2023年湖北省黄石市大冶市东岳中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年湖北省黄石市大冶市东岳中学中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法正确的是( )
A. 倒数等于它本身的数只有1B. 平方等于它本身的数只有1
C. 立方等于它本身的数只有1D. 正数的绝对值是它本身
2. 下列图形是轴对称图形的是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 三角形D. 四边形
3. 用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列计算正确的是( )
A. 6a+2b=8abB. a4⋅a2=a8C. 4a3b÷ab=4a2D. (ab2)4=a4b6
5. 函数y=2x+2自变量x的取值范围是( )
A. x≠2B. x≠−2C. x>−2D. x>2
6. 某学习小组的6名同学在第一次数学测试中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、90分，则下列结论正确的是( )
A. 中位数是90分B. 众数是94分C. 平均数是91分D. 极差是20
7. 如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(−2,4)，AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是( )
A. (4,3)
B. (4,4)
C. (5,3)
D. (5,4)
8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=8 3，D是AC的中点，则BD的长度的最大值是( )
A. 8 3
B. 4 13
C. 4 7+4
D. 8
9. 如图，用尺规作图作∠BAC的平分线AD，第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；第二步是分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD，那么AD为所作，则说明∠CAD=∠BAD的依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
10. 四位同学在研究二次函数y=ax2+bx−6(a≠0)时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；乙同学发现当x=3时，y=−6；丙同学发现函数的最小值为−8；丁同学发现x=3是一元二次方程ax2+bx−6=0(a≠0)的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若a、b互为倒数，c、d互为相反数，e是最小的正整数，则3−ab+ c+d−e+1= ______ ．
12. 分解因式x3y−16xy的结果为______．
13. 近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐，截止2019年12月底，华为5G手机全球总发货量突破6 900 000台，将6 900 000用科学记数法表示为______ ．
14. 解分式方程1x−1−2=31−x，去分母得______．
15. 永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD=30°，在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是 米．( 2≈1.4, 3≈1.7，结果保留整数
)
16. 先将函数y=kx+1(k≠0)的图象向下平移2个单位长度，再将函数y=3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则 2k−3b= ______ ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB=30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y=kx(k≠0)的图象上，若在y=kx的图象上另有一点M使得∠MOC=30°，则点M的坐标为______ ．
18. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连接B′C，作△B′EC关于B′C对称的△B′E′C，连接DB′，DE′.当△DB′E′是等腰三角形时，BF的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2a−1)⋅a2−aa2−6a+9，其中a=6．
20. (本小题8.0分)
如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
(1)猜想△DOP是______ 三角形；
(2)请将猜想到的结论进行证明．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的方程mx2+(m−1)x−1=0(m为常数)．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
(2)若该方程有两个实数根x1、x2，求x1+x2+x1x2的值．
22. (本小题8.0分)
某中学组织七、八、九年级学生参加“州庆60年，梦想红河”作文比赛．该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息完成以下问题．
(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是______度，并补全条形统计图；
(2)经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，把七年级特等奖作文被选登在校刊上的事件记为A，其它年级特等奖作文被选登在校刊上的事件分别记为B，C，D.请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
23. (本小题8.0分)
某商场销售的篮球和足球的进货价格分别是每个40元，50元．商场销售5个篮球和1个足球，可获利80元；销售6个篮球和3个足球，可获利150元．
(1)求该商场篮球和足球的销售价格分别是多少？
(2)商场准备用不多于2300元的资金购进篮球和足球共50个，问最少需要购进篮球多少个？
24. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离公式为：d=|Ax0+By0+C| A2+B2，例如，求点P(1,3)到直线4x+3y−3=0的距离．
解：由直线4x+3y−3=0知：A=4，B=3，C=−3，
所以P(1,3)到直线4x+3y−3=0的距离为：d=|4×1+3×3−3| 42+32=2．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)求点P1(1,−1)到直线3x−4y−6=0的距离；
(2)已知：⊙C是以点C(2,1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=−34x+2b相切，求实数b的值；
(3)如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=4，请求出△ABP面积的最大值和最小值．
25. (本小题8.0分)
如图，△ADB与△BCD均为等边三角形，延长AD到E，使∠AEC=90°，AD=5，动点M从点B出发，沿BD方向运动，移动速度为1个单位/秒，同时，点N由点D向点C运动，移动速度为2个单位/秒，其中一个到终点，都停止运动，连接AM，CM，MN，NE，设运动时间为t(0≤t≤2.5)．
(1)t为何值时，MN//BC；
(2)连接BN，t为何值时，B、N、E三点共线；
(3)设四边形AMNE的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使N在∠CMD的角平分线上，若存在，求出t近似值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、倒数等于它本身的数有1和−1，错误；
B、平方等于它本身的数有1和0，错误；
C、立方等于它本身的数有1和−1和0，错误；
D、正数的绝对值是它本身，正确．
故选D．
根据倒数，平方，立方，绝对值的概念．
此题主要考查了倒数，平方，立方，绝对值的概念，对这些概念性的知识学生要牢固掌握．
2.【答案】A
【解析】解：等腰三角形是轴对称图形，它的底边上的高所在直线就是它的对称轴，
直角三角形、三角形和四边形均不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，
故选A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形.根据俯视图的定义解答即可．
【解答】
解：如图所示的立体图形的俯视图为．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：A、6a与2b不能合并，故A不符合题意；
B、a4⋅a2=a6，故B不符合题意；
C、4a3b÷ab=4a2，故C符合题意；
D、(ab2)4=a4b8，故D不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，整式的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，得
x+2≠0，
解得x≠−2．
故选：B．
根据分母不为零函数有意义，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式x+2≠0是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、这组数据按从小到大排列为：80分、90分、90分、94分、94分、98分，所以这组数据的中位数为92分，所以A选项错误；
B、这组数据的众数是90分和94分，所以B选项错误；
C、这组数据的平均分：16(94+98+90+94+80+90)=91(分)，所以C选项正确；
D、极差是98−80=18，所以D选项错误．
故选：C．
直接根据平均数、中位数、众数以及极差的计算公式对各选项进行判断．
此题考查了平均数、中位数、众数和极差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
7.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．
∵A(1,0)，B(−2,4)，
∴OA=1，BE=4，OE=2，AE=3，
∵∠AEB=∠AFC=∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠B=∠CAF，
∵AB=AC，
∴△BEA≌△AFC(AAS)，
∴CF=AE=3，AF=BE=4，OF=1+4=5，
∴C(5,3)，
故选：C．
如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F.利用全等三角形的性质求出AF，CF即可解决问题．
本题考查坐标与图形的变化−旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：延长CB到E，使BE=BC，作OH⊥BC于H，连接AE，OB，OC，

∵D是AC的中点，
∴BD是△CAE的中位线，
∴BD=12AE，
当AE长最大时，BD长最大，当AE过圆心O时，AE长最大，
∵OB=OC，OH⊥BC，
∴∠BOH=12∠BOC，BH=12BC=4 3，
∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠BOH=∠BAC=60°，
∵tan∠BOH=BHOB，
∴OB=BHsin60∘=8，
∵∠OBH=30°，
∴OH=12OB=4，
∵EH=EB+BH=8 3+4 3=12 3，
∴OE= OH2+EH2= 42+(12 3)2=8 7，
∴AE=OE+AO=8 7+8，
∴BD=12AE=4 7+4，
∴BD的长度的最大值是4 7+4，
故选：C．
延长CB到E，使BE=BC，作OH⊥BC于H，连接AE，OB，OC，当AE长最大时，BD长最大，当AE过圆心O时，AE长最大，由圆周角定理，锐角的正弦求出OB长，OH的长，由勾股定理求出OE长，得到AE长，由三角形中位线定理即可得到答案．
本题考查求线段长的最大值，关键是延长CB到E使BE=BC，连接AE构造△ACE的中位线，当AE过圆心O时，即可求得BD长的最大值．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、作一个角的平分线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
【解答】
解：根据作图过程可知：
AF=AE，DF=DE，
又AD=AD，
∴△FAD≌△EAD(SSS)，
∴∠CAD=∠BAD．
故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：当甲同学的结论正确，
即当函数的对称轴是直线x=1时，−b2a=1，
即b=−2a；
当乙同学的结论正确，
即当x=3时，y=−6时，9a+3b−6=−6，
可得b=−3a；
当丙同学的结论正确，
即当函数的最小值为−8时，4ac−b24a=−24a−b24a=−8，
可得b2=8a；
当丁同学的结论正确，
即当x=3时，一元二次方程ax2+bx−6=0(a≠0)的一个根时，9a+3b−6=0，
可得b=2−3a；
根据b=−3a和b=2−3a不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立b=−2a和b=−3a，
得a=0，b=0，不满足a≠0，
故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立b=−2a和b=2−3a，
得a=2，b=−4，此时满足b2=8a，
故假设成立；
故选：B．
分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立．
本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，e是最小的正整数，
∴ab=1，c+d=0，e=1，
∴3−ab+ c+d−e+1
=3−1+ 0−1+1
=−1+0−1+1
=−1．
故答案为：−1．
根据已知条件得出a、b；c、d关系，求出e的值，代入即可．
本题考查了倒数、相反数、正整数、立方根，算术平方根的相关概念，熟练掌握相关概念是解题关键．
12.【答案】xy(x+4)(x−4)
【解析】解：原式=xy(x2−16)
=xy(x+4)(x−4)，
故答案为：xy(x+4)(x−4)．
先提公因式xy，再用平方差公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟记a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
13.【答案】6.9×106
【解析】解：将6 900000用科学记数法表示是6.9×106．
故答案为：6.9×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】1−2(x−1)=−3
【解析】解：解分式方程1x−1−2=31−x，
去分母得：1−2(x−1)=−3，
故答案为：1−2(x−1)=−3．
按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
15.【答案】70
【解析】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD=45°，
∴∠CDB=90°，∠CBD=∠DCB=45°，
∴BD=CD，设BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴AD= 3CD，
∴52+x= 3x，
∴x=52 3−1=26( 3+1)≈70(m)，
故答案为70，
首先证明BD=CD，设BD=CD=x，在Rt△ACD中，由∠A=30°，推出AD= 3CD，由此构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于常考题型．
16.【答案】2 3
【解析】解：将函数y=kx+1(k≠0)的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y=kx−1，
将函数y=3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y=3x+b+1，
∵平移后的两个函数的图象重合，
∴k=3，b+1=−1，
∴b=−2，
∴ 2k−3b= 6+6=2 3，
故答案为：2 3．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则即可求得k、b的值，代入计算即可．
本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17.【答案】( 3,1)
【解析】解：作AE⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则AE=1，
∵∠AOB=30°，
∴OE= 3AE= 3，
∴点A坐标为(− 3,1)
∵将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，
∴点A的对应点C为(1, 3)，
∵点C在函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k1= 3，即k=1× 3= 3，
∴y= 3x，
∵∠COD=∠AOB=30°，∠MOC=30°，
∴∠DOM=60°，
∴∠MOF=30°，
∴OF= 3MF，
设MF=n，则OF= 3n，
∴M点坐标为( 3n,n)，
∵点M在函数y= 3x的图象上，
∴ 3 3n=n，
∴n=1或−1(舍去)，
∴M点坐标为( 3,1)．
故答案为( 3,1)．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，以及旋转中的坐标变化．
作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE=1，解直角三角形求得OE= 3，即可求得C的坐标，即可求反比例函数的解析式，进一步表示出M点坐标( 3n,n)，代入解析式即可求得结果．
18.【答案】2或2 3
【解析】解：∵边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，
∴BE=EC=2，
由折叠和对称可知：B′E=BE=EC=E′C=2，
∴四边形B′E′CE是菱形，
∴点B′在以点E为圆心，2为半径的圆上运动，
当点D，B′，E共线时，DB′最短，
最小值为 22+42−2=2 5−2，
∴B′D>2，
∴当△DB′E′是等腰三角形时，分两种情况讨论，
①当DE′=B′E′=2时，
∵CE′=2，
∴点E′在CD边上，
如图1，此时BF=2；

②当DB′=DE′时，如图2，

∵四边形B′E′CE是菱形，
∴B′E′//EC，
∴B′E′⊥CD，
∴CD垂直平分B′E′，
∴B′C=CE′，
∴△B′CE′是等边三角形，
∴∠B′EC=∠B′E′C=60°，
∴∠BEB′=120°，
∴∠BEF=60°，
∴BF= 3BE=2 3．
∴当△DB′E′是等腰三角形时，BF的长为2或2 3．
故答案为：2或2 3．
当△DB′E′是等腰三角形时，分两种情况讨论，①当DE′=B′E′时，②当DB′=DE′时，分别画图求解即可．
本题考查了翻折变换，菱形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，轴对称的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
19.【答案】解：根据题意，得：
(1−2a−1)⋅a2−aa2−6a+9=a−3a−1⋅a(a−1)(a−3)2=aa−3，
将a=6代入，
原式=66−3=2．
【解析】首先根据分式的性质，进行通分，然后利用平方差公式和完全平方差公式进行转化，最后化简，代入即可得解．
此题主要考查分式的性质、平方差公式以及完全平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题．
20.【答案】等腰
【解析】(1)解：△DOP是等腰三角形，
故答案为：等腰；
(2)证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP，
∵DN//EM，
∴∠DPO=∠BOP，
∴∠DOP=∠DPO，
∴OD=PD，
∴△DOP是等腰三角形．
猜想△DOP是等腰三角形，根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明．
本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理．
21.【答案】(1)证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为−x−1=0，
∴x=−1，
∴方程有实数根；
②当m≠0，Δ=(m−1)2−4m(−1)=m2−2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0，
∴方程恒有实数根；
因此，不论m为何值，该方程总有实数根；
(2)解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=−m−1m，x1⋅x2=−1m，
∴x1+x2+x1x2=−m−1m−1m=−1．
【解析】(1)分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x−1=0求出方程的解x=1；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式Δ=(m+1)2得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
(2)由根与系数的关系得出“x1+x2=m+3，x1⋅x2=m−4”，整体代入即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)分类讨论；(2)结合根与系数的关系找出x1+x2=−m−1m，x1⋅x2=−1m.本题属于基础题，难度不大．
22.【答案】(1)126;
(2)列表如下：
由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的有6种结果，
∴七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率为12．
【解析】
解：(1)20÷20%=100，
九年级参赛作文篇数对应的圆心角=360°×35100=126°；
八年级人数为：100−20−35=45，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：126；
(2)见答案．
【分析】(1)求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，即可补全统计图；
(2)列表求解即可得出答案．
本题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
23.【答案】解：(1)设该商场篮球的售价为x元，足球的售价为y元，
依题意，得：5(x−40)+(y−50)=806(x−40)+3(y−50)=150，
解得：x=50y=80，
答：该商场篮球的售价为50元，足球的售价为80元；
(2)设购进篮球m个，则购进足球(50−m)个，
依题意，得：40m+50(50−m)≤2300，
解得：m≥20．
答：最少需要购进篮球20个．
【解析】(1)设该商场篮球的售价为x元，足球的售价为y元，根据“商场销售5个篮球和1个足球，可获利80元；销售6个篮球和3个足球，可获利150元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进篮球m个，则购进足球(50−m)个，根据总价=单价×数量结合总价不多于2300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)3x−4y−6=0，其中A=3，B=−4，C=−6，
∴d=|Ax0+By0+C| A2+B2，P1(1,−1)，
∴d=|3+4−6| 32+(−4)2=15，
∴点P1(1,−1)到直线3x−4y−6=0的距离为15；
(2)解：直线y=−34x+2b整理，得3x+4y−8b=0，
故A=3，B=4，C=−4b．
∵⊙C与直线相切，
∴点C到直线的距离等于半径，
即|3×2+4×1−8b| 32+42=1，
整理得|10−8b|=5，
解得b=58或b=158；
(3)解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在3x+4y+5=0中，A=3，B=4，C=5，
∴圆心C(2,1)到直线AB的距离CD=|3×2+4×1+5| 32+42=3，
∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3+1=4，
最小距离为3−1=2，
∵AB=4，
∴S△ABP的最大值为12×4×4=8，
最小值为12×4×2=4．
【解析】(1)直接利用距离公式代入计算即可得到答案；
(2)把直线y=−34x+2b整理，得3x+4y−8b=0，利用公式列方程求解即可；
(3)先求圆心C(2,1)到直线AB的距离，判断出P到AB的最大距离与最短距离可得答案．
本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为Ax+By+C=0的形式，学会构建方程解决问题，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值．
25.【答案】解：(1)∵△ADB与△BCD均为等边三角形，AD=5，
∴BD=DC=AD=5，
∴BM=t，DN=2t，
∵MN//BC；
∴∠NMD=∠DBC=60°=∠MDN，
∴△MDN为等边三角形，
∴DM=DN，即5−t=2t，
解得t=53；
∴当t=53秒；MN//BC；
(2)如图1中，当B，N，E共线时，

∵BC//DE，
∴DNCN=DECB，
∵∠AEC=90°，
∴∠ECB=90°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCB=30°，
∴DE=12CD=52，
∴2t5−2t=525，
∴t=56；
(3)如图2中，连接AC交BD于点O，过点N作NJ⊥BD于点J，NK⊥DE于点K．

∵△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OD=OB=52，AO=OC=5 32，
∵∠NJD=∠NKD=90°，∠NDJ=∠NDK=60°，
∴NJ=NK=DN⋅sin60°= 3t，
∴S=S△AMD+S△DNM+S△DNE=12×(5−t)×5 32+12×(5−t)× 3t+12×52× 3t=− 32t2+5 32t+25 34(0≤t≤2.5)；
(4)如图3中，过点N作NP⊥BD于点P，NQ⊥CM于点Q．

∵∠NMC=∠NMD，
∴NQ=NP，
∴S△MNCS△MND=12⋅CM⋅NQ12⋅DM⋅NP=CNDN，
∴CMDM=CNDN，
∴ (52−t)2+( 32t)25−t=5−2t2t，
整理得，8t3=5(3t−5)2，
两函数的交点y=8t3y=5(3t−5)2，
列表得：
Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t−5)2在0∴t≈1.15时，两函数值相等，
∴是存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【解析】(1)根据MN//BC；证明△MDN为等边三角形，得出DM=DN，即5−t=2t，解方程即可；
(2)先利用平行线分线段成比例求出DN的长，再由M，N两点的运动关系求出t；
(3)将四边形分成三个三角形△AMD，△MND，△DNE，分别以t表示三个三角形的面积，即可得解；
(4)动点问题与角平分线结合，由△MND与△MNC的面积比得到关于t的关系式，求解方程即可．
本题考查等边三角形性质，平行线判定，三点共线，对顶角，三角形相似，三角形面积函数，勾股定理，角平分线定理，列表法函数式图形，利用列表求方程的解是解题关键．
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
AB
BC
BD
C
AC
BC
CD
D
AD
BD
CD
t
0
1234
1
1.145
Y=8t3
0
4
8
12.009
t
1
1.15
1.24
53
Y=5(3t−5)2
20
12.0125
8.19
0