精品解析：重庆市第八中学校高三下学期高考适应性月考(五)数学试题

重庆市第八中学高考适应性月考卷（五）

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.

【详解】，且，

所以.

故选：C

2. 若， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据求出，进而求出，代入所求式子化简即可.

【详解】解：因为，所以，所以，

故.

故选：D

3 已知向量满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】把平方转化为数量积的运算可得.

【详解】向量满足，可得，可得，所以，

故选：A

4. 某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为，则该种胶囊的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设圆柱高为，左、右两端半球形半径为，其表面积为S，胶囊的体积为，由圆柱侧面积和球的表面积公式列出等式，用表示出，然后由圆柱与球体积公式求得并代入已知可得．

【详解】设圆柱高为，左、右两端半球形半径为，其表面积为S，胶囊的体积为，依题意，

，故，将代入可得，

故选：A

5. “锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1， 2， 3， 4， 5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出抽一次获奖的概率，设5人中获奖人数为，则，然后由二项分布的概率公式计算概率．

【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，设5人中获奖人数为，则，

所以，

故选：C.

6. 若方程在上的解为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用整体思想将看作一个整体及三角函数的对称性即可求解.

【详解】由得，由可知

，故，所以，

故选：A.

7. 已知函数， 若， ，，则大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再利用不等式，，放缩不等式，利用单调性，即可比较大小.

【详解】为偶函数，则.又当时，

，，则在上单调递减，

，∴在上单调递减，

设，，当，，单调递减，

当，，单调递增，所以当时，取得最小值，，所以，时，等号成立，

所以，

设，（），

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值，，则，时，等号成立，

所以，

∴，∴，

故选：B

8. 如图甲，在等腰直角三角形中，，，分别为两直角边上的点，且，沿直线折叠，得到四棱锥，如图乙，则四棱锥体积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由体积公式得平面与平面垂直时，四棱锥体积最大，设，用表示出体积，然后由导数求得最大值．

【详解】如图1，分别是中点，则共线且，如图2，在折叠的过程中，当平面与平面垂直时，由面面垂直的性质定理得平面，当平面与平面不垂直时，是点到平面的一个斜线段，因此到平面的距离小于，所以四棱锥体积最大时，平面与平面垂直时，由面面垂直的性质定理得平面，

设长为，则,，，，

则四棱锥体积为，

由，易得时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，即在处取到最大值，，

故选：B.

【点睛】结论点睛：由点到平面的距离的定义知平面外任一点到平面的距离是到平面上任一点距离的最小值．在把折起时，由于到直线的距离为定值，因此当平面与平面垂直时，到平面的距离最大，从而相应棱锥体积最大．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ）

A. 直线与为异面直线

B. 正方体过点，的截面为三角形

C. 直线垂直平面

D. 平面平行于平面

【答案】AD

【解析】

【分析】根据异面直线的定义，判断A；

根据平面的公里，以及结合图形，即可求截面，判断B；

根据线面垂直的定义，判断C；

根据面面平行的判断定理，判断D.

【详解】A .由异面直线的定义可知，直线与为异面直线，故A正确；

B.因为点是的中点，所以点在平面,，所以点在平面,所以截面为平行四边形，故B错误；

C．连结，因为,所以四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与也不垂直，由B可知，直线不垂直于平面故C错误；

D.因为，平面，平面,所以平面，同理平面,且，平面，平面，所以平面平行于平面，故D正确.

故选:AD

10. 若函数，则存在（其中，且），使下列式子对任意的恒成立的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先将赋值，利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断AB；

根据对称性判断CD.

【详解】，当时，，则在上单调递增，又，

∴，∴A正确；此时，，则，

∴，∴B正确；

由，则

当时C式子成立，∴C正确；

若任意满足，则函数关于点对称，但是的唯一对称中心为，∴D错误，

故选：ABC

11. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，直线交双曲线于两点，点为上一动点记直线的斜率分别为， 若，且到的渐近线的距离为，则下列说法正确的是（    ）

A. 双曲线的离心率为

B. 过右焦点的直线与双曲线相交两点，线段长度的最小值为4

C. 若的角平分线与轴交点为，则

D. 若双曲线在处的切线与两渐近线交于两点，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先由已知条件求得双曲线方程为，求出离心率判断A，由双曲线的性质求得最小值判断B，利用角平分线定理求得，计算三角形面积判断C，设，由导数求得切线方程后，求出点坐标，计算三角形面积判断D．

【详解】由题意知，

设，，则，

，，相减整理得，

，

，故，双曲线的方程为，

对于A：，故，选项A正确；

对于B：因实轴长，故选项B错误；

对于C：记，，，，，由角平分线定理得：，又，所以，于是，所以，，故选项C正确；

对于D：设，，，，

时，，，，

切线方程为，整理得,

同理时，，，，，

切线方程为，整理得,

时，或，切线方程为或，切线方程也可表示为,

所以过的切线方程为，与渐近线联立解得，故；与渐近线联立，解得，

于是，故选项D正确，

故选：ACD

12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则下列选项正确的是（    ）

A.

B. 方程有5个不同的根

C 若有解，则

D. 若无实数解，则可以取

【答案】BD

【解析】

【分析】构造函数，根据题意得到为奇函数且周期，画出图象.对于A：利用周期和奇函数可判断；对于BCD:结合图象可判断.

【详解】令，因为和都为奇函数，则为奇函数，即为其对称中心，

且由，

知：，即，

则关于点对称，所以，

所以的周期为，

又时，，最大值，

则的图象如下：

对于A：，

∴，A错误；

对于B：方程的根等价于与的交点，

结合图像，由，则当时，共5个交点；

当时，，没有交点，所以共5个交点，B正确；

对于C：若有解，则，C错误；

对于D：若无实数解，则，D正确.

故选：BD

【点睛】关键点睛：

这道题的关键是构造函数，结合题意得到的性质画出的图象，数形结合即可求解.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知的展开式中含项的系数为120，则______.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式可分别求得含项，再相加，从而可解.

【详解】因为的通项公式为，

所以的展开式中含项为.

因为的通项公式为，

所以的展开式中含项为.

则的展开式中含项为

，得

故答案为：-1

14. 已知圆关于直线对称，圆，请写出一条与圆都相切的直线方程：_____________. (写一条即可)

【答案】(或或，答案不唯一，写一条即可)

【解析】

【分析】根据圆与直线对称求得，进而判断两圆外切，从而确定公切线有三条.根据直线与圆相切的几何条件建立方程从而可解.

【详解】因为圆关于直线对称，

故圆心在直线上，得，解得，

故圆，圆心半径

而圆的圆心，半径

所以两圆的圆心距为

所以两圆外切，公切线有三条.

显然公切线的斜率存在，设方程为，

于是有：

两式相除得：或，

当时，得，

代入可解得或；

当时，，

代入可解得，

所以三条公切线方程分别为：

，.

故答案为：(或或，答案不唯一，写一条即可)

15. 已知函数，， 若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数______.

【答案】1

【解析】

【分析】设公共点为，由求得和，可用消元法消去，然后引入新函数利用导数得函数的单调性，由单调性确定方程有唯一解，从而得解，再求得值．

【详解】，，

设公共点为，则，即，消得

，

令，

∴在上单调递增，又，∴，．.

故答案为：1.

16. 焦点在轴上的椭圆（）， 点是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，若 ，过原点的直线交椭圆于两点，则的值为___________.

【答案】6

【解析】

【分析】取线段的中点，根据可得，由是的内切圆的圆心，所以分别为的角平分线，根据角平分线性质及可得中三边的比例关系，再根据椭圆的定义即可得离心率，再根据，即可得，根据椭圆的对称性可知，即可得的值.

【详解】解：设内切圆半径为，取线段的中点，

因为，即，

所以，则三点共线，

因为是的内切圆的圆心，

所以分别为的角平分线，

所以，即，

故，

又有，所以，由椭圆对称性有，

所以.

故答案为：6

四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 记三个内角分别为，其对边分别为，且满足，其中依次成等比数列.

（1）求；

（2）已知的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换公式求解；

(2)利用三角形面积和余弦定理求解.

【小问1详解】

∵，，

∴，

∴，

∴，

因为，∴.

【小问2详解】

由（1）得，，则，

,

∴，又∵成等比数列，∴，

由余弦定理，得，

，∴，

所求周长为.

18. 已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足

（1）求数列，的通项公式;

（2）若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.

【答案】（1），   

（2）4090

【解析】

【分析】（1）首先建立等差数列的基本量的方程组，求数列的通项公式，再利用数列的和求数列的通项公式；

（2）根据通项公式，确定前2023项有多少个2以及含有数列的多少项，再求和.

【小问1详解】

设等差数列的首项为，公差为，

由题意，，所以

  ①

当时，②，

①-②可得，，

当时，适合，

所以

【小问2详解】

因为，所以在数列中，从项开始到项为止，

共有项数为，

当时，；

当时，，

所以数列前2023项是项之后还有2023-1034=989项为2，

所求和为.

19. 电信诈骗是指犯罪分子通过电话，网络和短信方式，设置骗局，编造虚假信息，从而谋取被害人钱财的犯罪行为，随着“”时代的全面来临，电信诈骗迅速地发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向学生群体.为保护同学们的自身安全，重庆八中开展了为期一周的“争做反诈小能手”知识竞赛.从参赛同学中随机抽取72名高三学生，其中各班数量如下：

（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求与的线性回归方程; （结果保留最简分数）

（2）已知全校参加本次知识竞赛的学生的分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“ 反诈小能手”；若，则该同学被评为“反诈小天才”.

（i）试判断分数为87分的同学能被评为“反诈小能手”吗?

（ii）若全校共有30名同学被评为“反诈小天才”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数，（ 四舍五人后取整）

参考公式：线性回归方程于中，

参考数据：， 若，则， ，.

【答案】（1）   

（2）（i）该同学能被评为“反诈小能手”；（ii）1319人

【解析】

【分析】（1）由已知数据求得系数得回归方程；

（2）（i）由正态公布得，比较87与与的关系可得；（ii）由正态分布的对称性求得反诈小能手的概率，然后可得样本容量．

【小问1详解】

，

,

,

所以线性回归方程为；

【小问2详解】

（i），那么75<87<90，则该同学能被评为“反诈小能手“

（ii）设全校参与本次竞赛的人数为，

反诈小天才概率为

，

则，解得，

参与本次知识竞赛的学生人数约为1319人.

20. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与圆的圆心重合，为上一动点，点. 若的最小值为2.

（1）求抛物线的标准方程;

（2）过焦点的直线与抛物线和圆自上而下依次交于四点，且满足， 求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用数形结合，求的最小值，即可求抛物线方程；

（2）利用数形结合，将条件转化为，再利用焦半径公式，并联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，即可求解.

【小问1详解】

由题意知抛物线标准方程为，

∵，∴在 抛物线开口内，

过点作准线垂线交于，则，

当三点共线时，最小，

∴，即，

所以抛物线的方程为.

【小问2详解】

根据题意，可得，∵，

∴，化简得，

设，由焦半径公式可得，，，

代入上式得，

设直线的方程为，若，则，不满足上式；

由联立，整理得：，恒成立，

则，

所以

∴，

解得

所以直线的方程为，即.

21. 如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.

（1）证明：平面平面；

（2）若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明平面，即可证明；

（2）首先建立空间直角坐标系，利用向量公式求点的坐标，并分别求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：∵平面平面，且平面平面，，且平面，

∴平面，平面，∴，

∵，

∵平面，平面，

∴平面，

∵平面，∴平面平面；

【小问2详解】

因为，过点作垂直于平面，

以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，

所以

设，，，

，，

因为异面直线与所成30°角，

，

，

由题意知，平面的一个法向量为，，

设平面的一个法向量为，则，

所以，

所以，

平面和平面夹角的余弦值为.

22. 已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，证明：

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，并设，讨论函数的对称轴和最小值，从而判断函数的单调性.

（2）根据（1）的结果，可知，，并且由韦达定理得到，，并将不等式整理为，再利用换元，并构造函数，利用导数判断单调性，即可证明.

小问1详解】

，令，

注意到，对称轴，故，

（i）当时，即，此时在上单调递增，即，

从而，即在上单调递增；

（ii）当时，，

若，即时 ，恒成立，

从而，即在上单调递增；

若，即时，

存在有，

其中，，

从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增；

综上可知，当时，函数在上单调递增，当时，函数在和单调递增，在上单调递减.

【小问2详解】

证明：由（1）可知，要使有两个极值点，则，

此时满足，，

不妨设，此时有，

从而原不等式转化为：

将及代入有：

，

化简即得：，即证，

由，可得，令，

设，则，

故在上单调递增，，

故原不等式成立

【点睛】关键点睛：本题考查讨论函数单调性和双变量，证明不等式问题，本题第二问的关键是利用韦达定理，得及，从而代入不等式，进行消元，转化为，才可构造函数，进行证明.