2022北京五十七中高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2022北京五十七中高二（上）期末数学（教师版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京五十七中高二（上）期末数    学一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）集合，，则　　A．， B．，4， C．，5， D．，4，5，2．（4分）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）已知是正方形的中心．若，其中，，则　　A． B． C． D．4．（4分）关于直线，与平面，，有以下四个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则；其中真命题的序号是　　A．①② B．③④ C．①④ D．②③5．（4分）已知点，．若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是　　A． B． C． D．6．（4分）已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为　　A．， B．， C．， D．，7．（4分）若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，8．（4分）已知曲线，则下列说法不正确的是　　A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．若，则是圆，其半径是 D．若，，则是两条直线9．（4分）已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆、两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹为　　A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分10．（4分）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是　　A．使得的点有且仅有4个 B．使得的点有且仅有4个 C．使得为等腰三角形的点有且仅有4个 D．使得为直角三角形的点有且仅有4个二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）设双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是 　　．12．（5分）已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 　　．13．（5分）过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与轴交于点，若线段的中点为双曲线的虚轴端点为坐标原点），则双曲线的离心率为　　．14．（5分）已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是 　　．15．（5分）已知点，分别是抛物线和直线上的动点，点是圆上的动点．①抛物线的焦点坐标为　　；②的最小值为　　．三、解答题（共6个小题，满分85分）16．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．17．（14分）如图，在中，是上的点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）角的大小；（Ⅱ）的面积．条件①：；条件②：．18．（14分）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线与圆交于、两点，如果，求直线方程，并求．19．（14分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值．21．（15分）已知椭圆的离心率为，，，，△的面积为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：为等腰三角形．
参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】求出集合，中不等式的解集中的自然数解，根据交集的定义，求出得到两个集合的交集．【解答】解：，1，2，3，4，5，，，，，5，，故选：．【点评】此题是个基础题．本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．做题时应注意理解集合的元素．2．【分析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】解：由题意可知，．，复数对应的点位于第二象限．故选：．【点评】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．3．【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出，即可得出答案．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．4．【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．【解答】解：若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若，且，则，一定垂直，故②正确；若，且，则，一定垂直，故③正确；若，且，则，可能相交、平行也可能异面，故④错误故选：．【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理，，；③利用面面平行的性质定理；④利用面面平行的性质，，，．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．5．【分析】过点做轴垂线，垂足为，根据正三角形性质可知为，的中点，点的坐标代入椭圆方程即可求得．然后求解椭圆的离心率．【解答】解：过点做轴垂线，垂足为，根据正三角形性质可知为，的中点，坐标为，点的坐标代入椭圆方程得，解得，所以椭圆的离心率为：．故选：．【点评】本题主要考查了椭圆方程求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出点的坐标．6．【分析】根据椭圆与双曲线的方程，求出离心率，，即可得，即可求得的值，即可求得渐近线方程，结合直线的斜率与倾斜角关系，即可求解．【解答】解：设椭圆的离心率为，则，双曲线的离心率为，则，椭圆和双曲线的离心率之积为1，，解得，双曲线的两条渐近线分别为或，双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为或．故选：．【点评】本题主要考查了椭圆与双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．7．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，，其图象为圆的下半部分，直线即，必有直线与半圆有公共点，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，变形可得，，其图象为圆的下半部分，如图：直线即，必有直线与半圆有公共点，当时，直线在圆心的下方且与圆相切，当时，直线经过点，则的取值范围为，；故选：．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．8．【分析】把已知方程变形，结合四个选项中的条件依次判断得答案．【解答】解：由曲线，得，若，则，曲线是椭圆，其焦点在轴上，故正确；若，则是双曲线，当时，焦点在轴上，，，渐近线方程为，当时，焦点在轴上，，，渐近线方程为，所以若，则是双曲线，其渐近线方程为，故正确；若，则是圆，其半径是，故错误；若，，则化为，是两条直线，故正确．故选：．【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查圆锥曲线的标准方程及性质，是基础题．9．【分析】根据题意可得（定值），且．即可得点的轨迹是双曲线的一部分．【解答】解：可得圆的圆心为，半径为．如图，，，，，，（定值），且．点的轨迹是双曲线的一部分，故选：．【点评】本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题．10．【分析】考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个；为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点．【解答】若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的有且只有2个，故错误；使得的点在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程，可得，△，可得点有2个；若在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点有且只有4个，故正确；由为等腰三角形，若，则有两个点；若，则不存在，若，则有两个点，则使得为等腰三角形的点有且仅有4个，故正确；由中为直角的点有两个；为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故正确．故选：．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查联立方程，由判别式确定交点个数，以及分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．【分析】利用双曲线经过的点，求解，然后求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线经过点，可得，所以双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题．12．【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析可得答案．【解答】解：如图，抛物线的焦点为，准线为，即．分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有．过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，则，即到准线的距离为5．故答案为：5．【点评】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．13．【分析】根据线段的中点为双曲线的虚轴端点，求出的坐标，结合直线平行，得到斜率相等进行求解即可．【解答】解：，双曲线的一条渐近线方程为，的中点是，，平行渐近线，的斜率等于，即，即，则双曲线的离心率，故答案为：2．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线平行以及直线斜率关系是解决本题的关键．14．【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【解答】解：当时，，即，则的值域为，，当时，，即，则的值域为，，若存在，使得，则，，，若，，，则或，得或，则当，，时，，即实数的取值范围是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．15．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得要使取得最大，可得经过点，即，要使取得最小，必须垂直于直线，可得，再由基本不等式可得所求最小值．【解答】解：的焦点，准线方程为，要使取得最大，可得经过点，即，要使取得最小，必须垂直于直线，可得，由，当且仅当时上式取得最小值16．故答案为：，16．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆的位置关系，以及基本不等式的运用，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．三、解答题（共6个小题，满分85分）16．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数．，．所以函数的最小正周期为．（Ⅱ）对恒成立，所以，由于，所以．当时，即时，时，实数的取值范围为，．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17．【分析】选择条件①：（Ⅰ）在中由余弦定理得，结合范围，可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得为直角三角形，可求，进而根据三角形的面积公式即可求解．选择条件②：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，由题可知，可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得为直角三角形，得，结合，可求，进而根据三角形的面积公式即可得解．【解答】解：选择条件①：（Ⅰ）在中，由余弦定理，得．因为，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以．所以为直角三角形．所以，．又因为，所以．所以．选择条件②：（Ⅰ）在中，，．由正弦定理，得．由题可知，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以．所以为直角三角形，得．又因为，所以．所以．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．【分析】（1）先求出圆心坐标，半径，再利用圆心到直线的距离等于半径即可解决；（2）过点的直线分为斜率不存在和斜率存在两种情况，要分别说明；利用垂径定理解决直线与圆的弦长问题会快捷一些．【解答】解：（1）圆的方程可化为，则圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；（2）由（1）可知圆半径，圆心，当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理得弦长，不合题意；当直线斜率存在时，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理有，，解得，则直线的方程为，设，，，，由整理得解得，，于是，，故．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数量积的计算等知识，属于中等题．19．【分析】（Ⅰ）推导出，，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量能求出二面角的大小．（Ⅲ）设，，利用向量法能求出线段上存在点，且时，使得与平面所成角的正弦值为．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）因为在梯形中，，，为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，（1分）因为线段与交于点，所以为线段的中点，所以中，，（3分）因为平面，平面，所以平面．（4分）解：（Ⅱ）因为平行四边形中，，所以四边形是菱形，，垂足为，所以，，因为平面，平面，所以是二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以，即．可以如图建立空间直角坐标系，其中，0，，（6分）因为在图1菱形中，，所以，．所以，2，，，0，，，0，．所以，，2，．（7分）设，，为平面的法向量，因为，取，得，0，，平面的法向量为，0，，（8分）所以，（9分）由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．    （10分）（Ⅲ）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，（11分）设，，因为，，，，所以．   （12分）因为，（13分）由，解得．所以线段上存在点，且时，使得与平面所成角的正弦值为．（14分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．20．【分析】（Ⅰ）由焦点坐标可求值，根据，，的平方关系可求得值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得；（Ⅲ）当直线不存在斜率时可得，；当直线斜率存在（显然时，设直线方程为，与椭圆方程联立消可得的方程，根据韦达定理可用表示，，可转化为关于，的式子，进而变为关于的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：因为为椭圆的焦点，所以，又，所以，所以椭圆方程为；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，所以直线方程为，和椭圆方程联立得到，消掉，得到，所以△，，，所以；（Ⅲ）当直线无斜率时，直线方程为，此时，，，面积相等，，当直线斜率存在（显然时，设直线方程为，设，，，，和椭圆方程联立得到，消掉得，显然△，方程有根，且，，此时，时等号成立）所以的最大值为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．21．【分析】（Ⅰ）由题意可得关于，，的方程组，求得与的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线方程为且，直线方程为，通过联立直线与椭圆方程组，求出坐标，坐标，推出，即可证明为等腰三角形．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，椭圆方程为；（Ⅱ）证明：设直线方程为且，直线方程为，由，解得点，．由，得，则，，．即，，所以．于是直线的方程为，直线的方程为．由，解得，．于是，轴．设中点为，则点的纵坐标为．故中点在定直线上．由上可知点在的垂直平分线上，，为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．