2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学质检试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学质检试卷（4月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 23的相反数为( )
A. −23B. 32C. −32D. ±23
2. 中国空间站“天宫一号”运行在距离地球平均高度约375000米处，数375000用科学记数法表示是( )
A. 1.375×103B. 37.5×104C. 3.75×105D. 0.375×106
3. 如图，直线l1//l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1=60°，则∠2为( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥
5. 平面直角坐标系中，若点A(−1,a)与点B(b,3)关于x轴对称，则点C(a,b)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( )
A. 80°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
7. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧交于点P，作射线CP交AB于点D，已知BD=3，AC=8，则△ACD的面积为( )
A. 12B. 24C. 16D. 8
8. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为A(m,0)，00；②4a+c>0；③若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；④当此抛物线经过点(12,2)时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1，x2(x1A. ①②③B. ②③C. ③④D. ②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算：|−3|−(12)0=______．
10. 试写出一个x值使得二次根式 x−4有意义：x= ______ ．
11. 为了促进“双减”政策有效落实，市教育局对启智中学八年级学生的课外作业时长进行了问卷调查，50名学生的作业时长统计如下表，这组作业时长数据中，中位数是______ ．
12. 已知x1，x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两个实数根，则x1+x2+3x1x2= ______ ．
13. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，AB=2 2，现有半径足够大的扇形OEF，∠EOF=90°，当扇形OEF绕点O转动时，扇形OEF和正方形ABCD重叠部分的面积为______ ．
14. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则CD的长为 米．(结果保留根号)
15. 我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的运算进行了深入研究与总结.类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题.现已知a，b为实数，且a+b=3，ab=1，计算可得：a2+b2=7，a3+b3=18，a4+b4=47，…，由此求得a5+b5= ______ ．
16. 已知平面直角坐标系中两定点C(0,4)，K(6,0)，A为线段OK上一动点.连接AC，取AC，中点为D，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AB，连接BK，当BK取最小值时，B点坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：x+4x2+3x−13x+x2．
18. (本小题8.0分)
“巩固脱贫攻坚成果，拓展乡村振兴教育赛道”，某农民企业家计划为崇礼中学购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
(2)该企业家计划购买甲种词典和乙种词典共300本，总费用不超过16000元，那么最多可购买甲种词典多少本？
19. (本小题8.0分)
学生在体育锻炼中能享受乐趣，增强体质，健全人格，锤炼意志.尚美中学开展了“一人一球”的体育选考活动，学生根据自己的特长选择一门球类项目(A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球)，刘老师组织数学兴趣小组随机对该校部分学生的选考情况进行调查，根据收集到的数据制成了两幅不完整的统计图(如图所示)：

(1)兴趣小组调查的学生人数是______ 人，请将条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中A类所对应的扇形圆心角大小为______ ；
(3)现有4名学生，2人选篮球，1人选足球，1人选排球，兴趣小组要从这4人中任选2人了解他们对体育选考的看法，请用列表或圆树状图的方法求出所选2人都选篮球的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，直线AF与⊙O相切于点A，弦BC//AF，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE并延长交AF于点D．
(1)求证：CE//OA；
(2)若⊙O的半径r=10，BC=16，求DE的长．
21. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−2,3)，点B的横坐标为6．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足k1x+b−k2x>0的x的取值范围；
(3)连接OA，OB，点P在直线AB上，S△AOP=14S△BOP，请直接写出满足题意的P点坐标．
22. (本小题10.0分)
某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价y(元/千克)与采购量x(千克)之间的函数关系如图中折线AB−BC−CD所示(不包括端点A)．
(1)当100(2)若甲种蔬菜的种植成本为4元/千克，采购量不超过200千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
(3)在(2)的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利418元？
23. (本小题11.0分)
如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点E为线段BC上一点，将△DEF绕点E旋转时，线段DE与AB交于点P，线段EF与直线CA交于点Q．

(1)如图①，点Q在线段AC上且BP=CE时，求证：△BPE≌△CEQ；
(2)如图②，点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
(3)如图③，点Q在线段CA的延长线上，若BEBC=13，BP=23a，CQ=83a，求P，Q两点间的距离.(用含a的代数式表示
)
24. (本小题13.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴负半轴交于点C，且OC=4OB，点P是直线AC下方抛物线上一动点．
(1)请直接写出a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，cs∠BAC= ______ ；
(2)过点P作PQ//y轴交直线AC于点Q，求PQ+35AQ的最大值及此时P点的坐标；
(3)若点P横坐标为−32，D为第一象限内抛物线上一点，连接PD交AC于点M，当△ADM与△APM面积之比为409时，求点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：23的相反数为：−23，
故选：A．
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，直接计算即可得到答案；
本题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2.【答案】C
【解析】解：375000=3.75×105，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，即可求得结果．
【解答】
解：∵l1//l2，
∴∠1=∠2，
∵∠1=60°，
∴∠2=60°．
故选：D．
【点评】
本题考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质．
4.【答案】D
【解析】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，
故选：D．
根据几何体的三视图分析解答即可．
此题考查由三视图判断几何体，关键是根据圆锥的三视图解答．
5.【答案】C
【解析】解：∵点A(−1,a)与点B(b,3)关于x轴对称，
∴b=−1，a=−3，
∴C(−3,−1)，
∴点C在第三象限．
故选：C．
根据关于x轴对称的点坐标特点解答即可．
本题考查的是关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=40°，
∵∠ABC的平分线是BD，
∴∠CBD=45°，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°．
故选B．
根据AC是⊙O的直径，∠C=50°，先求得∠BAC=40°，再根据∠ABC的平分线是BD，∠CBD=45°，由圆周角定理得∠CBD=∠CAD，从而得出答案．
本题考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角等于90度、角平分线的定义，要熟练掌握．
7.【答案】A
【解析】解：过点D作DH⊥AC于点H．

∵CP平分∠BCA，DB⊥BC，DH⊥CA，
∴DH=DB=3，
∴S△ACD=12⋅AC⋅DH=12×8×3=12，
故选：A．
过点D作DH⊥AC于点H.利用角平分线的性质定理证明DH=DB=3，再利用三角形面积公式求解．
本题考查作图−基本作图，三角形的面积，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：①∵a>0，抛物线的对称轴为直线x=−1，
即−b2a=−1，
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以①错误；
②∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
而b=2a，
∴3a+c>0，
∵a>0，
∴4a+c>0，所以②正确；
③∵x=−1时，y有最小值，
∴a−b+c≤at2+bt+c(t为任意实数)，
即a−bt≤at2+b，所以③正确；
④∵图象经过点(12,2)时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1，x2(x1∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(12,2)，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为(−52,2)，
即x1=−52，x2=12，
∴x1+2x2=−52+2×12=−32，所以④错误．
故选：B．
利用抛物线的对称轴方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；
利用x=1时得到a+b+c>0，把b=2a代入得到3a+c>0，然后利用a>0可对②进行判断；
利用二次函数当x=−1时有最小值可对③进行判断；
由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(12,2)，利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为(−52,2)，从而得到x1=−52，x2=12，则可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
9.【答案】2
【解析】解：原式=3−1
=2．
故答案为：2．
根据绝对值，零指数幂计算即可．
本题考查了零指数幂，绝对值，掌握a0=1(a≠0)是解题的关键．
10.【答案】5(答案不唯一)
【解析】解：∵二次根式 x−4有意义，
∴x−4≥0，解得：x≥4．
故答案为：5(答案不唯一)．
根据二次根式有意义条件：被开方式大于或等于0，直接计算即可得到答案．
本题考查二次根式有意义条件，熟知二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．
11.【答案】65
【解析】解：∵共有50人，25人作业时间是第60分钟，第26人作业时间是70分钟，
∴中位数是：60+702=65，
故答案为：65．
根据中位数的求法得到50人的中位数是第25、26人的平均数，而第25人作业时间是60分钟，第26人作业时间是70分钟，即可解答．
本题考查了中位数的定义，熟记中位数的定义是解题的关键．
12.【答案】−13
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两个实数根，
∴x1x2=−51=−5，x1+x2=−−21=2，
∴x1+x2+3x1x2=2+3×(−5)=−13．
故答案为：−13．
根据根与系数关系直接求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAG=∠OBH=45°，OA=OB，∠AOB=90°，
由题意得：∠GOH=90°，
∴∠AOG=∠BOH；
在△AOG与△BOH中，
∠AOG=∠BOHOA=OB∠OAG=∠OBH，
∴△AOG≌△BOH(ASA)，
∴扇形OEF和正方形ABCD重叠部分的面积=S△AOB=14S正方形ABCD=14×AB2=14×(2 2)2=2．
故答案为：2．
根据四边形ABCD为正方形，得到∠OAG=∠OBH=45°，OA=OB，∠AOB=90°；推出△AOG≌△BOH，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
14.【答案】(4 3−4)
【解析】
【分析】
在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
【解答】
解：在Rt△CMB中，
∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，
∴CM=MB⋅tan30°=12× 33=4 3米，
在Rt△ADM中，
∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∴MD=AM=4米，
∴CD=CM−DM=(4 3−4)米，
故答案为：(4 3−4)．
15.【答案】123
【解析】解：∵a4+b4=47，a+b=3，
∴(a4+b4)(a+b)=47×3=141，
∴a5+ab4+ba4+b5=141，
∴a5+b5=141−ab4−ba4=141−ab(a3+b3)=141−1×18=123，
故答案为：123．
先根据题意求出(a4+b4)(a+b)=141，进而推出a5+b5=141−ab(a3+b3)，由此代值计算即可．
本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出a5+b5=141−ab(a3+b3)是解题的关键．
16.【答案】(265,85)
【解析】解：设A(x,0)，
则D(x2,2)，B(x+2,x2)，
∴BK= (6−x−2)2+(x2)2= 54x2−8x+16= 54(x−165)2+165，
∴当x=165时，BK有最小值，
此时B(265,85)，
故答案为：(265,85).
设A(x,0)，根据题意得出D点和B点的坐标，利用勾股定理求出BK的式子，根据完全平方公式得出BK最小时的x值，然后得出结论即可．
本题主要考查坐标与图形的变化，完全平方公式等知识，熟练掌握标与图形的变化，完全平方公式等知识是解题的关键．
17.【答案】解：x+4x2+3x−13x+x2
=x+4−1x2+3x
=x+3x(x+3)
=1x．
【解析】先将原分式的分母分解因式，然后相加，再化简即可，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的减法的运算法则．
18.【答案】解：(1)设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：x+2y=1702x+3y=290，
解得：x=70y=50．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
(2)设企业家购买甲种词典m本，则购买乙种词典(300−m)本，
依题意，得：70m+50(300−m)≤16000．
解得：m≤50．
答：企业家最多可购买甲种词典50本．
【解析】(1)设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典(300−m)本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过16000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19.【答案】50 72°
【解析】解：(1)兴趣小组调查的学生人数为：10÷20%=50(人)，
故答案为：50；
选择羽毛球的人数为：50−10−4−16−8=12(人)．
条形统计图补充如下：

(2)扇形统计图中A类所对应的扇形圆心角为360°×20%=72°；
故答案为：72°；
(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选考篮球的有2种，
∴P(所选2人都是选考篮球)=212=16．
(1)将A组频数除以A类所占百分比即可得到答案；
将兴趣小组调查的学生人数减去A、B、C、E类的学生数，得D组学生数，再将条形统计图补充完整即可；
(2)将A类所占百分比乘以360°，即得扇形统计图中A类所对应的扇形圆心角大小；
(3)利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果，从中找出2人都选篮球的结果数，再按照等可能事件概率公式求出概率即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用列表法或树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，熟悉列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∵BC//AF，
∴∠CDF=∠ACE=90°，
∵AF与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AF，
∴∠OAF=90°，
∴∠OAF=∠CDF，
∴CE//OA；
(2)解：作OH⊥CE于点H，

∴CH=EH．
∵OB=OE，
∴OH是△ECB的中位线．
∴OH=12BC=12×16=8，
在Rt△OEH中：
EH= OE2−OH2= 102−82=6，
∵OH⊥CE，
∴∠OHD=∠CDA=∠OAD=90°，
∴四边形OADH是矩形，
∴DH=OA=10，
∴DE=DH−EH=4．
【解析】(1)根据平行线的性质和切线的性质定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理、三角形中位线定理和矩形的判定与性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理、三角形中位线定理，矩形的判定与性质，平行线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象相交于A(−2,3)，
∴−2k1+b=3，3=k2−2，
∴k2=−2×3=−6，3=−2k1+b①，
∴反比例函数的解析式为y=−6x，
∵点B的横坐标为6，
∴点B(6,−1)，
∴−1=6k1+b②，
①−②得：k1=−12，
∴b=2，
∴一次函数的解析式为y=−12x+2；
(2)由图象可得：
当x<−2或00，
此时一次函数图象在反比例函数图象的上方；
(3)设直线y=−12x+2与y轴交于点C，当x=0时，y=2，即C(0,2)，
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×6=8，S△AOC=12×2×2=2，
分两种情况：
①如图1，当点P在线段AB上时，

∵S△AOP=14S△BOP，
∴S△AOP=15×8=85，S△POC=2−85=25，
∴12×2×|xP|=25，
∴xP=−25，
∴点P的坐标为(−25,115)；
②如图2，当点P在线段BA的延长线上时，

∵S△AOP=14S△BOP，
∴S△AOP=13×8=83，S△POC=2+83=143，
∴12×2×|xP|=143，
∴xP=−143，
∴点P的坐标为(−143,133)；
综上所述，点P的坐标为(−25,115)或(−143,133)．
【解析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，得到点B的坐标，将A点，B点坐标代入一次函数解析式即可解答；
(2)利用函数图象可直接解答；
(3)根据S△AOP=14S△BOP，即可点P的坐标，再根据一次函数的解析式即可解答．
本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象交点问题，熟练运用图象上点的坐标满足的图象是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设当100把B(100,8)，C(200,6)代入函数关系式得：100k+b=8200k+b=6，
解得k=−150b=10，
∴y与x之间的函数解析式为：y=−150x+10(100(2)设当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0∴当x=100时，W有最大值400元，
当100∵400<450,−150<0，
∴当x=150时，W有最大值为450元，
综上所述，当采购甲种蔬菜150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为450元；
(3)由400<418<450，根据(2)可得，−150(x−150)2+450=418，
解得：x1=110，x2=190，
∴采购甲种蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获利418元．
【解析】(1)设当100(2)设当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，分别求得当0(3)由400<418<450，根据(2)可得，−150(x−150)2+450=418，解方程即可求解．
本题考查了一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形．
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC．
∵BP=CE，
∴△BPE≌△CEQ(AAS)．
(2)证明：∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
(3)解：由(2)得△BPE∽△CEQ，
∴BPCE=BECQ，
∴23a2BE=BE83a，
解得：BE=2 23a，
∴BC=2 2a，
∴AB=AC= 22BC=2a，
∴AQ=CQ−AC=83a−2a=23a，AP=AB−BP=2a−23a=43a，
在Rt△APQ中，PQ= AQ2+AP2= (23a)2+(43a)2=2 53a．
∴P，Q两点间的距离为2 53a.
【解析】(1)根据三角形外角的性质得∠BEP=∠EQC.再根据AAS即可证明结论；
(2)由(1)同理得，∠BEP=∠EQC，根据两个角相等即可证明△BPE∽△CEQ；
(3)由(2)知△BPE∽△CEQ，可得BE、BC的长，进而表示出AP和AQ的长，利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
24.【答案】43 83 −4 35
【解析】解：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x−1)，
∵OC=4OB=4，
∴c=−4，
又∵y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，
∴−3a=−4，
解得：a=43，
∴抛物线的解析式为：y=43x2+83x−4，
∵OA=3，OC=4，
∴AC= OA2+OC2= 32+42=5，
∴cs∠BAC=35；
故答案为：43，83，−4，35；
(2)过点Q作QH⊥x轴于点H，则AH=35AQ，

设直线AC的解析式为：y=mx+n，
代入得−3m+n=0n=−4，
解得：m=−43n=−4，
∴y=−43x−4，
设点P(x,43x2+83x−4)，则点Q(x,−43x−4)，
则PQ+35AQ=PQ+AH=−43x−4−(43x2+83x−4)+x+3=−43x2−3x+3=−43(x+98)2+7516
∵−43<0，
∴PQ+35AQ有最大值．
∴当x=−98时，PQ+35AQ的最大值为7516，此时点P(−98,−8516)；
(3)分别过点D，P作DG，PF平行于y轴交直线AC于点G、F，

∵xP=−32，
∴P(−32,−5)，xF=−32，F(−32,−2)，PF=3，
又S△ADMS△APM=DMPM=DGPF=409，
∴DG=403，
设xD=x0，则xG=x0，，G(x0,−43x0−4)，
∴DG=43x02+83x0−4+43x0+4=43x02+4x0=403，
解得x0=−5(舍)或x0=2，即D(2,203)，
∵D(2,203)，P(−32,−5)，
则DP的解析式为：y=103x，
联立两直线方程y=−43x−4y=103，
则x=−67y=−207，
∴M(−67,−207)．
综上，点M的坐标为(−67,−207).
(1)先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后解直角三角形求出余弦值即可；
(2)过点Q作QH⊥x轴于点H，根据(1)可知AH=35AQ，然后求出直线AC的解析式，设点P(x,43x2+83x−4)，则点Q(x,−43x−4)，表示PQ+35AQ的函数求最大值即可解题；
(3)分别过点D，P作DG，PF平行于y轴交直线AC于点G、F，根据相似三角形的性质求出DG=403，设xD=x0，则xG=x0，D(x0,43x02+83x0−4)，G(x0,−43x0−4)，即可求出D(2,203)，进而得到直线DP的解析式，然后解方程组求出点M的坐标．
本题考查待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，相似三角形，勾股定理，二次函数图象的性质，综合性强，难度大，掌握待定系数法是解题的关键．
作业时长(单位：分钟)
50
60
70
80
人数(单位：人)
14
11
10
15