2023北京通州高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京通州高二（上）期末数学（教师版），共15页。

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知椭圆的焦点分别为，，点P为椭圆上一点，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
2. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列的前5项为1，，，，，则数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知等差数列的通项公式，则数列的首项和公差d分别为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
5. 在等比数列中，，，则数列前5项和为（ ）
A 40B. 80C. 121D. 242
6. 已知圆与y轴相切，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
7. 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点E，F分别是PC，PD的中点，则点C到平面AEF的距离为（ ）
A. B. C. D. 2
9. 已知抛物线与直线相交于A，B两点，则线段AB的长为（ ）
A B. C. D. 5
10. 已知数列满足，数列的前n项和为，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 点到直线的距离为___________．
12. 已知抛物线经过点，则该抛物线的方程为___________；准线方程为___________．
13. 如图，点M为四面体OABC的棱BC的中点，用，，表示，则___________．
14. 已知有穷数列的各项均不相等，将数列的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”．例如，数列，，满足，则其“序数列”为1，3，2．设各项均不相等的数列2，，，5（）为数列Ω．
①若，则数列Ω的“序数列”为___________；
②若数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，则t的取值范围为___________．
15. 已知曲线E的方程为，给出下列四个结论：
①若点是曲线E上的点，则，；
②曲线E关于x轴对称，且关于原点对称；
③曲线E与x轴，y轴共有4个交点；
④曲线E与直线只有1个交点．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知两点，，直线l：．
（1）若直线经过点A，且，求直线的方程；
（2）若圆心为C的圆经过A，B两点，且圆心C在直线l上，求该圆的标准方程．
17. 已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且，求点M的坐标．
18. 在等比数列中，，公比，设．
（1）求的值；
（2）若m是和的等差中项，求m的值；
（3）求数列的前n项和．
19. 如图，在长方体中，，，点E为的中点．
（1）求证：AE⊥平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
20. 已知椭圆C：的焦距为，点在椭圆C上，点B的坐标为，点O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过的直线l交椭圆C于，两点，判断和的大小，并说明理由．
21. 已知等差数列的第2项为4，前6项的和为42，数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）设，求证：．
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的定义求解.
【详解】解：因为椭圆方程为，
所以2a=4，
又因为椭圆的焦点分别为，，点P为椭圆上一点，
所以由椭圆的定义得2a=4，
故选：B
2. 【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．
【详解】由于双曲线为，所以其渐近线方程为.
故选：C.
3. 【答案】A
【解析】
【分析】观察数列的规律，找出合适的通项公式即可；或可将数列的各项代入选项中的通项公式进行验证排除.
【详解】观察数列的各项，容易发现，
分子均为1，分母均与项数相同，
则数列的一个通项公式可以为.
经验证，其他选项均不能满足.
故选：A.
4. 【答案】D
【解析】
【分析】直接计算首项，根据等差数列的定义计算公差d.
【详解】因为等差数列的通项公式，
所以首项，
公差.
故选：D.
5. 【答案】C
【解析】
【分析】先计算等比数列的首项和公比，再代入前n项和公式计算即可.
【详解】因为，
所以公比，首项.
则前n项和,
所以数列的前5项和为.
故选：C.
6. 【答案】C
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解即可.
【详解】因为圆与y轴相切，
所以圆心到直线的距离等于半径
即，
故选：C.
7. 【答案】A
【解析】
【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程；
【详解】设，,，则,．
为线段的中点，
，即，．
又点在圆上，
，即．
故点的轨迹方程为．
故选：A
8. 【答案】B
【解析】
【分析】易证平面AEF，得到PF为点P到平面AEF的距离，再根据E是PC的中点，得到点C与点P到平面AEF的距离相等求解.
【详解】解：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，
所以，，又，
所以平面PAD，又平面PAD，
所以，
因为点E，F分别是PC，PD的中点，
所以，所以，
又，则，且，
所以平面AEF，
所以PF为点P到平面AEF的距离，
又因为E是PC的中点，
所以点C与点P到平面AEF的距离相等，
即，
所以点C到平面AEF的距离为，
故选：B
9. 【答案】D
【解析】
【分析】将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式即可求解.
【详解】设，，
联立方程组整理可得：，
则有，
由弦长公式可得：，
故选：.
10. 【答案】C
【解析】
【分析】利用裂项相消法求出，将不等式进行等价转化，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以
，
因为对任意恒成立，
也即对任意恒成立，
因为
（当且仅当，也即时等号成立）
所以，
故选：.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 【答案】
【解析】
【分析】代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】设点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得：，
故答案为：.
12. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据抛物线经过点，代入求得p即可.
【详解】解：因为抛物线经过点，
所以，解得，
所以该抛物线的方程为；准线方程为，
故答案为：，
13. 【答案】
【解析】
【分析】由向量的减法可得：，再利用为的中线即可求解.
【详解】连接，所以，
又因为为的中点，所以，
所以，
故答案为：.
14. 【答案】 ①. ，，，. ②.
【解析】
【分析】根据“序数列”定义直接求解即可.
【详解】①因为，所以数列Ω为：，由“序数列”定义可得：
时，数列Ω的“序数列”为，，，.
②因为数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，而数列Ω为2，，，5，
由“序数列”定义可得：，解得：，
所以的取值范围为，
故答案为：，，，；.
15. 【答案】①④
【解析】
【分析】①由，分别得到， 求解判断； ②设点是曲线E上的点，分别得到点关于x轴对称和原点对称的对称点，代入方程验证判断； ③由，分别令，求解判断； ④分和，曲线方程与直线方程联立求解判断.
【详解】①若点是曲线E上的点，由，得，即，
当时，，当时，成立，综上，而，则，故正确；
②设点是曲线E上的点，点关于x轴对称的对称点为，因为，所以曲线E关于x轴对称，点关于原点对称的对称点为，因为，所以曲线E不关于原点对称，故错误；
③由，令，得，解得，曲线E与y轴的交点为 ，令，得 ，解得 ，曲线E与x轴的交点为 ，所以曲线E与x轴，y轴共有3个交点，故错误；
④当时，由，解得，所以曲线E与直线曲线E与直线的交点为；
当时，方程组无解，则曲线E与直线无交点，所以曲线E与直线只有1个交点，故正确，
故答案为：①④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据直线，设直线的方程为：，再利用直线过点，将点的坐标代入即可求出结果；
(2)根据圆的性质可知：圆心必在弦的垂直平分线上，又因为圆心C在直线l上，联立两直线方程求出圆心坐标，再利用圆心到圆上一点的距离等于半径即可求出半径长，进而求得圆的标准方程.
小问1详解】
因为直线，直线l：，
设直线的方程为：，因为直线经过点，
所以，解得：，
所以直线的方程为：.
【小问2详解】
因为，，所以的中点，
则的中垂线方程为：，
由圆的性质可得：圆心在的中垂线上，又因为圆心C在直线l上，
所以联立方程组：，解得：，
圆的半径，
所以所求圆的标准方程为：.
17. 【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】(1)根据题意可知：，结合离心率得到，进而求出即可求解；
(2)结合（1）的结论，求出抛物线方程，利用抛物线的定义即可求解点M的坐标.
【小问1详解】
由题意可知：，则，
又离心率，所以，则，
因为双曲线的顶点在x轴上，也即焦点在x轴上，
所以双曲线方程为.
【小问2详解】
因为抛物线的焦点，
且抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，
所以，则，所以抛物线方程为，
设点，由抛物线的定义可知：，
所以，又因为，所以，
故点的坐标为或.
18. 【答案】（1）4 （2）11
（3）
【解析】
【分析】（1）先求通项公式，再求的值；
（2）先求的通项公式，可得和的值，从而可求m的值；
（3）利用分租求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可.
【小问1详解】
因为等比数列中，，公比，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
又因为，所以和的等差中项；
【小问3详解】
因为，
所以
19. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明一条直线垂直于平面只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算夹角的余弦值.
【小问1详解】
在 中，
；
同理可证 ， 平面 ， 平面 ， ，
平面 ；
【小问2详解】
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系如下图：
则有 ，由（1）的结论可知 是平面 的一个法向量 ，
，
显然 是平面 的一个法向量，
设平面与平面的夹角为 ，则 ；
综上，平面与平面的夹角的余弦值为 .
20. 【答案】（1）
（2），证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于a，b，c的方程组求解，即可得到椭圆的方程；（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程，再联立椭圆C的方程，即可得到关于x的一元二次方程，再根据韦达定理求得，，再根据题意将比较和的大小转化为比较和的大小(为直线的斜率，为直线的斜率)，再用作差法得出与0的符号关系即可得出结论．
【小问1详解】
依题意有，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
小问2详解】
如图，显然直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为，
联立，消y整理得，
则，，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
则比较和的大小，
比较直线的倾斜角的补角和直线的倾斜角的大小，
比较和的大小，
则
，
所以，即．
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
①设出直线方程，设交点为，；
②联立直线与曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
③写出韦达定理；
④将所求问题转化为，（或，）的形式；
⑤代入韦达定理求解．
21. 【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解，
（2）根据前n项和为与的关系即可得，进而可证其为等比数列，即可求解通项，
（3）时，，根据等比求和公式即可证明.
【小问1详解】
设的首项和公差分别为，由题意可知，解得，故
【小问2详解】
由得：当时，，故得，因此
故，因此是等比数列，且公比为，
在取，则，所以的首项为，因此，进而，
【小问3详解】
由得，
当时，，
所以当时，显然成立，
当时，，
故得证.