2023年吉林省长春市九台区中考数学调研试卷（含解析）

2023年吉林省长春市九台区中考数学调研试卷

1.  若有意义，则a的值不可以是(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 202

2.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯
B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定下雨

3.  如图，E是▱ABCD的边DA的延长线上的一点，连接CE，交边AB于点若，则与的周长之比为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，已知，现将A点绕原点O逆时针旋转得到，则的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端.已知登高梯的长度AC为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度AB为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.  已知，点，都在函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示实线部分若直线与新函数的图象有3个公共点，则b的值是(    )

A. 0 B.  C.  D.

9.  最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______ .

10.  如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为，则点的坐标是______ .

11.  若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______ .

12.  如图，在的方格中，两条线段的夹角锐角为，则______ .

13.  如图，在中，D，E分别是边AC，BC的中点，连接BD，DE，若的面积为16，则的面积是______.

14.  如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线的顶点为E，且经过点A、若为等腰直角三角形，则a的值是______.

15.  计算：

16.  解方程：

17.  如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子、、在不看的情况下，小明从左端A、B、C三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端、、三个绳头中随机选一个绳头，用画树状图或列表的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．

18.  如图，在中，D为AC边上一点，，，，求AD的长.

19.  图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图保留作图痕迹
在图①中作的中线
在图②中作的高
在图③中作的角平分线
 

20.  如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．

21.  如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，其中AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知，为用眼舒适，经市场调研小组多次试验发现，当AB，BC转动到，时，人们的感受最为舒适，求此时点C到AE的距离．结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，

22.  下面是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.
如图②，直角三角形ABC纸片中，，点D是AB边上的中点，连结CD，将沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有若，那么______ .
如图③，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，G是CE的中点，若，，则______ .

23.  如图，在中，，，点P从点A出发，沿线段AB以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动.当点P不与点A、点B重合时，过点P作，其中点Q在AB上方，，以AQ、AP为邻边作▱设点P运动的时间为秒
边AB的长为______ ；点C到边AB的距离为______ .
当点F落在边BC上时，求t的值.
设线段QF与边BC交于点M，线段PF与边BC交于点N，当时，求AP的长.
连结CP，沿直线CP将▱APFQ剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出t的值.

24.  在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点
此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______.
求此二次函数的关系式．
当时，求二次函数的最大值和最小值．
点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时，m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：根据题意得：
，
选项中只有A选项不满足
故选：
根据二次根式有意义的条件得出，再逐个判断即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】C 

【解析】解：A、经过有信号灯的十字路口，遇见红灯，是随机事件，不符合题意；
B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃，是随机事件，不符合题意；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
D、明天一定下雨，是随机事件，不符合题意；
故选：
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】A 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
故选：
由四边形ABCD是平行四边形，得，则，可推导出，由，得∽，则
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明∽是解题的关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为：
故选：
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

5.【答案】A 

【解析】解：将A点绕原点O逆时针旋转得到，
即将点绕原点O逆时针旋转得到，如图，
所以，，
所以点的坐标是
故选：
将A点绕原点O逆时针旋转得到，相当于将点绕原点O逆时针旋转得到，如图，然后根据旋转的性质得，，从而得到点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，
 

6.【答案】A 

【解析】解：由题意可得，
，米，，
，
米，
故选：
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以计算出书架第七层顶端离地面的高度
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】D 

【解析】解：，
，
，
抛物线开口向上，对称轴为y轴，
时，y随x增大而增大，
，
故选：
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

8.【答案】C 

【解析】解：原二次函数，
顶点，
翻折后点C对应的点为，
当直线与新函数的图象有3个公共点，直线过点D，
此时

故选：
由图可知，当与新函数有3个交点时，过新函数的顶点D，求出点D的坐标，其纵坐标即为所求．
此题主要考查了翻折的性质，抛物线的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
简二次根式与二次根式是同类二次根式，
，
解得
故答案为：
把化为最简形式，再根据同类二次根式的定义解答即可．
本题考查的是同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

10.【答案】 

【解析】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，
而点B的坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为
故答案为
利用以原点为位似中心的位似图形上对应点的坐标变换规律，把B点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
整理得：
故答案是：
由题意可得，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解答的关键是熟记根的判定式．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点C作，连接DE，

，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：
由勾股定理的逆定理可得，可得，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
 

13.【答案】4 

【解析】解：是边AC的中点，
，
是边BC的中点，
，
故答案为：
根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可．
本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点为E，且经过点A、B，
抛物线的对称轴是直线，且A、B关于直线对称，
过E作轴于F，交AB于D，
为等腰直角三角形，
，
，，
四边形OABC是正方形，
，，
，，
把A、E的坐标代入得：
，
解得：，
故答案为：
过E作轴于F，交AB于D，求出E、A的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
本题考查了二次函数的性质和图象，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等知识点，能求出A、E的坐标是解此题的关键，注意：顶点式，顶点坐标是，对称轴是
 

15.【答案】解：


 

【解析】先计算二次根式、零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

16.【答案】解：




， 

【解析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
 

17.【答案】解：列表得：

由表可知共有9种等可能结果，其中选中的两个绳头恰好是同一根绳子的有3种结果，
小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率为 

【解析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两个绳头恰好是同一根绳子的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：，，
∽，
，
即，
，
 

【解析】由，，可证明∽，由此可得，代入可求得CD，即可得到
本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明出∽是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图①中，线段BD即为所求；
如图②中，线段BE即为所求；
如图③中，线段BF即为所求．
 

【解析】利用网格特征作出AC的中点D，连接BD即可；
取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求；
取格点W，连接BW交AC于点F，线段BF即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中线，角平分线，高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：设AB为x米，则BC为米，
，
解得：，，
当时，
不合题意，舍去，
当时，

答：AB的长为8米，BC的长为12米． 

【解析】设AB为x米，然后表示出BC的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点B作，过点C作，垂足分别为M、N，过点C作，垂足为D，

则，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点C到AE的距离约为 

【解析】过点B作，过点C作，垂足分别为M、N，过点C作，垂足为D，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，再求出的度数，从而求出的度数，再在中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而求出DM的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】证明：延长CD到E，使，连接AE，BE，
则，
是斜边AB上的中线，
，
四边形ACBE是平行四边形，
，
平行四边形ACBE是矩形，
，
；
解：如图2中，设CE交AB于点

，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，

故答案为：；
解：如图3中，连接

，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：
如图1中，延长CD到E，使，连接AE，BE，证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；
如图2中，设CE交AB于点证明，求出CO，证明，可得结论；
连接DE，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，利用勾股定理求出CG，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题．
 

23.【答案】25 12 

【解析】解：，，，
；
如图，过点C作于H，

，
，
；
故答案为：25；
当点F落在边BC上时，如图，过点F作于G，

由题意得：，
四边形APFQ是平行四边形，
，，，，
，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如图，过点N作于K，

，，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
，
故AP的长为；
沿直线CP将▱APFQ剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
必定经过QF的中点或AQ的中点，
①当CP经过QF的中点L时，如图，过点C作于H，延长QF交CH于G，延长AQ交CP于R，

是QF的中点，
，
，
，
，
≌，
此时沿直线CP将▱APFQ剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
，，
，即，
，
，，，，
，
，
四边形PQGH是矩形，
，，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得：；
②当CP经过AQ的中点S时，如图，过点C作于H，交AQ于M，

由①知：，，，，，
是AQ的中点，
，
，，
∽，
，即，
，，
，，
，
∽，
，即，
解得：；
综上所述，t的值为或
由勾股定理可得，如图，过点C作于H，利用，即可求得答案；
如图，过点F作于G，先证明≌，可得，再利用等腰三角形的判定和性质得出，得出，即可求得答案；
如图，过点N作于K，由∽，可得，求得，，利用等腰三角形性质可得，，再由∽，可得，即，求得，即可得出答案；
分两种情况：①当CP经过QF的中点L时，②当CP经过AQ的中点S时，分别利用相似三角形的判定和性质即可．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．
 

24.【答案】2 

【解析】解：在中，令得，
二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
故答案为：2；
将和代入得：
，解得，
二次函数的关系式为；
，
抛物线顶点为：，对称轴为直线，
，且，
当时，二次函数在时取得最大值，最大值是，
而，
时，二次函数在时取得最小值，最小值是，
当时，二次函数最大值是，最小值是，
，
当时，，PQ的长度随m的增大而减小，
当时，，PQ的长度随m增大而增大，
满足题意，解得，
①P到对称轴直线的距离为，当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点，如图：

，
解得，
，
②如图：

时，，
在中，令得，
解得或，
当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点．
综上所述，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点，m的范围是或
令得，即可得答案；
用待定系数法即可得答案；
求出抛物线顶点为：，对称轴为直线，由，计算顶点坐标及时的函数值，即可得答案；
，由PQ的长度随m的增大而减小，得，①P到对称轴直线的距离为，当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点，故，即得，②时，，在中，令得或，故当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、线段与抛物线的交点等知识，解题的关键是根据题意，列出不等式，数形结合解决问题．