题型十一 综合探究题 类型四 与旋转有关的探究题（专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型十一 综合探究题

类型四 与旋转有关的探究题（专题训练）

1.(2022·重庆市B卷)在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
如图，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
如图，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
如图，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
 

2.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．

（1）证明：；

（2）如图2，连接，，交于点．

①证明：在点的运动过程中，总有；

②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？

3.（2021·四川中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．

（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________；

（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．

①在图2中补全图形；

②探究与的数量关系，并证明；

（3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明．

4.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形

[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长．

[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并加以证明．

5.（2021·浙江中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．

（1）当时，

①求证：；

②连结，若，求的值；

（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．

6.（2020·山东中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．

（1）当∠CAB＝45°时．

①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　   　．线段BE与线段CF的数量关系是　   　；

②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．

（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．

7.（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．

(1)如图①，连接BG、CF，求的值；

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；

(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．

8.（2020•内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．

（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；

（2）若APAC，求CE：BC的值；

（3）求证：PF＝EQ．

9.（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；

②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．

（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．

①求证：AG⊥CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．