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2022北京人大附高二（上）期末数学 （教师版）
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这是一份2022北京人大附高二（上）期末数学 （教师版），共26页。试卷主要包含了01，证明， 已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
2022北京人大附高二（上）期末
数 学
2022.01
学校_________________姓名_________________准考证号_________________
考生须知
1．本样题共5页，共两部分，19道题，满分100分。考试时间90分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）下列直线中，倾斜角为45º的是
（A） （B）
（C） （D）
（2）若直线与直线垂直，则a的值为
（A）2 （B）1 （C） （D）
（3）如图，在四面体中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量a，b，c表示为
（A） （B）
（C） （D）
（4）平面与平面平行的充分条件可以是
（A）平面内有一条直线与平面平行
（B）平面内有两条直线分别与平面平行
（C）平面内有无数条直线分别与平面平行
（D）平面内有两条相交直线分别与平面平行
（5）若双曲线的一条渐近线经过点(，1)，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）2
（6）已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为
（A） （B） （C） （D）
（7）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为
（A）1 （B）
（C） （D）
（8）如图，F1，F2是平面上的两点，且｜F1F2｜＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则
（A）点B和C都在椭圆M上
（B）点C和D都在椭圆M上
（C）点D和E都在椭圆M上
（D）点E和B都在椭圆M上
（9）设P为直线上任意一点，过P总能作圆的切线，则的最大值为
（A） （B）1 （C） （D）
（10）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据: AA1＝13cm，BB1＝12cm，CC1＝20cm，A1B1＝15cm，B1C1＝48cm，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示.
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果(cm3)
25200π
17409π
14889π
13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是
（参考公式：V圆柱＝πR2h，V圆锥＝πR2h，V圆台＝πh(r2＋rR＋R2)）
（A）甲
（B）乙
（C）丙
（D）丁
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心坐标为___________；半径为___________.
（12）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝___________.
（13）已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.
①一个焦点坐标为(2，0)； ②经过点(，0)； ③离心率为.
你选择的两个条件是_________，得到的双曲线M的标准方程是_________.
（说明：仅填写第一空不得分，只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分）
（14）椭圆C:的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于两点A，B，则△ABF的面积的最大值为_________.
（15）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD.
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题8分）
在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点M(1，).
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）若直线与圆O交于两点A，B，求弦长｜AB｜.
（17）（本小题11分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2. M为侧棱BB1的中点，连接A1M，C1M，CM.
（Ⅰ）证明：AC//平面A1C1M；
（Ⅱ）证明：CM⊥平面A1C1M；
（Ⅲ）求二面角C1－A1M－B1的大小.
（18）（本小题10分）
已知抛物线C:y2＝2px经过点(1，2).
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若＝2|QF|，求直线l的方程.
（19）（本小题11分）
已知椭圆E: 的离心率为，一个焦点为(2，0).
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线y＝x＋m(m≠0)与椭圆E交于不同的两点A，B，且与x轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形.
2022北京人大附高二（上）期末数学
附加题
四、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
20.在等差数列an中，若a2+a6=6，a5=8，则a10=（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 33
差为d，a1+d+a1+5d=6a1+4d=8⇒a1=-12d=5，则a10=-12+5×9=33.
故选：D.
21.设等差数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a13+a14+a15+a16= ( )
A. 12 B. 8 C. 20 D. 16
22. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为（ ）
A. 1144 B. 1122 C. 21144 D. 1111
23. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A. 66 B. 91 C. 107 D. 120
24. 已知等差数列an的前n项和为Sn，并且S12>0，S13<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
25. 如图，正方体ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．点P在正方形ABCD的边上，且PE⋅PF=3，则满足条件的点P的个数是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
26. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，且△F1PF2内切圆的半径大于312a，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. 0,32 B. 0,1112 C. 32,1112 D. 1112,1
五、解答题（本大题共1小题，共15分，解答应写出文字说明过程或验算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
27. 对于无穷数列an，bn，若bk=maxa1,a2,⋯ak-mina1,a2,⋯akk=1,2,3,⋯，则称bn是an的“伴随数列”．其中，maxa1,a2,⋯ak，mina1,a2,⋯ak分别表示a1,a2,⋯ak中的最大数和最小数．已知an为无穷数列，其前n项和为Sn，数列bn是an的“伴随数列”．
（1）若an=n+2022，求bn的前n项和；
（2）证明：b1=0且bn+1≥bn；
（3）若S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bn(n=1,2,3,⋯)，求所有满足该条件的an．
2022北京人大附中高二（上）期末数学
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ）
A. x+y-1=0 B. x+1=0
C. x-y+2=0 D. x-2y-1=0
【答案】C
【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为k=1，
对于A，直线斜率为k=-1，
对于B，直线无斜率，
对于C，直线斜率k=1，
对于D，直线斜率k=22，
故选：C
2. 若直线x-ay+1=0与直线2x+y=0垂直，则a的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -12 D. -1
【答案】A
【详解】由于直线x-ay+1=0与直线2x+y=0垂直，所以1×2+-a×1=0，解得a=2.
故选：A
3. 如图，在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE可用向量a，b，c表示为（ ）
A. 12a+12b+12c B. 12a+14b+14c
C. 14a+12b+14c D. 14a+14b+12c
【答案】B
【详解】连接OD，则OE=12OA+OD=12OA+14OB+OC
即OE=12a+14b+14c.
故选：B.
4. 平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）
A. 平面α内有一条直线与平面β平行
B. 平面α内有两条直线分别与平面β平行
C. 平面α内有无数条直线分别与平面β平行
D. 平面α内有两条相交直线分别与平面β平行
【答案】D
【详解】对A，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A错误；
对B，若平面α内有两条直线分别与平面β平行，若这两条直线平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B错误；
对C，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C错误；
对D，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D正确.
故选：D.
5. 若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线经过点3,1，则双曲线的离心率为（ ）
A. 233 B. 62 C. 3 D. 2
【答案】A
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：y=±bax，而一条渐近线过点3,1，则1=3ba，ba=13⇒e=ca=1+b2a2=1+13=233.
故选：A.
6. 已知球O的半径为2，球心到平面α的距离为1，则球O被平面α截得的截面面积为（ ）
A. 23π B. 3π C. 3π D. π
【答案】B
【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为22-12=3，
所以截面的面积S=π32=3π.
故选：B
7. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=2，则点A到平面PBC的距离为（ ）
A. 1 B. 32 C. 22 D. 12
【答案】A
【详解】因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
因为PA=2，AB=AC=2，
所以PB=PC=22+22=6
又AB⊥AC，AB=AC=2，
所以BC=22+22=22,
所以S△PBC=12BC⋅62-2222=12×22×2=22,
设点A到平面PBC的距离为h，
则VP-ABC=VA-PBC,
即13PA⋅S△ABC=13h⋅S△PBC,
∴h=2×12×2×222=1，
故选：A
8. 如图，F1，F2是平面上的两点，且F1F2=10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则（ ）
A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上
C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上
【答案】C
【详解】因为|AF1|+|AF2|=3+9=12，
所以椭圆M中2a=12，
因为|BF1|+|BF2|=5+9≠12，|CF1|+|CF2|=5+6≠12,
|DF1|+|DF2|=5+7=12,|EF1|+|EF2|=11+1=12,
所以D，E在椭圆M上.
故选：C
9. 设P为直线y=kx+2上任意一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则k的最大值为（ ）
A. 33 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【详解】因为过过P总能作圆x2+y2=1的切线，故点P在圆外或圆上，
也即直线y=kx+2与圆x2+y2=1相离或相切，
则2k2+1≥1，即k2+1≤4，解得k∈[-3,3]，
故k的最大值为3.
故选：D.
10. 某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：AA1=13cm，BB1=12cm，CC1=20cm，A1B1=15cm，B1C1=48cm，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果（cm3）
25200π
17409π
14889π
13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：V圆柱=πR2h，V圆锥=13πR2h，V圆台=13πhr2+rR+R2）
A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【详解】可将几何体看作一个以BB1=12cm为半径，高为B1C1+A1B1=48+15=63cm的圆柱，
再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20-12=8cm，13-12=1cm，高分别为48cm,15cm,
V圆柱=π×122×63=9072π(cm3),
V圆锥=13π×82×48+12×15=1029(cm3),
所以花瓶的容积9072πcm3
故选：D
11. 圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心坐标为___________；半径为___________.
【答案】 ①. (1,-3) ②. 1
【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是(x-1)2+(y+3)2=1，
圆心坐标为(1,-3)，半径为1．
故答案为：(1,-3)；1．
12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1⋅A1B1=___________.
【答案】1
【详解】如图，在正方体中，
∴AC1⋅A1B1=AC→+CC1→⋅A1B1→=AB→+AD→+AA1→⋅AB→=AB→2+0+0=1，
故答案为：1
13. 已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为2,0；②经过点3,0；③离心率为2.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M的标准方程是___________.
【答案】 ①. ①②或①③或② ③ ②. x23-y2=1或x22-y22=1或x23-y23=1
【详解】选①②，由题意则c=2，a=3，
∴b2=c2-a2=1，
∴双曲线的标准方程为x23-y2=1，
故答案为：①②；x23-y2=1，
选①③ ，由题意，c=2,e=ca=2，
∴a=2，
∴b2=c2-a2=2，
∴双曲线的标准方程为x22-y22=1，
选 ② ③，由题意知a=3,e=ca=2，
∴c=6，
∴b2=c2-a2=3，
∴双曲线标准方程为x23-y23=1.
故答案为：①②；x23-y2=1或①③；x22-y22=1或② ③ ；x23-y23=1.
14. 椭圆C:x28+y24=1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于两点A、B，则△ABF的面积的最大值为___________.
【答案】4
【详解】在椭圆C中，a=22，b=2，则c=a2-b2=2，则F2,0，
由题意可知，A、B关于原点对称，
当A、B为椭圆C短轴的端点时，△ABF的面积取得最大值，且最大值为12×c×2b=4.
故答案为：4.
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD.
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得A1C⊥BD；
②在翻折过程中，三棱锥A1-BCD的体积不大于14；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③
【详解】解：如图1，在矩形ABCD中，过A,C点作BD的垂线，垂足分别为E,F，
则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，
故对于①，连接CE，假设存在某个位置，使得A1C⊥BD，由于A1E⊥BD，A1C∩A1E=A1，
所以BD⊥平面A1CE，所以BD⊥CE，这与图1中的BD与CE不垂直矛盾，故错误；
对于②在翻折过程中，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1-BCD的体积取得最大值，此时A1E=AD⋅ABBD=32，体积为V=13⋅S△BCD⋅A1E=13×12×1×3×32=14，故三棱锥A1-BCD的体积不大于14，故正确；
对于③，A1D=A1E+ED，BC=BF+FC，由②的讨论得AE=DF=12,EF=1，
所以ED=BF，
所以A1D⋅BC=A1E+EDBF+FC=A1E⋅FC+ED⋅BF=-EA1⋅FC+ED⋅BF
=-EA1⋅FCcosEA1,FC+ED⋅BF=-34cosEA1,FC+94，
设翻折过程中，平面A1BD与平面BCD所成的二面角为θ，
所以EA1,FC=θ，故A1D⋅BC=-34cosθ+94，
由于要使直线A1D与BC异面直线，所以θ∈0,π，
所以A1D⋅BC=-34cosθ+94∈32,3，
所以cosA1D,BC=A1D⋅BCA1D⋅BC=-34cosθ+943∈12,1，
所以异面直线A1D与BC所成角余弦值的范围为12,1，
由于22∈12,1，
所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
故答案为：②③
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点M1,3.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线3x+y-2=0与圆O交于两点A，B，求弦长AB.
【答案】（1）x2+y2=4
（2）AB=23
【小问1详解】
由OM=1+3=2，所以圆O的方程为x2+y2=4；
【小问2详解】
由点O到直线3x+y-2=0的距离为d=-23+1=1
所以弦长AB=24-1=23
17. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2． M为侧棱BB1的中点，连接A1M，C1M，CM．
（1）证明：AC//平面A1C1M；
（2）证明：CM⊥平面A1C1M；
（3）求二面角C1－A1M－B1的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）π3
（2）由已知的数据可证得△CC1M，得CM⊥C1M，由直棱柱的性质结合AC⊥BC，可证得AC1⊥平面BB1C1C，从而可得AC1⊥CM，再由线面垂直的判定定理可证得结论，
（3）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
小问1详解】
证明：因为AC∥A1C1，AC⊄平面A1C1M,A1C1⊂平面A1C1M，
所以AC∥平面A1C1M；
【小问2详解】
证明：因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，AA1＝2． M为侧棱BB1的中点，
所以CM=C1M=12+12=2，
所以CM2+C1M2=2+2=CC12，
所以CM⊥C1M，
因为AC∥A1C1，AC⊥BC，
所以A1C1⊥BC，
因为CC1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，
所以A1C1⊥CC1，
因为CC1∩BC=C，所以A1C1⊥平面BB1C1C，
因为CM⊂平面BB1C1C，所以A1C1⊥CM，
因为A1C1∩C1M=C1，所以CM⊥平面A1C1M
【小问3详解】
因为AC,BC,CC1两垂直，
所以分别以CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则C(0,0,0),C1(0,0,2),A1(1,0,2),M(0,1,1),B1(0,1,2)，
所以A1B1=(-1,1,0)，A1M=(-1,1,-1)，
因为CM⊥平面A1C1M，所以CM=(0,1,1)为平面A1C1M的一个法向量，
设平面A1B1M的法向量为m=(x,y,z)，则
m⋅A1B1=-x+y=0m⋅A1M=-x+y-z=0，令y=1，则m=(1,1,0)，
所以cosm,CM=m⋅CMmCM=12×2=12，
由图可知二面角C1－A1M－B1为锐角，
所以二面角C1－A1M－B1的大小为π3
18. 已知抛物线C：y2=2px经过点1,2.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若MN=22QF，求直线l的方程.
【答案】（1）抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=-1
（2）x-y-1=0或x+y-1=0.
【小问1详解】
将1,2代入y2=2px可得4=2p，解得p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=-1；
【小问2详解】
由题得F1,0，设直线方程为x=ty+1，t≠0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，
联立方程x=ty+1y2=4x，可得y2-4ty-4=0，则y1+y2=4t，
所以MN=x1+x2+p=ty1+y2+4=4t2+4，
因为直线x=ty+1与准线x=-1交于点Q，则Q-1,-2t，
则QF=-1-12+-2t-02=4+4t2，
因为MN=22QF，所以4t2+4=22⋅4+4t2，解得t=±1，
所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
19. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为63，一个焦点为2,0.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点，直线y=x+m（m≠0）与椭圆E交于不同的两点A,B，且与轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形.
【答案】（1）x26+y22=1
（2）证明见解析.
【小问1详解】
解：因为椭圆E的离心率为63，一个焦点为2,0
所以e=ca=63,c=2，所以a=6,b2=a2-c2=2.
所以椭圆E的方程为x26+y22=1.
【小问2详解】
解：设点C(-m,0)，则点P(-m2,0),
所以联立方程y=x+mx2+3y2=6得4x2+6mx+3m2-6=0，
所以有Δ=36m2-16(3m2-6)>0，解得-22
所以x1+x2=-3m2.
设向量PA=(x1+m2,y1),PB1=(x2+m2,-y2)，
所以PA⋅PB1=(x1+m2)(x2+m2)-y1y2=(x1+m2)(x2+m2)-(x1+m)(x2+m)
=-m2(x1+x2)-34m2=3m24-3m24=0，
所以PA⊥PB1，即∠APB1=90°，
设AB的中点为M(x0,y0)，则x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4.
所以kPM=-34m+m2m4-0=-1，
又因为kAB=1，所以PM⊥AB，
所以|PA|=|PB|，
因为点B关于x轴的对称点为B1.
所以|PB|=|PB1|，
所以|PA|=|PB1|，
所以△PAB1是等腰直角三角形.
附加题
20. 在等差数列an中，若a2+a6=6，a5=8，则a10=（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 33
【答案】D
【详解】设数列的公差为d，a1+d+a1+5d=6a1+4d=8⇒a1=-12d=5，则a10=-12+5×9=33.
故选：D.
21. 设等差数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a13+a14+a15+a16= ( )
A. 12 B. 8 C. 20 D. 16
【答案】C
【详解】解：∵等差数列an的前n项和为Sn，S4=8,S8=20，
由等差数列的性质得：
S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列
又S4=8,S8-S4=20-8=12,
∴S12-S8=S12-20=12+4=16,
S16-S12=a13+a14+a15+a16=16+4=20．
故选C．
22. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为（ ）
A. 1144 B. 1122 C. 21144 D. 1111
【答案】B
【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=3，则A3,0,0，E0,3,2，A13,0,3，B3,3,0，
AE=-3,3,2，A1B=0,3,-3，
设异面直线AE与A1B所成角为θ，
则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为：
cosθ=AE⋅A1BAE⋅A1B=322⋅18=1122．
故选：B．
23. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A. 66 B. 91 C. 107 D. 120
【答案】D
【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，
归纳可得：第n个叠放图形中共有n层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列，
所以第n个叠放的图形中小正方体木块的总数是Sn=n+nn-142=2n2-n，
第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是S8=2×82-8=120，
故选：D
24. 已知等差数列an的前n项和为Sn，并且S12>0，S13<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【详解】由题意可得S12=10a1+a122=5a1+a12=5a6+a7>0，
所以a6+a7>0，
又S13=10a1+a132=10a7<0，所以a7<0，
又a6+a7>0可得a6>0，
所以等差数列an的前6项为正数，从第7项起为负数，
所以Sn≤S6， 所以k=6.
故选：C.
25. 如图，正方体ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．点P在正方形ABCD的边上，且PE⋅PF=3，则满足条件的点P的个数是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【详解】以D为原点，DC,DA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图：
因为正方形边长为6，DE=2AE，CF=2BF，
所以E(0,4) , F(6,4)
若点P在边DC上，设P(x,0), x∈[0,6]，
则PE=(-x,4), PF=(6-x,4)，
PE⋅PF=-x(6-x)+16=3，即x2-6x+13=0，
Δ=(-6)2-4×13=-16<0，无解；
若点P在边CB上，设P(6,y), y∈[0,6]，
则PE=(-6,4-y), PF=(0,4-y)，
PE⋅PF=(4-y)2=3，则y=4-3或4+3，
故在CB边上有两个点满足条件；
若点P在边AB上，设P(x,6), x∈[0,6]，
则PE=(-x,-2), PF=(6-x,-2)，
PE⋅PF=-x(6-x)+4=3，即x2-6x+1=0，
Δ=(-6)2-4=32>0，故在AB边上有两个点满足条件；
若点P在边DA上，设P(0,y), y∈[0,6]，
则PE=(0,4-y), PF=(6,4-y)，
PE⋅PF=(4-y)2=3，则y=4-3或4+3，
故在DA边上有两个点满足条件；
综上所述，共有6个点满足条件.
故选：D.
26. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，且△F1PF2内切圆的半径大于312a，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. 0,32 B. 0,1112 C. 32,1112 D. 1112,1
【答案】C
【详解】设|F1F2|=2c，△F1PF2内切圆的半径为r．
因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|F1F2|2=|PF1|+|PF2|2-2|PF1||PF2|(1+cos120°)=4a2-|PF1||PF2|，
则|PF1||PF2|=4b2．
由等面积法可得12(2a+2c)r=12×4b2×sin120°=3a2-c2，
整理得r=3(a-c)，又r>312a
故ca<1112．又∠F1PF2=120°，所以60°≤∠F1PO≤90∘
则ca≥32，从而32≤e<1112．
故选：C
五、解答题（本大题共1小题，共15分，解答应写出文字说明过程或验算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
27. 对于无穷数列an，bn，若bk=maxa1,a2,⋯ak-mina1,a2,⋯akk=1,2,3,⋯，则称bn是an的“伴随数列”．其中，maxa1,a2,⋯ak，mina1,a2,⋯ak分别表示a1,a2,⋯ak中的最大数和最小数．已知an为无穷数列，其前n项和为Sn，数列bn是an的“伴随数列”．
（1）若an=n+2022，求bn的前n项和；
（2）证明：b1=0且bn+1≥bn；
（3）若S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bn(n=1,2,3,⋯)，求所有满足该条件的an．
【答案】（1）n(n-1)2；
（2）证明见解析； （3）an=a1,n=1a2,n>1a2≥a1.
【小问1详解】
由an=n+2022可得an为递增数列，
所以bn=maxa1,a2,⋯,an-mina1,a2,⋯,an
=an-a1=n+2022-2023=n-1，
故bn的前n项和为(0+n-1)2×n=nn-12.
【小问2详解】
n=1时，b1=a1-a1=0，
因为maxa1,a2,⋯,an≤maxa1,a2,⋯,an+1n=1,2,3,⋯，
mina1,a2,⋯,an≥mina1,a2,⋯,an+1n=1,2,3,⋯，
所以maxa1,a2,⋯,an+1-mina1,a2,⋯,an+1
≥maxa1,a2,⋯,an-mina1,a2,⋯,an
所以bn+1≥bnn=1,2,3,⋯；
【小问3详解】
由S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bnn=1,2,3,⋯可得
当n=1时，a1=a1；
当n=2时，2a1+a2=3a1+b2，
即b2=a2-a1，所以a2≥a1；
当n=3时，3a1+2a2+a3=6a1+3b3，
即3b3=2a2-a1+a3-a1（*），
若a1≤a3
所以a3-a2与a1-a3同号，这与a3
猜想：满足S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bnn=1,2,3,⋯
的数列an是：an=a1,n=1a2,n>1a2≥a1.
经验证，左式=S1+S2+⋯+Sn=na1+1+2+⋯+n-1a2
=na1+nn-12a2，
右式=nn+12a1+nn-12bn=nn+12a1+nn-12a2-a1
=na1+nn-12a2.
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
法1：由上述n≤3时的情况可知，n≤3时，an=a1,n=1a2,n>1,a2≥a1是成立的.
假设ak是首次不符合an=a1,n=1a2,n>1,a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=⋯=ak-1≠ak，
由题设条件可得k2-k-22a2+ak=kk+12a1+kk-12bk（*），
若a1≤ak
所以ak-a2与a1-ak同号，这与ak
这与假设ak≠a2矛盾.
所以不存在数列不满足an=a1,n=1,a2,n>1,a2≥a1的an符合题设条件.
法2：当i≤n时，ai-a1≤maxa1,a2,⋯,ai-mina1,a2,⋯,ai=bi，
所以i=1kai-a1≤b1+b2+⋯+bk,k=1,2,3,⋯,n
即Sk≤ka1+b1+b2+⋯+bk,k=1,2,3,⋯,n
由bn+1≥bnn=1,2,3,⋯可得bk≤bnk=1,2,3,⋯,n
又b1=0，所以可得Sk≤ka1+k-1bnk=1,2,3,⋯，
所以S1+S2+⋯+Sn≤a1+2a1+⋯+na1
+0×bn+bn+2bn+⋯+n-1bn，
即S1+S2+⋯+Sn≤n+1n2a1+n-1n2bn
所以S1+S2+⋯+Sn≤n+1n2a1+n-1n2bn等号成立的条件是
ai-a1=bi=bni=1,2,3,⋯,n，
所以，所有满足该条件的数列an为an=a1,n=1,a2,n>1,a2≥a1.
2022北京人大附高二（上）期末
数 学
2022.01
学校_________________姓名_________________准考证号_________________
考生须知
1．本样题共5页，共两部分，19道题，满分100分。考试时间90分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）下列直线中，倾斜角为45º的是
（A） （B）
（C） （D）
（2）若直线与直线垂直，则a的值为
（A）2 （B）1 （C） （D）
（3）如图，在四面体中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量a，b，c表示为
（A） （B）
（C） （D）
（4）平面与平面平行的充分条件可以是
（A）平面内有一条直线与平面平行
（B）平面内有两条直线分别与平面平行
（C）平面内有无数条直线分别与平面平行
（D）平面内有两条相交直线分别与平面平行
（5）若双曲线的一条渐近线经过点(，1)，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）2
（6）已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为
（A） （B） （C） （D）
（7）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为
（A）1 （B）
（C） （D）
（8）如图，F1，F2是平面上的两点，且｜F1F2｜＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则
（A）点B和C都在椭圆M上
（B）点C和D都在椭圆M上
（C）点D和E都在椭圆M上
（D）点E和B都在椭圆M上
（9）设P为直线上任意一点，过P总能作圆的切线，则的最大值为
（A） （B）1 （C） （D）
（10）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据: AA1＝13cm，BB1＝12cm，CC1＝20cm，A1B1＝15cm，B1C1＝48cm，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示.
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果(cm3)
25200π
17409π
14889π
13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是
（参考公式：V圆柱＝πR2h，V圆锥＝πR2h，V圆台＝πh(r2＋rR＋R2)）
（A）甲
（B）乙
（C）丙
（D）丁
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心坐标为___________；半径为___________.
（12）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝___________.
（13）已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.
①一个焦点坐标为(2，0)； ②经过点(，0)； ③离心率为.
你选择的两个条件是_________，得到的双曲线M的标准方程是_________.
（说明：仅填写第一空不得分，只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分）
（14）椭圆C:的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于两点A，B，则△ABF的面积的最大值为_________.
（15）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD.
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题8分）
在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点M(1，).
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）若直线与圆O交于两点A，B，求弦长｜AB｜.
（17）（本小题11分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2. M为侧棱BB1的中点，连接A1M，C1M，CM.
（Ⅰ）证明：AC//平面A1C1M；
（Ⅱ）证明：CM⊥平面A1C1M；
（Ⅲ）求二面角C1－A1M－B1的大小.
（18）（本小题10分）
已知抛物线C:y2＝2px经过点(1，2).
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若＝2|QF|，求直线l的方程.
（19）（本小题11分）
已知椭圆E: 的离心率为，一个焦点为(2，0).
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线y＝x＋m(m≠0)与椭圆E交于不同的两点A，B，且与x轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形.
2022北京人大附高二（上）期末数学
附加题
四、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
20.在等差数列an中，若a2+a6=6，a5=8，则a10=（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 33
差为d，a1+d+a1+5d=6a1+4d=8⇒a1=-12d=5，则a10=-12+5×9=33.
故选：D.
21.设等差数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a13+a14+a15+a16= ( )
A. 12 B. 8 C. 20 D. 16
22. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为（ ）
A. 1144 B. 1122 C. 21144 D. 1111
23. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A. 66 B. 91 C. 107 D. 120
24. 已知等差数列an的前n项和为Sn，并且S12>0，S13<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
25. 如图，正方体ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．点P在正方形ABCD的边上，且PE⋅PF=3，则满足条件的点P的个数是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
26. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，且△F1PF2内切圆的半径大于312a，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. 0,32 B. 0,1112 C. 32,1112 D. 1112,1
五、解答题（本大题共1小题，共15分，解答应写出文字说明过程或验算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
27. 对于无穷数列an，bn，若bk=maxa1,a2,⋯ak-mina1,a2,⋯akk=1,2,3,⋯，则称bn是an的“伴随数列”．其中，maxa1,a2,⋯ak，mina1,a2,⋯ak分别表示a1,a2,⋯ak中的最大数和最小数．已知an为无穷数列，其前n项和为Sn，数列bn是an的“伴随数列”．
（1）若an=n+2022，求bn的前n项和；
（2）证明：b1=0且bn+1≥bn；
（3）若S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bn(n=1,2,3,⋯)，求所有满足该条件的an．
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参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ）
A. x+y-1=0 B. x+1=0
C. x-y+2=0 D. x-2y-1=0
【答案】C
【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为k=1，
对于A，直线斜率为k=-1，
对于B，直线无斜率，
对于C，直线斜率k=1，
对于D，直线斜率k=22，
故选：C
2. 若直线x-ay+1=0与直线2x+y=0垂直，则a的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -12 D. -1
【答案】A
【详解】由于直线x-ay+1=0与直线2x+y=0垂直，所以1×2+-a×1=0，解得a=2.
故选：A
3. 如图，在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE可用向量a，b，c表示为（ ）
A. 12a+12b+12c B. 12a+14b+14c
C. 14a+12b+14c D. 14a+14b+12c
【答案】B
【详解】连接OD，则OE=12OA+OD=12OA+14OB+OC
即OE=12a+14b+14c.
故选：B.
4. 平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）
A. 平面α内有一条直线与平面β平行
B. 平面α内有两条直线分别与平面β平行
C. 平面α内有无数条直线分别与平面β平行
D. 平面α内有两条相交直线分别与平面β平行
【答案】D
【详解】对A，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A错误；
对B，若平面α内有两条直线分别与平面β平行，若这两条直线平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B错误；
对C，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C错误；
对D，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D正确.
故选：D.
5. 若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线经过点3,1，则双曲线的离心率为（ ）
A. 233 B. 62 C. 3 D. 2
【答案】A
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：y=±bax，而一条渐近线过点3,1，则1=3ba，ba=13⇒e=ca=1+b2a2=1+13=233.
故选：A.
6. 已知球O的半径为2，球心到平面α的距离为1，则球O被平面α截得的截面面积为（ ）
A. 23π B. 3π C. 3π D. π
【答案】B
【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为22-12=3，
所以截面的面积S=π32=3π.
故选：B
7. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=2，则点A到平面PBC的距离为（ ）
A. 1 B. 32 C. 22 D. 12
【答案】A
【详解】因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
因为PA=2，AB=AC=2，
所以PB=PC=22+22=6
又AB⊥AC，AB=AC=2，
所以BC=22+22=22,
所以S△PBC=12BC⋅62-2222=12×22×2=22,
设点A到平面PBC的距离为h，
则VP-ABC=VA-PBC,
即13PA⋅S△ABC=13h⋅S△PBC,
∴h=2×12×2×222=1，
故选：A
8. 如图，F1，F2是平面上的两点，且F1F2=10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则（ ）
A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上
C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上
【答案】C
【详解】因为|AF1|+|AF2|=3+9=12，
所以椭圆M中2a=12，
因为|BF1|+|BF2|=5+9≠12，|CF1|+|CF2|=5+6≠12,
|DF1|+|DF2|=5+7=12,|EF1|+|EF2|=11+1=12,
所以D，E在椭圆M上.
故选：C
9. 设P为直线y=kx+2上任意一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则k的最大值为（ ）
A. 33 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【详解】因为过过P总能作圆x2+y2=1的切线，故点P在圆外或圆上，
也即直线y=kx+2与圆x2+y2=1相离或相切，
则2k2+1≥1，即k2+1≤4，解得k∈[-3,3]，
故k的最大值为3.
故选：D.
10. 某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：AA1=13cm，BB1=12cm，CC1=20cm，A1B1=15cm，B1C1=48cm，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果（cm3）
25200π
17409π
14889π
13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：V圆柱=πR2h，V圆锥=13πR2h，V圆台=13πhr2+rR+R2）
A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【详解】可将几何体看作一个以BB1=12cm为半径，高为B1C1+A1B1=48+15=63cm的圆柱，
再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20-12=8cm，13-12=1cm，高分别为48cm,15cm,
V圆柱=π×122×63=9072π(cm3),
V圆锥=13π×82×48+12×15=1029(cm3),
所以花瓶的容积9072πcm3
故选：D
11. 圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心坐标为___________；半径为___________.
【答案】 ①. (1,-3) ②. 1
【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是(x-1)2+(y+3)2=1，
圆心坐标为(1,-3)，半径为1．
故答案为：(1,-3)；1．
12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1⋅A1B1=___________.
【答案】1
【详解】如图，在正方体中，
∴AC1⋅A1B1=AC→+CC1→⋅A1B1→=AB→+AD→+AA1→⋅AB→=AB→2+0+0=1，
故答案为：1
13. 已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为2,0；②经过点3,0；③离心率为2.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M的标准方程是___________.
【答案】 ①. ①②或①③或② ③ ②. x23-y2=1或x22-y22=1或x23-y23=1
【详解】选①②，由题意则c=2，a=3，
∴b2=c2-a2=1，
∴双曲线的标准方程为x23-y2=1，
故答案为：①②；x23-y2=1，
选①③ ，由题意，c=2,e=ca=2，
∴a=2，
∴b2=c2-a2=2，
∴双曲线的标准方程为x22-y22=1，
选 ② ③，由题意知a=3,e=ca=2，
∴c=6，
∴b2=c2-a2=3，
∴双曲线标准方程为x23-y23=1.
故答案为：①②；x23-y2=1或①③；x22-y22=1或② ③ ；x23-y23=1.
14. 椭圆C:x28+y24=1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于两点A、B，则△ABF的面积的最大值为___________.
【答案】4
【详解】在椭圆C中，a=22，b=2，则c=a2-b2=2，则F2,0，
由题意可知，A、B关于原点对称，
当A、B为椭圆C短轴的端点时，△ABF的面积取得最大值，且最大值为12×c×2b=4.
故答案为：4.
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形A1BCD.
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得A1C⊥BD；
②在翻折过程中，三棱锥A1-BCD的体积不大于14；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③
【详解】解：如图1，在矩形ABCD中，过A,C点作BD的垂线，垂足分别为E,F，
则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，
故对于①，连接CE，假设存在某个位置，使得A1C⊥BD，由于A1E⊥BD，A1C∩A1E=A1，
所以BD⊥平面A1CE，所以BD⊥CE，这与图1中的BD与CE不垂直矛盾，故错误；
对于②在翻折过程中，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1-BCD的体积取得最大值，此时A1E=AD⋅ABBD=32，体积为V=13⋅S△BCD⋅A1E=13×12×1×3×32=14，故三棱锥A1-BCD的体积不大于14，故正确；
对于③，A1D=A1E+ED，BC=BF+FC，由②的讨论得AE=DF=12,EF=1，
所以ED=BF，
所以A1D⋅BC=A1E+EDBF+FC=A1E⋅FC+ED⋅BF=-EA1⋅FC+ED⋅BF
=-EA1⋅FCcosEA1,FC+ED⋅BF=-34cosEA1,FC+94，
设翻折过程中，平面A1BD与平面BCD所成的二面角为θ，
所以EA1,FC=θ，故A1D⋅BC=-34cosθ+94，
由于要使直线A1D与BC异面直线，所以θ∈0,π，
所以A1D⋅BC=-34cosθ+94∈32,3，
所以cosA1D,BC=A1D⋅BCA1D⋅BC=-34cosθ+943∈12,1，
所以异面直线A1D与BC所成角余弦值的范围为12,1，
由于22∈12,1，
所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A1D与BC所成角为45°.
故答案为：②③
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点M1,3.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线3x+y-2=0与圆O交于两点A，B，求弦长AB.
【答案】（1）x2+y2=4
（2）AB=23
【小问1详解】
由OM=1+3=2，所以圆O的方程为x2+y2=4；
【小问2详解】
由点O到直线3x+y-2=0的距离为d=-23+1=1
所以弦长AB=24-1=23
17. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2． M为侧棱BB1的中点，连接A1M，C1M，CM．
（1）证明：AC//平面A1C1M；
（2）证明：CM⊥平面A1C1M；
（3）求二面角C1－A1M－B1的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）π3
（2）由已知的数据可证得△CC1M，得CM⊥C1M，由直棱柱的性质结合AC⊥BC，可证得AC1⊥平面BB1C1C，从而可得AC1⊥CM，再由线面垂直的判定定理可证得结论，
（3）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
小问1详解】
证明：因为AC∥A1C1，AC⊄平面A1C1M,A1C1⊂平面A1C1M，
所以AC∥平面A1C1M；
【小问2详解】
证明：因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，AA1＝2． M为侧棱BB1的中点，
所以CM=C1M=12+12=2，
所以CM2+C1M2=2+2=CC12，
所以CM⊥C1M，
因为AC∥A1C1，AC⊥BC，
所以A1C1⊥BC，
因为CC1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，
所以A1C1⊥CC1，
因为CC1∩BC=C，所以A1C1⊥平面BB1C1C，
因为CM⊂平面BB1C1C，所以A1C1⊥CM，
因为A1C1∩C1M=C1，所以CM⊥平面A1C1M
【小问3详解】
因为AC,BC,CC1两垂直，
所以分别以CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则C(0,0,0),C1(0,0,2),A1(1,0,2),M(0,1,1),B1(0,1,2)，
所以A1B1=(-1,1,0)，A1M=(-1,1,-1)，
因为CM⊥平面A1C1M，所以CM=(0,1,1)为平面A1C1M的一个法向量，
设平面A1B1M的法向量为m=(x,y,z)，则
m⋅A1B1=-x+y=0m⋅A1M=-x+y-z=0，令y=1，则m=(1,1,0)，
所以cosm,CM=m⋅CMmCM=12×2=12，
由图可知二面角C1－A1M－B1为锐角，
所以二面角C1－A1M－B1的大小为π3
18. 已知抛物线C：y2=2px经过点1,2.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若MN=22QF，求直线l的方程.
【答案】（1）抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=-1
（2）x-y-1=0或x+y-1=0.
【小问1详解】
将1,2代入y2=2px可得4=2p，解得p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=-1；
【小问2详解】
由题得F1,0，设直线方程为x=ty+1，t≠0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，
联立方程x=ty+1y2=4x，可得y2-4ty-4=0，则y1+y2=4t，
所以MN=x1+x2+p=ty1+y2+4=4t2+4，
因为直线x=ty+1与准线x=-1交于点Q，则Q-1,-2t，
则QF=-1-12+-2t-02=4+4t2，
因为MN=22QF，所以4t2+4=22⋅4+4t2，解得t=±1，
所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
19. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为63，一个焦点为2,0.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点，直线y=x+m（m≠0）与椭圆E交于不同的两点A,B，且与轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形.
【答案】（1）x26+y22=1
（2）证明见解析.
【小问1详解】
解：因为椭圆E的离心率为63，一个焦点为2,0
所以e=ca=63,c=2，所以a=6,b2=a2-c2=2.
所以椭圆E的方程为x26+y22=1.
【小问2详解】
解：设点C(-m,0)，则点P(-m2,0),
所以联立方程y=x+mx2+3y2=6得4x2+6mx+3m2-6=0，
所以有Δ=36m2-16(3m2-6)>0，解得-22
所以x1+x2=-3m2.
设向量PA=(x1+m2,y1),PB1=(x2+m2,-y2)，
所以PA⋅PB1=(x1+m2)(x2+m2)-y1y2=(x1+m2)(x2+m2)-(x1+m)(x2+m)
=-m2(x1+x2)-34m2=3m24-3m24=0，
所以PA⊥PB1，即∠APB1=90°，
设AB的中点为M(x0,y0)，则x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4.
所以kPM=-34m+m2m4-0=-1，
又因为kAB=1，所以PM⊥AB，
所以|PA|=|PB|，
因为点B关于x轴的对称点为B1.
所以|PB|=|PB1|，
所以|PA|=|PB1|，
所以△PAB1是等腰直角三角形.
附加题
20. 在等差数列an中，若a2+a6=6，a5=8，则a10=（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 33
【答案】D
【详解】设数列的公差为d，a1+d+a1+5d=6a1+4d=8⇒a1=-12d=5，则a10=-12+5×9=33.
故选：D.
21. 设等差数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a13+a14+a15+a16= ( )
A. 12 B. 8 C. 20 D. 16
【答案】C
【详解】解：∵等差数列an的前n项和为Sn，S4=8,S8=20，
由等差数列的性质得：
S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列
又S4=8,S8-S4=20-8=12,
∴S12-S8=S12-20=12+4=16,
S16-S12=a13+a14+a15+a16=16+4=20．
故选C．
22. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为（ ）
A. 1144 B. 1122 C. 21144 D. 1111
【答案】B
【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=3，则A3,0,0，E0,3,2，A13,0,3，B3,3,0，
AE=-3,3,2，A1B=0,3,-3，
设异面直线AE与A1B所成角为θ，
则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为：
cosθ=AE⋅A1BAE⋅A1B=322⋅18=1122．
故选：B．
23. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A. 66 B. 91 C. 107 D. 120
【答案】D
【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，
归纳可得：第n个叠放图形中共有n层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列，
所以第n个叠放的图形中小正方体木块的总数是Sn=n+nn-142=2n2-n，
第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是S8=2×82-8=120，
故选：D
24. 已知等差数列an的前n项和为Sn，并且S12>0，S13<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【详解】由题意可得S12=10a1+a122=5a1+a12=5a6+a7>0，
所以a6+a7>0，
又S13=10a1+a132=10a7<0，所以a7<0，
又a6+a7>0可得a6>0，
所以等差数列an的前6项为正数，从第7项起为负数，
所以Sn≤S6， 所以k=6.
故选：C.
25. 如图，正方体ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．点P在正方形ABCD的边上，且PE⋅PF=3，则满足条件的点P的个数是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【详解】以D为原点，DC,DA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图：
因为正方形边长为6，DE=2AE，CF=2BF，
所以E(0,4) , F(6,4)
若点P在边DC上，设P(x,0), x∈[0,6]，
则PE=(-x,4), PF=(6-x,4)，
PE⋅PF=-x(6-x)+16=3，即x2-6x+13=0，
Δ=(-6)2-4×13=-16<0，无解；
若点P在边CB上，设P(6,y), y∈[0,6]，
则PE=(-6,4-y), PF=(0,4-y)，
PE⋅PF=(4-y)2=3，则y=4-3或4+3，
故在CB边上有两个点满足条件；
若点P在边AB上，设P(x,6), x∈[0,6]，
则PE=(-x,-2), PF=(6-x,-2)，
PE⋅PF=-x(6-x)+4=3，即x2-6x+1=0，
Δ=(-6)2-4=32>0，故在AB边上有两个点满足条件；
若点P在边DA上，设P(0,y), y∈[0,6]，
则PE=(0,4-y), PF=(6,4-y)，
PE⋅PF=(4-y)2=3，则y=4-3或4+3，
故在DA边上有两个点满足条件；
综上所述，共有6个点满足条件.
故选：D.
26. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，且△F1PF2内切圆的半径大于312a，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. 0,32 B. 0,1112 C. 32,1112 D. 1112,1
【答案】C
【详解】设|F1F2|=2c，△F1PF2内切圆的半径为r．
因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|F1F2|2=|PF1|+|PF2|2-2|PF1||PF2|(1+cos120°)=4a2-|PF1||PF2|，
则|PF1||PF2|=4b2．
由等面积法可得12(2a+2c)r=12×4b2×sin120°=3a2-c2，
整理得r=3(a-c)，又r>312a
故ca<1112．又∠F1PF2=120°，所以60°≤∠F1PO≤90∘
则ca≥32，从而32≤e<1112．
故选：C
五、解答题（本大题共1小题，共15分，解答应写出文字说明过程或验算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
27. 对于无穷数列an，bn，若bk=maxa1,a2,⋯ak-mina1,a2,⋯akk=1,2,3,⋯，则称bn是an的“伴随数列”．其中，maxa1,a2,⋯ak，mina1,a2,⋯ak分别表示a1,a2,⋯ak中的最大数和最小数．已知an为无穷数列，其前n项和为Sn，数列bn是an的“伴随数列”．
（1）若an=n+2022，求bn的前n项和；
（2）证明：b1=0且bn+1≥bn；
（3）若S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bn(n=1,2,3,⋯)，求所有满足该条件的an．
【答案】（1）n(n-1)2；
（2）证明见解析； （3）an=a1,n=1a2,n>1a2≥a1.
【小问1详解】
由an=n+2022可得an为递增数列，
所以bn=maxa1,a2,⋯,an-mina1,a2,⋯,an
=an-a1=n+2022-2023=n-1，
故bn的前n项和为(0+n-1)2×n=nn-12.
【小问2详解】
n=1时，b1=a1-a1=0，
因为maxa1,a2,⋯,an≤maxa1,a2,⋯,an+1n=1,2,3,⋯，
mina1,a2,⋯,an≥mina1,a2,⋯,an+1n=1,2,3,⋯，
所以maxa1,a2,⋯,an+1-mina1,a2,⋯,an+1
≥maxa1,a2,⋯,an-mina1,a2,⋯,an
所以bn+1≥bnn=1,2,3,⋯；
【小问3详解】
由S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bnn=1,2,3,⋯可得
当n=1时，a1=a1；
当n=2时，2a1+a2=3a1+b2，
即b2=a2-a1，所以a2≥a1；
当n=3时，3a1+2a2+a3=6a1+3b3，
即3b3=2a2-a1+a3-a1（*），
若a1≤a3
所以a3-a2与a1-a3同号，这与a3
猜想：满足S1+S2+⋯+Sn=nn+12a1+nn-12bnn=1,2,3,⋯
的数列an是：an=a1,n=1a2,n>1a2≥a1.
经验证，左式=S1+S2+⋯+Sn=na1+1+2+⋯+n-1a2
=na1+nn-12a2，
右式=nn+12a1+nn-12bn=nn+12a1+nn-12a2-a1
=na1+nn-12a2.
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
法1：由上述n≤3时的情况可知，n≤3时，an=a1,n=1a2,n>1,a2≥a1是成立的.
假设ak是首次不符合an=a1,n=1a2,n>1,a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=⋯=ak-1≠ak，
由题设条件可得k2-k-22a2+ak=kk+12a1+kk-12bk（*），
若a1≤ak
所以ak-a2与a1-ak同号，这与ak
这与假设ak≠a2矛盾.
所以不存在数列不满足an=a1,n=1,a2,n>1,a2≥a1的an符合题设条件.
法2：当i≤n时，ai-a1≤maxa1,a2,⋯,ai-mina1,a2,⋯,ai=bi，
所以i=1kai-a1≤b1+b2+⋯+bk,k=1,2,3,⋯,n
即Sk≤ka1+b1+b2+⋯+bk,k=1,2,3,⋯,n
由bn+1≥bnn=1,2,3,⋯可得bk≤bnk=1,2,3,⋯,n
又b1=0，所以可得Sk≤ka1+k-1bnk=1,2,3,⋯，
所以S1+S2+⋯+Sn≤a1+2a1+⋯+na1
+0×bn+bn+2bn+⋯+n-1bn，
即S1+S2+⋯+Sn≤n+1n2a1+n-1n2bn
所以S1+S2+⋯+Sn≤n+1n2a1+n-1n2bn等号成立的条件是
ai-a1=bi=bni=1,2,3,⋯,n，
所以，所有满足该条件的数列an为an=a1,n=1,a2,n>1,a2≥a1.
相关试卷
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