2023北京十七中高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京十七中高二（上）期末数学（教师版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 直线经过两点，那么其斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圆的方程，那么圆心和半径分别为（ ）
A. B.
C. D.
3. 抛物线焦点到其准线的距离是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
4. 双曲线的离心率，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知数列满足，，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
7. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
9. 世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ）
A 880B. 622C. 311D. 220
10. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 已知数列的前n项和，则___________.
12. 若函数，则______；曲线在点处的切线的方程是______．
13. 过抛物线焦点作直线，交抛物线于两点.若线段中点的横坐标为，则等于__________.
14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________.
15. 已知直线与直线，，若，则______；若直线与圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，则______．
16. 如果数列满足(为常数)，那么数列叫做等比差数列，叫做公比差.给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题（共70分）
17 已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，再从①；②；③这三个条件中任选一个作为已知，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点， .
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值；
（3）求点到平面的距离.
19. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）方程有三个不同的实根，求实数的取值范围．
20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；
（3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.
21. 设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
（3）对于给定，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 【答案】B
【解析】
【分析】
由两点的斜率公式可得答案.
【详解】直线经过两点，则
故选：B
2. 【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程，直接求解.
【详解】由圆的标准方程可知，圆心是，半径.
故选：A
3. 【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.
【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.
4. 【答案】C
【解析】
【分析】
由，结合可得解.
【详解】双曲线中，，
又，所以，解得.
故选：C
5. 【答案】A
【解析】
【分析】
推导出,从而得到，即可求出
【详解】由题意得：∵的坐标为，
∴,
∴
∴．
故选：A
【点睛】求直线的方向向量的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)直线的方向向量等于终点坐标减起点坐标．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】
由题中条件，根据递推公式，逐步计算，即可得出结果.
【详解】因为，，所以，，
，，.
故选：A.
7. 【答案】B
【解析】
【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解.
【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；
若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；
所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题.
8. 【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.
【详解】由两圆的标准方程可得，，，；
则，所以两圆不可能内含.
故选：C.
9. 【答案】C
【解析】
【分析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.
【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，
由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，
则，解得：
又，
则与第四个单音的频率最接近的是311,
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.
10. 【答案】B
【解析】
【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.
【详解】函数的导数为，
令，则或，
上单调递减，上单调递增，
所以0或是函数y的极值点，
函数的极值为：，
函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.
故选B.
【点睛】该题考查是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 【答案】.
【解析】
【分析】利用，代入即可求得的值.
【详解】由题意，数列的前n项和，
可得.
故答案为：.
12. 【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】直接由求导公式和法则即可求，计算为切线的斜率，再由点斜式可得解.
【详解】由，得；
则切线的斜率为，
所以切线方程为：，即
故答案为：；.
13. 【答案】7
【解析】
【分析】
根据抛物线的方程即可求出，再根据中点坐标公式即可求出，最后根据抛物线的焦点弦公式即可求出.
【详解】解：，
则，
设，
线段中点的横坐标为，
，
.
故答案为：.
14. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以双曲线的方程为，故可取，
此时，
所以离心率
故答案为：，
15. 【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得的值；
由已知可得圆心到直线的距离是，利用点到直线的距离公式建立方程，求解即可.
【详解】，，，
，解得；
圆，圆心，半径，
因为为直角三角形，故圆心到直线的距离是半径的倍，
即圆心到直线的距离是
由点到直线的距离公式知，解得
故答案为：；
16. 【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④中的四个数列是否是等比差数列，即可得到答案.
【详解】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列，
，不满足等比差数列的定义，故②错误；
③等比数列，满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为，则，
故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故答案为：①③④
三、解答题（共70分）
17. 【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式直接求解；
（2）分别求得数列的通项公式，利用分组求和的方法求解.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为.
由，可得，
解得.
所以
（2）选①：
由，可得，，
所以是等比数列，公比.
所以.
所以
选②：
由，可得，，
所以是等比数列，公比.
所以
所以
.
选③：
由，可得，，
所以是等比数列，公比，
所以.
所以
.
18. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）连结交于，连结，利用中位线定理以及线面平行的判定定理
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；
（3）利用向量法求点到平面的距离即可.
详解】（1）证明：连结交于，连结
因为四边形是矩形，所以为中点
又因为是的中点，所以
因为平面，平面
所以平面
（2）四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系.
所以
设平面的一个法向量为
，即：
设直线与平面所成角为
由，平面的一个法向量为
所以
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设点到平面的距离，则
所以点到平面的距离
【点睛】关键点睛：在求线面角以及点到平面的距离时，关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角以及点到平面的距离.
19. 【答案】（1）
（2）最大值19，最小值是
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，计算f'（﹣1），得到关于a的方程，求出a的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
（3）先作出函数的图像，再观察它和直线的关系得到实数的取值范围.
【小问1详解】

函数在点处的切线的斜率
由题意可知，得
∴函数的解析式为
【小问2详解】
由（1）知，
令，解得
令，解得
令，解得
列表：
从上表可知，，在区间上，
当时，取得最大值19，
当时，取得最小值是.
【小问3详解】
方程有三个不同的实数根，即的图像与直线有三个交点.
由（2）分析可得，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，而，，所以.
20. 【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程；
（2）联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即可求解；
（3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立.
【小问1详解】
解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是，
可得，解得，
因此椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：设，，
联立方程组 ，整理得，
由，解得，
则，
因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则，
可得，即，
代入得，整理得满足，
所以.
【小问3详解】
解：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，，
设，则，所以，则，
因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，
则为中点，所以，
又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为，
则的方程为，
即；
又由直线的斜率为，所以直线的方程为，
由，可得，则，
解得，即，
又因为、分别为、在轴的垂足，
则，，
所以为定值.
21. 【答案】（1）数列具有性质，理由见解析；
（2），；
（3）有限个.
【解析】
【分析】（1）由题意，由性质的定义，即可知是否具有性质.
（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；
（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.
【小问1详解】
由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
【小问2详解】
设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为正整数且，
那么为中的一项．
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
【小问3详解】
同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.
【点睛】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.
0
2
0
0
0
1
19