精品解析：2023年江苏省连云港市海州区中考一模数学试题（原卷版）

这是一份精品解析：2023年江苏省连云港市海州区中考一模数学试题（原卷版），共34页。
2023年九年级质量调研
数学试卷
注意事项：
1.本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 截止2023年3月，连云港市常住人口约为人．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 有一个正方体原料，挖去一个小正方体，得到如图所示的零件，则这个零件的主视图是(   )

A                           B.                           C.                           D.
5. 如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为( )

A. B. C. D.
6. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，求作一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙两人作法分别如下：

甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.
乙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )
A. 两人皆正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 两人皆错误
8. 如图，在边长为4的正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①；②；③；④四边形的面积为；⑤．其中正确的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 如果零上记作，那么零下记作_____．
10. 若分式有意义，则x的取值范围是________．
11. 一组数据：2，3，4，5，6的中位数为______．
12. 如图，某零件外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径.如果，且量得，则零件的厚度x为_______．

13. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______．
14. 某同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和拋物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为______．
15. 数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．

16. 如图，点、分别在平行四边形的边、上，，点在线段上，，过点作的平行线交边于点，将分成和两部分，将分成和两部分，则______．

三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 解方程：．
20. 某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目
频数（人数）
羽毛球

篮球
a
乒乓球
m
排球
b
足球

频数分布表

请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的______，______；
（2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为______度；
（3）全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？
21. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和1个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里．
（1）现从该箱子里摸出1个小球；该球是白色小球概率为______；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．
22. 甲、乙两人沿环形跑道同时同地出发跑步．如果同向而行，那么经过两人相遇；如果背向而行，那么经过两人相遇．求甲、乙两人的跑步速度．
23. 如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　 　；
②不等式的解集是　 　；
（2）求直线AC的解析式．

24. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

25. 如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

（1）求的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：）
26. 如图，函数图像经过点，．

（1）求、满足的等量关系式；
（2）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．当时，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当时，函数的最大值是______；最小值是______．设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．
27. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．

（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；
（2）如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．
①求证：；
②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
（3） 如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．




2023年九年级质量调研
数学试卷
注意事项：
1.本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接将每个选项直接化简即可．
【详解】A. ，故错误，不符合题意；
B. ，故正确，符合题意；
C. ，故错误，不符合题意；
D. ，故错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查幂的运算，解题关键是掌握以下幂的计算公式：，，，，是整数．
3. 截止2023年3月，连云港市常住人口约为人．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
4. 有一个正方体原料，挖去一个小正方体，得到如图所示的零件，则这个零件的主视图是(   )

A.                           B.                           C.                           D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图．
【详解】该几何体的主视图如下：

故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5. 如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用角平分线性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
【详解】∵AB平分，∠CAB=60，
∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，
∴∠ACE+∠CAD=180，
∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，
∴∠ECB=90-∠ACE=30，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
6. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，然后在求解即可．
【详解】，
．
，
．
AB为直径，
．
在中，
∵，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
7. 如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，求作一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙两人作法分别如下：

甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.
乙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )
A. 两人皆正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 两人皆错误
【答案】A
【解析】
【分析】甲：根据作图可得AB＝BP，利用等边对等角得：∠BAP＝∠APB，由平角的定义可知：∠BPC+∠APB＝180°，根据等量代换可作判断；
乙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），可得∠BAC+∠BPC＝180°，作判断即可．
【详解】解：甲：如图1，∵AB＝BP，

∴∠BAP＝∠APB，
∵∠BPC+∠APB＝180°
∴∠BPC+∠BAP＝180°，
∴甲正确；
乙：如图2，过P作PG⊥AB于G，作PH⊥AC于H，

∵AP平分∠BAC，
∴PG＝PH，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），
∴∠BPG＝∠CPH，
∴∠BPC＝∠GPH，
∵∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴∠BAC+∠GPH＝180°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∴乙正确；
故选A．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质及基本作图．
8. 如图，在边长为4正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①；②；③；④四边形的面积为；⑤．其中正确的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】连接，证明，再利用三角形的外角的性质即可判断①；利用四点共圆证明即可判断②；由正方形的边长为4，则，求出，即可判断③；根据正方形的性质推出，利用相似三角形的性质求得四边形的面积即可判断④；先求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可判断⑤．
【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
，
点是边的中点，则，
，
，，
，
故①正确；
如图，连接．

，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
故②正确；
正方形的边长为4，点是边的中点，
，
，，
，即，
故③正确；
，，
是的中位线，，
，
，
设边上的高为，边上的高为，
，，
，
，
，
根据对称性可知，，
，
故④正确；
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
故⑤错误，
综上所述，正确的有①②③④，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 如果零上记作，那么零下记作_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【详解】解：∵零上记作，
∴零下记作．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
10. 若分式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．
11. 一组数据：2，3，4，5，6的中位数为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：将2，3，4，5，6从小到大排列第3个数为：4，即中位数是4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径.如果，且量得，则零件的厚度x为_______．

【答案】cm
【解析】
【分析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（cm），
∵外径为10cm，
∴，
∴（cm）．
故答案为 cm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
13. 如果关于一元二次方程有两个相等的实数根，那么______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，直接求解即可．
【详解】由题可知：，解得．
故答案为：9
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有两个相等的实数根时，；有两个不相等的实数根时，；无实数根时，．
14. 某同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和拋物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，确定抛物线的最值即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的最大值为，即他能跳过的最大高度为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数的顶点式是解题的关键．
15. 数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．

【答案】1
【解析】
【分析】根据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．
【详解】解：根据图象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
16. 如图，点、分别在平行四边形的边、上，，点在线段上，，过点作的平行线交边于点，将分成和两部分，将分成和两部分，则______．

【答案】
【解析】
【分析】通过全等得到两三角形面积相等，再通过平行证明相似三角形，得到边的数量关系，最后根据数量关系直接求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，过点作的平行线交边于点，
∴,，
∴，，
∴，，
∴设，
则，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查相似三角形，解题关键是相似三角形的面积比为相似比的平方，设未知数后直接求解即可．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】先计算有理数的乘方，立方根，零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，有理数的乘方，立方根，零指数幂，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可．
【详解】解：，
由，得；
由，得；
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【详解】解：去分母（两边都乘以），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把代入．
∴是原方程的根．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．
20. 某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目
频数（人数）
羽毛球

篮球
a
乒乓球
m
排球
b
足球

频数分布表

请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的______，______；
（2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为______度；
（3）全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？
【答案】（1），
（2）
（3）人
【解析】
【分析】（1）先求总人数，再求出每个部分的人数；
（2）求出“排球”人数百分比，再乘即可；
（3）先算出学校总人数，再乘“乒乓球”人数的百分比即可．
【小问1详解】
总人数：（人），
篮球人数：（人），
乒乓球人数：（人），
排球人数：（人）．
故答案为：，；
【小问2详解】
“排球”所在扇形的圆心角为：．
故答案为：
【小问3详解】
全校总人数是（人），
则选择参加乒乓球运动的人数是（人）．
【点睛】此题考查频数分布表和扇形统计图信息关联，解题关键是根据图表求出总人数和每个部分的人数和占比，各部分所在的扇形的圆心角将百分比乘即可．
21. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和1个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里．
（1）现从该箱子里摸出1个小球；该球是白色小球的概率为______；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率的定义求解即可；
（2）先画出树状图，然后将两次摸出的小球颜色恰好不同的所有情况找出后直接求解即可．
【小问1详解】
由题可知，从该箱子里摸出1个小球；该球是白色小球的概率为．
故答案为：
【小问2详解】
画树状图如下：

∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
、、、、、共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．
【点睛】此题考查基本的概率公式及树状图求概率，解题关键是先画出树状图，然后将两次摸出的小球颜色恰好不同的所有情况找出后直接求解即可．
22. 甲、乙两人沿的环形跑道同时同地出发跑步．如果同向而行，那么经过两人相遇；如果背向而行，那么经过两人相遇．求甲、乙两人的跑步速度．
【答案】甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是
【解析】
【分析】设速度快的人的速度是，速度慢的人的速度是，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设速度快的人的速度是，速度慢的人的速度是，
根据题意得：，
解得：，
答：甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．
23. 如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　 　；
②不等式的解集是　 　；
（2）求直线AC的解析式．

【答案】（1）①（2，3）；②2＜x＜4；（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标；②根据题意C的横坐标为4，根据图象即可求得不等式的解集；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的解析式．
【详解】解：（1）①∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，
∴A（2，3）；
②∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2，
∴C的横坐标为4，
∴不等式的解集是2＜x＜4，
故答案为（2，3）；2＜x＜4；
（2）∵A在反比例函数图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例解析式为，
∵C点在反比例函数图象上，
∴yc＝，
∴C（4，），
将A、C代入y＝kx+b有解得，
∴直线AC解析式：．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式、利用函数解不等式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
24. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】
【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD中，

∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线，．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴，
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．
25. 如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

（1）求的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：）
【答案】（1）；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【解析】
【分析】（1）过点B作于点D，作于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE的度数，即可求解；
（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在中，求出AD、BD的长度，证出四边形为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．
【详解】（1）过点B作于点D，作于点E．
由题意得：，，
∵，
∴，
而
∴．
（2）（海里）
在中，，
（海里），
（海里），
在中，，

（海里），
（海里），
∵，，，∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
，
设快艇的速度为v海里/时，则（海里时）
答：快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
26. 如图，函数的图像经过点，．

（1）求、满足的等量关系式；
（2）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．当时，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当时，函数的最大值是______；最小值是______．设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）4；0；或
【解析】
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）由推出，过点作轴交轴于点，可得，根据相似三角形的性质得，求得，即，根据（1）的关系式即可求得、，进而求得抛物线的解析式；
（3）根据抛物线的解析式化为顶点式即可确定顶点坐标，对称轴为直线，根据抛物线的增减性可知时，函数有最小值；分五种情况：①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，②当时，③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，④当时，⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧．
【小问1详解】
解：把，代入，
得，
；
小问2详解】
解：，，，
，，
，
过点作轴交轴于点，

，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
可得，，
抛物线；
【小问3详解】
解：抛物线，
；
抛物线对称轴为直线，，
当时，；
①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，
当时取得最小值，最大值，
令，即，
解得；
②当时，此时，，不合题意，舍去；.
③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时，令，即，
解得：（舍），（舍）；
或者，即（不合题意，舍去）；
④当时，此时，，不合题意，舍去；
⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，
当时，取得最大值，最小值，
令，
解得；
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，最值问题，注意运用分类讨论的思想解决问题．
27. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．

（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；
（2）如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．
①求证：；
②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
（3）如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】（1）C；见解析
（2）①见解析；②；③或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得到，则点是关于点的勾股点；根据勾股定理结合定义得到，据此画图即可；
（2）①根据定义可得，利用菱形的性质和勾股定理可得，即可证明；②利用勾股定理求出，则点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，即可当（点O在）三点共线时，最大，据此求解即可；如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．当点在左侧时，连接．先证明，过点作，求出，，过点作，则四边形为正方形，则，，即可得到；当点在右侧时，同理求解即可．
（3）如图4，在上取点，使，则，先求出，进而证明，得到，则，故当A、E、F共线时，值最小，据此求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，
∴，
∴点是关于点的勾股点；
∵点是关于点的勾股点，
∴
∵，
∴，
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：①∵点是关于点的勾股点，
∴，
∵菱形中，，
∴在中，，
∴；
②∵，，
∴在中，，
∴，
∴点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，
∴当（点O在）三点共线时，最大，最大值为；
③如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．
当点在左侧时，连接．
当时，
∵，
∴，
过点作，
∴点为中点，即，
∴，，
过点作，则四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
当点在右侧时，
可得点与点关于对称，
∴
∴或
【小问3详解】
解：如图4，在上取点，使，则，
∵是关于点的勾股点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当A、E、F共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键