2023年河南省周口市中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省周口市中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据教育部消息称，届全国普通高校毕业生规模预计达万，同比增加万数据“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某校八年级班名学生自发组织献爱心捐款活动班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了如图所示的统计图不完整根据图中提供的信息，捐款金额的众数是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

6.  如图，四边形为矩形，对角线与交于点，以下说法不一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  定义运算：对任意实数，，总有例如：则方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根

8.  如图所示的是张背面相同的卡片，卡片正面画有常见的生活现象，现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的概率是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在四边形中，顶点，分别在轴，轴上，，，，，轴，交轴于点将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点沿从点匀速运动到点设点的运动时间为，，图是点运动时随变化的函数关系图象，则图中最低点的纵坐标的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

12.  请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：______．

13.  如图，，，若，则的度数为______ ．

14.  如图，在半径为的扇形中，，为的中点，过点作交于点，连接，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点，把矩形沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交射线于点，交于点，当恰好运动到的三等分点处时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：；
化简：．

17.  本小题分
为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校对学生进行了相关知识测试，政教处随机从八、九两个年级各抽取名学生的测试成绩满分分进行统计分析，过程如下：
【收集数据】
八年级：

九年级：

【整理数据】

【分析数据】

【应用数据】
根据该表填空： ______ ， ______ ， ______ ；
若该校八、九年级各有学生人，估计该校八、九两个年级学生在本次竞赛中成绩在分及以上的共有多少人？
你认为哪个年级的学生对禁毒知识掌握的总体水平较好，请说明理由．

18.  本小题分
“参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且上，上根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．

19.  本小题分
党的二十大报告在总结新时代伟大变革时强调，十年来，我们经历了对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事，其中之一就是完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标为了振兴乡村经济，脱贫致富，某市为定点帮扶乡免费提供一种优质草莓及栽培技术，鼓励广大农户种植草莓，并将这些草莓精加工成，两种饮料进行销售某经销商购进，两种草莓饮料，种草莓饮料进价为元箱；种草莓饮料的进货总金额单位：元与种草莓饮料进货量单位：箱之间的关系如图所示已知，两种草莓饮料的售价分别为元箱和元箱．
求出和时，与之间的函数关系式；
若该经销商购进，两种草莓饮料共箱，并能全部售出其中种草莓饮料的进货量不低于箱，且不高于箱，求销售完，两种草莓饮料所获总利润的最大值．

20.  本小题分
如图，某市民政局欲给敬老院修建一个半径为米的圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点处安一个喷水头，测得喷水头距地面的高度为，水柱在距喷水头水平距离处达到最高建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
求抛物线的表达式；
请你通过计算说明喷出的水柱是否会落到圆形喷水池的外面．

21.  本小题分
如图，在中，，，，为边上一点，，以
为直径作，与相交于点，过点作的切线交于点．
判断的形状，并说明理由；
求的长．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
在直线的右侧，反比例函数图象上存在一点，使得的面积为，请直接写出点的坐标．

23.  本小题分

请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
初步探究
如图，在四边形中，，，，于点，连接，
．
的度数为______ ．
求长．
拓展运用
如图，在平行四边形中，是边上一点，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线过点作交于点，过点作于点，为射线上一动点，连接，，若，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、不能合并同类项；
B、根据积的乘方法则计算；
C、根据同底数幂的除法法则计算；
D、根据平方差公式计算．
本题考查平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法，掌握这几种法则的应用是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：捐款元的人数为，
出现的次数最多，出现了次，
捐款金额的众数是元．
故选：．
先求出捐款元的人数，再根据众数的定义即可得出答案．
此题考查了众数，熟练掌握众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
故选：．
由矩形的性质可得，，，即可求解．
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程转化为，
方程化为一般式为，
，
方程无实数根．
故选：．
先根据新定义得到，再方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，从而得到方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：将四种生活现象分别记作、、、，列表如下：

由表知共有种等可能结果，其中这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的有种结果，
所以这两张卡片正面恰好都是化学变化图案的概率为，
故选：．
将四种生活现象分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是根据题意利用表格或树状图列举出所有等可能结果，并从中找到符合条件的结果数．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，，轴，
，
，
，
将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；

发现规律：旋转次一个循环，
，
则第次旋转结束时，点的坐标为．
故选：．
首先求得的长度，即可求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型，点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，

四边形为菱形，
点在上，，
垂直平分，
，，
，
当、、三点共线时，的最小值为
在中，，，
，，
，
，，
，，
∽，
，即，
，
，
∽，
，即，
，
，，
，即，
在中，，
的最小值为，即．
故选：．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，由菱形的性质可知，点与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的最小值为，在中，解直角三角形可得，，于是，，易证∽，∽，由相似三角形的性质分别求出和，易知，则为直角三角形．再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查动点函数问题、两点之间线段最短、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，正确理解题意，学会利用模型思想解决问题是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：图象在第二、四象限，
，
故答案为：．
根据反比例函数的性质可得，写一个的反比例函数即可．
此题主要考查了反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
．
故答案为：．
依据题意，利用，可得，从而；借助，可得，再代入即可得解．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握并灵活运用解题是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
，为的中点，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
解直角三角形求得，根据平行线的性质得到，然后利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查了平行线的性质，扇形面积的计算，求得是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时．
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，．
为的中点，
，
．
由折叠与对应，
，
，，
，即．
又，
∽，
，
解得，
．
当时，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，．
为的中点，
，
．
由折叠与对应，

，，
，即．
又，
∽，
，
解得，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：当时．过点作于点，则四边形为矩形；当时，过点作于点，则四边形为矩形，根据矩形的性质得再由折叠的性质可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是翻折变换折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

16.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为；
原式：

． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算及解一元一次不等式组，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：由题意知，，
将九年级成绩重新排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中位数．
故答案为：，，；

该校八、九两个年级学生在本次竞赛中成绩在分及以上的共有人．
故估计该校八、九两个年级学生在本次竞赛中成绩在分及以上的共有人；

九年级的学生对禁毒知识掌握的总体水平较好，理由如下：
九年级的平均数、众数和中位数均大八年级的平均数、众数和中位数，
九年级的学生对禁毒知识掌握的总体水平较好答案不唯一，合理即可．
根据已知数据及中位数的概念求解可得；
利用样本估计总体思想求解可得；
答案不唯一，合理均可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得，，
∽，
，即，
，
，，
∽，
，即，
解得，
答：“二将军柏”的高度约为米． 

【解析】从实际问题中抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列比例式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．
 

19.【答案】解：当时，设，
根据题意，得，
解得，
，
当时，设，
根据题意，得
解得，
，
．
设购进种草莓箱，则购进种草莓饮料箱，
由题意得：
，
，，
当时，的最大值为元，
销售完，两种草莓饮料所获总利润的最大值为元． 

【解析】当时，设，把代入求出即可；当时，设，代入，两点坐标求出，即可．
设购进种草莓箱，则购进种草莓饮料箱，列出关于的一次函数关系式，求出最大值即可．
本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理清题意，正确找出等量与不等关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
则，，
抛物线的表达式为，
将代入上式得，
 ，
解得，，
抛物线的表达式为．
当时，，
解得，，舍去，
，
喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面． 

【解析】由顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入，求出即可．
当时，求出的值，与半径米进行比较即可得到结果．
本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
 

21.【答案】解：为等腰三角形，理由如下：
连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形．
过点作于点，
在中，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
：． 

【解析】由是的切线，得到，因此，又，得到由，得到，因此，即可证明问题；
过点作于点，由等腰三角形的性质求出的长，由锐角的余弦即可求出的长，即可解决问题．
本题考查切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，综合应用以上知识点是解题的关键．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象过，两点，
，
解得，
，，
，
反比例函数的表达式为，
，是一次函数的图象上的点，
，
解得
一次函数的表达式为；
点的坐标为或，
如图，在轴上取一点，使得的面积为．

过点作，则．
，
当时，．
当时，，
，，
设点，则，，
，即，
解得，
点．
设直线的表达式为．
，
解得，
直线的表达式为．
由，解得，
点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
在轴上取一点，使得的面积为，根据的面积为，求得的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：延长到点，使，连接，，

则，
是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
；
解：，，，
，，
于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，

设，则，，
，
，
解得，
；
或；
过点作于点．
四边形是平行四边形，
，
，
由作图可知，平分，
，
，
，
，
，
；
分两种情况：如图，当点在线段上时，过点作于，

，
则为的中点，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，
如图，当点在延长线上时，过作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，

在中，，
，，
，
在中，，
，
综上的值为或．
证延长到点，使，连接，，求得 根据直角三角形的性质得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到结论；
根据三角形的内角和定理得到，，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到结论；
如图，过点作于点，设，则，，根据，列方程得到，解方程即可得到结论；
过点作于点根据平行四边形的性质得到，求得，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到分两种情况：如图，当点在线段上时，过点作于，求得如图，当点在延长线上时，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，基本作图，正确地作出辅助线是解题的关键．