题型九 二次函数综合题 类型十 二次函数与矩形有关的问题（专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型九 二次函数综合题

类型十 二次函数与矩形有关的问题（专题训练）

1.（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．

（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；

2.（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当，连接，求的面积；

（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．

3.（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：

（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；

（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．

4.（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考：若点、，则线段的中点的坐标为．

5.（2021·黑龙江中考真题）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；

（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

6.（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数yx2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．

（1）若点A的横坐标为8．

①用含m的代数式表示M的坐标；

②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

7．（2020·广西大化?初三学业考试）如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点.过点作轴，交抛物线于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；

（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.