点唯一确定一个平面 

C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 

D．空间两两相交的三条直线在同一平面内

4．（4分）已知向量，0，，则　　

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（4分）已知圆柱的底面半径是1，高是2，那么该圆柱的侧面积是　　

A．2 B． C． D．

6．（4分）已知椭圆，那么其离心率为　　

A． B． C． D．

7．（4分）若一个正方体的全面积是72，则它的对角线长为　　

A． B．12 C． D．6

8．（4分）已知抛物线方程，那么其准线方程是　　

A． B． C． D．

9．（4分）点到直线的距离为2，则的值为　　

A．0 B． C．0或 D．0或

10．（4分）已知，4，，，，，若，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置。）

11．（5分）双曲线的实轴长为 　　．

12．（5分）经过，两点的直线斜率为 　　．

13．（5分）过点且与直线平行的直线的方程是 　　．

14．（5分）若，，三点共线，则的值为　　．

15．（5分）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.）

16．（13分）已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程．

（Ⅰ）过点；

（Ⅱ）与直线垂直．

17．（14分）如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面．

18．（13分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点，．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）求抛物线的标准方程．

19．（15分）已知点，，线段是圆的直径．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．

20．（15分）如图，在正方体中，是棱的中点．

（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．

21．（15分）已知椭圆的离心率为，又过点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，均过坐标原点，若，求的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．【分析】根据直线的方程求出斜率，再求倾斜角．

【解答】解：直线的斜率为，所以倾斜角为．

故选：．

【点评】本题考查了直线方程的斜率和倾斜角的计算问题，是基础题．

2．【分析】直接利用圆的标准方程，写出圆的圆心坐标即可．

【解答】解：圆的圆心为．

故选：．

【点评】本题考查圆的标准方程的应用，是基础题．

3．【分析】根据平面的基本性质及其推论分别判断即可．

【解答】解：对于，三点共线时，平面不唯一，故错误，

对于，点在直线上时，平面不唯一，故错误，

对于，两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内，故正确，

对于，三直线过同一点时，可不在同一平面内，故错误，

故选：．

【点评】本题考查了平面的基本定理及其推论，是基础题．

4．【分析】由向量模的坐标运算求解即可．

【解答】解：因为向量，0，，

则．

故选：．

【点评】本题主要考查向量模的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．

5．【分析】利用圆柱侧面积公式直接求解．

【解答】解：圆柱的底面半径是1，高是2，

则该圆柱的侧面积为：

．

故选：．

【点评】本题考查圆柱侧面积的求法，考查圆柱侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6．【分析】利用椭圆方程，求解，，推出，然后求解离心率即可．

【解答】解：椭圆，可得，，则，

所以椭圆的离心率为：．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．

7．【分析】求出正方体的边长即可．

【解答】解：设正方体的边长为，则有，解得，

故正方体的对角线长为，

故选：．

【点评】本题考查了正方体的对角线的计算，属于易做题．

8．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可．

【解答】解：抛物线方程，那么其准线方程是．

故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．

9．【分析】利用点到直线的距离公式直接求解．

【解答】解：点到直线的距离为2，

，

解得或．

故选：．

【点评】本题考查实数值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两点间的距离公式、点到直线的距离公式，求得的取值范围．

【解答】解：，4，，，，，，

，即．

则的取值表示直线上的点到原点的距离的平方，

故当垂直于直线时，的取得最小值，且它没有最大值．

由于点到直线的距离为，故的取得最小值为4，

故的取值范围为，，

故选：．

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两点间的距离公式、点到直线的距离公式，属于基础题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置。）

11．【分析】直接利用双曲线的方程求解，即可得到实轴长．

【解答】解：双曲线，可得，所以双曲线的实轴长为4．

故答案为：4．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，实轴长的求法，是基础题．

12．【分析】把两个点的坐标代入公式，计算即可求得结论．

【解答】解：直线经过点，，

直线的斜率为，

故答案为：．

【点评】本题考查了直线过两点求斜率的问题，是基础题．

13．【分析】设与直线平行的直线方程为，把点代入解出即可得出．

【解答】解：设与直线平行的直线方程为，

把点代入可得：，解得．

因此所求的直线方程为：，

故答案为：．

【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，属于基础题．

14．【分析】根据经过两点的直线斜率的公式，分别计算出直线与直线的斜率，而、、三点共线，故直线与直线的斜率相等，由此建立关于的方程，解之即可得到实数的值．

【解答】解：，，

直线的斜率

同理可得：直线的斜率

、、三点共线，直线的斜率

直线与直线的斜率相等，即，

得，解之得

故答案为：0

【点评】本题给出三点共线，求参数的值，着重考查了利用直线斜率公式解决三点共线的知识，属于基础题．

15．【分析】设，由数量积运算及点在椭圆上可把表示为的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．

【解答】解：设，

则，，，

又点在椭圆上，所以，

又，

所以当时，取得最大值为6，即的最大值为6，

故答案为：6．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.）

16．【分析】（Ⅰ）利用两点式方程能求出直线的方程．

（Ⅱ）与直线垂直的直线的方程的斜率，利用点斜式方程能求出经过点与直线垂直的直线方程．

【解答】解：（Ⅰ）直线经过点，点，

则直线的方程为，

整理得：．

（Ⅱ）与直线垂直的直线的方程的斜率，

经过点与直线垂直的直线方程为：

，

整理得．

【点评】本题考查直线方程的求法，考查两点式方程、点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

17．【分析】（Ⅰ）推导出，由此能证明平面．

（Ⅱ）推导出，，从而平面，由此能证明，进而根据线面垂直的判定即可证明．

【解答】证明：（Ⅰ），分别为，的中点，

，

平面，平面，

平面．

（Ⅱ）和均是等腰直角三角形，

，，，分别为，的中点．

，，

平面平面，平面平面，

平面，

平面，

．

，

平面．

【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．【分析】（1）由题意将过的点的坐标代入双曲线的方程可得的值，进而求出双曲线的方程，再求出双曲线的渐近线的方程；

（2）由（1）可得双曲线的焦点坐标，再由题意可得抛物线的焦点坐标，进而求出的值，可得抛物线的标准方程．

【解答】解：（1）由题意双曲线过，，所以，可得：，

所以双曲线的方程为：，

所以渐近线的方程为：，即；

（2）由（1）可得双曲线的焦点坐标为：，

由题意可得抛物线的焦点为：所以可得，解得，

所以抛物线的标准方程为：．

【点评】本题考查求双曲线和抛物线的方程，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）利用，，线段是圆的直径，则圆心的坐标为，又因为，即可求圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线与圆相交于，两点，且，分类讨论，即可求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）已知点，，线段是圆的直径，

则圆心的坐标为．（2分）

又因为，（3分）

所以圆的方程为．（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆的圆心，半径为2．

设为中点，则，，（5分）

则．（6分）

当的斜率不存在时，的方程为，此时，符合题意；（7分）

当的斜率存在时，设的方程为，由题意得（8分）

解得，（9分）

故直线的方程为，即．（10分）

综上，直线的方程为或．

【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

20．【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可求，2，，，2，为平面的法向量，用向量法可求直线与平面所成角的正弦值

存在这样的点，使平面，，2，，平面的一个法向量为，，，利用，，，2，，可求．

【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，0，，，2，，所以，2，，

由正方体可知平面，所以可取，2，为平面的法向量，

设直线与平面所成角为，

则，，

所以直线与平面所成角的正弦值为；

存在这样的点，使平面．

假设棱上是存在一点，2，，使平面．

由知，0，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

设平面的一个法向量为，，，

则，令，则，，

平面的一个法向量为，，，

又，2，，由，，，2，，

，，

棱上是存在一点，使平面．

【点评】本题主要考查线面平行，线面角的求法，熟练掌握空间线线位置关系是解题的关键，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）由离心率的值可得，的关系，再由过的点的坐标可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；

（Ⅱ）分直线的斜率存在和不存在时，设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之积，求出直线，的斜率之积，由题意可得参数的关系，求出向量的数量积，将两根之积代入，可得其值的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由离心率，可得，又过，，

即，所以，

所以椭圆的方程为：；

（Ⅱ）设，，，，由题意可得，，，，

则，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，整理可得：，

△，可得，

则且，，

，

可得，可得，

所以，，

这时的取值范围为；

当直线的斜率不存在时，设，，，与椭圆的方程联立可得，

可得，

所以，，

综上所述：的取值范围为．

【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．