精品解析：广东省珠海市高一下学期期末数学试题（A组）

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珠海市第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题一､单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用集合的交集运算进行求解.【详解】因为，所以.故选：C.2. 不等式的解集是（    ）A.  B.  C.  D. ，或【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；故选：C3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法直接求出z.【详解】因为，所以.故选：A4. 下列函数最小正周期为的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质计算可得；【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；对于B：的最小正周期，故B正确；对于C：的最小正周期，故C错误；对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B5. 下列选项正确的是（    ）A.  B. C.  D. 且【答案】C【解析】【分析】利用对数函数单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，所以当时，，当时，，故D错误.故选：C.6. 一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】依题意正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，利用勾股定理求出直径，再根据体积公式计算可得；【详解】解：因为正方体的棱长为，所以其体对角线为，所以外接球的直径即为，即外接球的半径，所以外接球的体积；故选：D7. 正四棱台的上､下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求棱台的斜高，然后利用侧面积公式进行求解.【详解】由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底面边长分别为，腰长为，所以斜高为.所以侧面积为().故选：B.8. 已知平行四边形三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.【详解】由题知，，，，设.则，.因为为平行四边形，所以.由，解得，所以点对应的复数为.故选：D.9. 设是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，且l与所成的角和m与所成的角相等，则【答案】B【解析】【分析】举反例可判断AD；由面面平行的判断可判断B；由线面的位置关系可判断C.【详解】对于A，在如下图正方体中， ，，，但与不垂直，所成角为，故A错误；
 对于B， 若，，则，故B正确；对于C， 若，，则或者，故C错误；对于D，如下图，在正方体中，，且l与所成的角和m与所成的角相等为，但则不平行，故D错误.
 故选：B.10. 端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为（    ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】A【解析】【分析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，内切球的半径为，根据球的体积求出，再根据等体积法求出；【详解】解：要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，设正四面体的棱长为，高为，内切球的半径为，则，解得，如图正四面体中，令为的中点，为底面三角形的中心，则底面所以，即.故选：A二､多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请将符合题目要求的选项填涂在答题卡上，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）11. 设是所在平面内的一点，且，则下列结论不正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】由题设知为中点，数形结合并根据向量加法、数乘的几何意义判断各项的正误即可.【详解】由知：为中点，故，，，B正确，A、D错误；，C错误；故选：ACD12. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为正方形，.点分别为的中点.则在原四棱锥中，下列结论正确的是（    ）A. 平面平面 B. 平面C. 平面 D. 平面平面【答案】ABC【解析】【分析】对于A：利用面面平行的判定定理证明平面平面；对于B：利用线面平行的判定定理证明平面；对于C：利用垂线面直的判定定理证明平面；对于D：由平面平面可判断平面平面不成立.【详解】如图示，在四棱锥中.对于A：分别为的中点，所以.又面ABCD，面ABCD，所以面ABCD，同理：面ABCD.因为面EFGH，面EFGH，,所以平面平面.故A正确；对于B：, 面PAD，面PAD，所以平面.故B正确；对于C：在四棱锥中，底面四边形为正方形，.所以四棱锥为正四棱锥.连接AC,BD交于点O，则面，所以，因四边形为正方形，所以.又PO,BD交于点O，所以平面.故C正确；对于D：因为平面，所以平面平面.所以平面平面不成立.故D错误.故选：ABC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡上.）13. 设是定义在上的奇函数，且，则___________.【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为，所以，所以.故答案为：1.14. 已知点，则___________.【答案】-15.【解析】【分析】直接利用向量的坐标表示，再进行数量积运算即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：-15.15. 水平放置的平行四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示.此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平行四边形的面积为___________.
 【答案】【解析】【分析】根据斜二测法的画图原则求出原平行四边形的边长和高，进而求面积.【详解】由题设，，故原平行四边形中上下底的高，平行四边形，，所以原平行四边形的面积为.故答案为：16. 如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，先求出a=8. 设圆柱的底面圆半径为x,高为h，建立出侧面积的函数，利用二次函数求出最大值.【详解】设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，由该圆锥轴截面的面积为,得,所以a=8,所以该圆锥底面圆半径为4，高为.设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为x,高为h，其中.如下图所示：由可得：，即，所以.所以圆柱冰块的侧面积为.由二次函数的性质可得： 当时，最大.故答案为：四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 已知.（1）若，求实数的值；（2）当时，若与垂直，求实数的值.【答案】（1）-2；    （2）2【解析】【分析】（1）利用向量平行列方程即可求解；（2）先表示出与，利用向量垂直列方程即可求解.【小问1详解】因为，且，所以，解得：.【小问2详解】当时，，所以，.因为与垂直，所以，解得：.18. 已知，其中.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据同角的关系即可求解；（2）根据正弦的和角公式即可求解.【小问1详解】由可得，因为，故，进而【小问2详解】，故；19. 如图，在三棱柱中，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）若侧面为菱形，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质有，根据线面平行的判定证结论；（2）线面垂直的判定有面，根据线面垂直、菱形的性质可得、，最后由线面垂直的判定证结论.【小问1详解】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.【小问2详解】由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.20. 如图，在中，，点在边上，.（1）求的长度； （2）若，求的长度.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出；（2）直接用余弦定理求出.【小问1详解】在中，，.由正弦定理得：，即，解得：.【小问2详解】在中，，，.由余弦定理得：.21. 已知，且与相互垂直.（1）求向量与向量的夹角的大小；（2）求.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）由，结合已知即可求夹角的大小；（2）利用向量数量积的运算律有，即可求模.【小问1详解】由题意，，所以，可得，而，所以.【小问2详解】由，所以.22. 如图，在长方体中，，.求（1）求直线和直线所成的角的大小；（2）求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由于∥，所以为直线和直线所成的角，然后在中求解即可，（2）由于平面，所以为直线与平面所成的角，然后在中求解【小问1详解】在长方体中，，则,因为∥，所以为直线和直线所成的角，在中，，因为为锐角，所以，所以直线和直线所成的角的大小为，【小问2详解】连接，在长方体中，，，则，因平面，所以为直线与平面所成的角，在中，，因为为锐角，所以