1.2与三角形有关的线段（2）（含pdf版）-2023-2024学年升初二（新八年级）数学假衔接教材（人教版） 试卷

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❊1.2 与三角形有关的线段（2）
考点先知

知 识
考 点
三角形的高线
1.与高线有关的求角度问题
2.等面积法及其应用
三角形的中线
3.中线平分三角形面积
4.中线在周长中的应用
三角形的角平分线
5.与角平分线有关的求角度问题
6.角平分线的性质的应用
7.三角形的内心的应用

题型精析

知识点一 三角形的三线


内容
三角形的高线
1.过一个顶点作垂直于它对边的线段叫做三角形的高线；
2.三角形的三条高线交于一点，我们把该点叫做三角形的垂心；
3.三角形的高线可能在三角形内，可能在三角形上，也可能在三角形外.
三角形的中线
1.连接顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线；
2.三角形的三条中线交于一点，我们把该点叫做三角形的重心；
3.三角形的三条中线都在三角形的内部.
三角形的角平分线
1.三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
2.三角形的三条角平分线线交于一点，我们把该点叫做三角形的内心（即内切圆圆心）；
3.三角形的三条角平分线都在三角形的内部.
题型一 三角形的三线概念辨析

例1

下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条中线必交于一点
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部
D．三角形的高线都在三角形的内部
【分析】根据三角形的高和中线的定义判断即可．
【解答】解：、三角形的三条中线必交于一点，本选项说法正确，符合题意；
、直角三角形有三条高，故本选项说法错误，不符合题意；
、三角形的中线不可能在三角形的外部，故本选项说法错误，不符合题意；
、三角形的高线不一定都在三角形的内部，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
例2

三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【解答】解：三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
此三角形是直角三角形．
故选：．
例3

下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的垂心不一定只有一个
B．三角形的外心一定在三角形的内部
C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D．三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
【答案】D
【分析】根据三角形的垂心、外心、内心、重心的意义及重心的性质判断即可．
【详解】A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误；
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部、内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误；
C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误；
D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是：，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确；
故选：D
变1
下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D．三角形的高，中线和角平分线都有三条
【答案】A
【分析】根据三角形的角平分线、高、中线的定义判断即可．
【详解】A、三角形的三条高的交点在三角形内部、外部或顶点上，本选项说法错误，符合题意；
B、三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；
D、三角形的高，中线和角平分线都有三条，本选项说法正确，不符合题意．
故选：A．
变2
下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；
三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故选：．
知识点二 三角形的高线的应用


内容
三角形的高线的应用
面积与求角度两类题型.
【注意】由于三角形的高线可能在三角形的外部，所以在做一些有关高线的题时，可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，所以，可能会有两个答案.
题型二 三角形高线的应用

类型一 利用高线求角度

例1

已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC是（ ）
A．
B．或
C．或
D．
【答案】B
【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；

②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°，
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．
故选：B．
例2

已知的高与的夹角分别是60°和20°，则的度数是（    ）
A．80°
B．40°
C．60°
D．80°或40°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时．
【详解】解：①当D在线段上时，如图1，；
②当D在线段的延长线上时，如图2，．

故选：D．
变1
已知的高为，，，则的度数是______．
【答案】90°或40°．
【分析】画出图形可知有两种情况：∠BAC＝∠BAD＋∠CAD和∠BAC＝∠BAD−∠CAD．
【详解】：如图：


∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝65°＋25°＝90°；
如图：


∠BAC＝∠BAD−∠CAD＝65°−25°＝40°．
故答案为：90°或40°．
变2
已知中，，过点A作的高，，则______．
【答案】或##或
【分析】根据题意画出，分别讨论三角形为锐角和钝角三角形时的角，根据，可得答案．
【详解】解：

当为锐角三角形时，如上图，；

当为钝角三角形时，如上图，
，，
，
故答案为： 或．
例3

在中，BC=6，BC边上的高AD=4，且BD=2，则的面积为______．
【答案】8或16##16或8
【分析】根据题意得出的长度，再利用三角形面积公式求出的面积即可．
【详解】解：根据题意，分以下两种情况：
①如图：

，，，
，
，
②如图：

，，，
，
，
故答案为：8或16．
变3
在中，AC=16，AC边上的高BD=12，且CD=9，则的面积为______．
【答案】42或150
类型二 高线在面积中的应用

思考
c
h
a
b

如图所示，AB=c，AC=b，BC=a，AD=h，请用两种方法表示△ABC的面积._______=_______；
3
h
5
4

如图所示，请求出BC边上的高h的值.
【总结】用两种方法表示同一个图形面积的方法叫做等面积法.我们常用等面积法求图形的高.
例1

如图在ABC中，AB=AC，点O为边BC上的任一点，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，已知腰长为6，面积为15，则OE+OF=（ ）





A．5
B．7.5
C．9
D．10
【答案】A
【分析】连接AO，过点C作，交AB于点H，根据求出CH，根据，得，，根据和AB=AC进行解答即可得．
【详解】解：如图所示，连接AO，过点C作，交AB于点H，

∴，
，
解得，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
例2

如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）若AB=AC=10，DE=3，DF=5，求；
（2） DE，DF，CG之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．
【答案】(1)40
(2)DE+DF=CG，理由见解析．
【分析】（1）连接AD，根据ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，即可求出答案；
（2）连接AD，根据ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，进行分析证明；
（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即ABC的面积=ABD的面积ACD的面积．
（1）
解：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴

；
（2）
解：DE+DF=CG，理由如下，
连接AD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∵CG⊥AB，
∴，
∴，
∴DE+DF=CG；
变1
如图，中，，P是BC上任意一点，于点E，于点F，若，则值为（　　）

A．1
B．1.2
C．1.5
D．2
【答案】A
【分析】连接，则，依据，，代入计算即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，则，

∵于点E，于点F，
∴，，
又∵，，
∴，
即，
∴，
故选：A．
变2
如图，是的中线，，E，F分别是垂足．已知AB=2AC，求DE与DF的长度之比．

【答案】
【分析】根据三角形面积法进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
例3

如图，已知，，，，，则点C到直线AB的距离等于（    ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等积法求出点到直线的距离即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即点到直线的距离为，故C正确．
故选：C．
例4

如图，在中，于点，于点D，且AB=3，BC=6，CE=5，则AD=______．

【答案】
【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：根据三角形面积公式可得，，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴，
解得．
故答案为：．
例5

已知一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：4：5
B．5：4：3
C．20：15：12
D．10：8：2
【答案】C
【分析】根据同一三角形面积相等解答即可．
【详解】解：∵同一个三角形，面积是相等的，三边之比为3：4：5，最小公倍数为60，
∴这个三角形三边上的高之比为20：15：12．
故选：C．
变3
如图，在△ABC中，，，AB=5，BC=8，AD=4，则CE的长为______．

【答案】
【分析】根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】∵，，
∴，
即，
解得：CE=，
故答案是：
变4
如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的边BC上的高AD与边AB上的高CE的比值是（ ）

A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据面积相等列出比例求解即可．
【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为，
，，
∴，
即：，
∴，
故选：A．

知识点三 三角形的中线的应用


内容

如图所示，E是BC边的中点，且AC>AB. 则：
1.三角形的中线平分三角形的面积；
2.三角形的中线将三角形分为两个周长差为边长差的三角形.
题型三 三角形高线的应用

类型一 中线分三角形周长问题

例1

在中，，边上的中线将分成的两个新三角形的周长差为，与的和为，则的长为______．
【分析】关键三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式、结合题意计算即可．
【解答】解：是的中线，
，
，两个新三角形的周长差为，
，
，
，
，
故答案为：．

例2

已知是的中线，若与的周长分别是17和15，的周长是22，则的长为______．
【分析】根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：与的周长分别是17和15，
，
的周长是22，
，
，
．
故答案为：5．
变1
已知是的中线，点在上，的周长比的周长多2，与的和为12，则的长______．
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式得到，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：是的中线，
，
的周长比的周长多2，
，
则，
解得：，
故答案为：7．

变2
如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，若，则的长为______cm．

【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：是边上的中线，
，
的周长比的周长多，
，
，
，
故答案为：18．
变3
如图，中，，，，是的中线，则的周长比的周长大______．

【分析】根据中线的定义可得，然后求出的周长与的周长的差为，从而得解．
【解答】解：是的中线，
，
的周长的周长，
，，
的周长的周长．
故的周长比的周长大．
故答案为：2．
类型二 中线平分三角形的面积

例1

如图，在中，D、E、F分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）cm2．

A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
【答案】C
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，由点D为BC的中点得到12cm2，由点E为AD的中点得到6cm2，然后由点F为CE的中点得到即可求出答案．
【详解】解：∵点D为BC的中点，
∴=12（cm2），
∵点E为AD的中点，
∴=6（cm2），
∵点F为CE的中点，
∴3（cm2）
故选：C．
例2

如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD的中点，点F是BE的中点，已知△ABC的面积为8，则△AEF的面积为（ ）

A．4
B．2
C．1
D．
【答案】C
【分析】利用同底等高的三角形面积相等即可求解．
【详解】∵点D是BC的中点，点E是AD的中点，点F是BE的中点，
∴BF＝EF＝BE，AE＝DE＝AD，BD＝CD＝BC，
∵S△ABC＝8，
∴S△ABD＝S△ABC＝4，
∴S△ABE＝S△ABD＝2，
∴S△AEF＝S△ABE＝1，
故选：C．
例3

如图，的面积是2，AD是的中线，，，则的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△CDE．
【详解】解：∵△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线，
∴S△ACD＝S△ABC＝1，
∵AF＝AD，
∴DF＝AD，
∴S△CDF＝S△ACD＝×1＝，
∵CE＝EF，
∴CE＝CF
∴S△CDE＝S△CDF＝×＝，
故选：A．
变1
如图，AD为△ABC的中线， BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为60，BD＝5，则△BDE的BD边上的高是（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】根据三角形的中线将三角形面积平分求得，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，△ABC的面积为60，
∴，，
设△BDE的BD边上的高为h，∵BD=5，
则，
解得：h=6，
即△BDE的BD边上的高是6，
故选：D．
变2
如图，在中，，，，，则（　　）

A．10
B．9
C．7
D．8
【答案】B
【分析】根据三角形的高相同时，面积比＝底边的比，由，得出，得出，然后同理得出，，从而算出得数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
变3
如图，在中，已知点，，分别是，，边上的中点，且，则为（ ）

A．1cm2
B．1.5cm2
C．2.5cm2
D．2cm2
【答案】D
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等用△ABC的面积表示出△BDE和△CDE的面积，从而得到△BCE的面积，再次利用等底等高的三角形的面积相等即可得到△BEF的面积与△ABC的面积的关系，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵点D，E分别是BC，AD边上的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝S△ABC＋S△ABC＝S△ABC，
∵F是CE边上的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC＝cm2．
故选：D．
变4
如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BCF的面积为______．

【答案】2cm2##2平方厘米
【分析】因为点F是CE的中点，得到，利用点D是BC上的中点，得到，，进一步得到，根据点E分别是AD上的中点，得到，将代入即可求出．
【详解】解：∵点F分别是BE上的中点，
∴，
∵点D分别是BC上的中点，
∴，，
∴，
∵点E分别是AD上的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴．
故答案为：2cm2
变5
如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC
的面积是（ ）

A．9
B．10
C．11
D．12
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解答】解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，
∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE=12S△ABC，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故选：D．
例4

如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是______．

【答案】
【分析】根据三角形中线的性质可得，从而得到，，然后连接BG，可得，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD为△ABC的中线，AF为△ABE的中线，AG为△ACE的中线，BE为△ABD的中线，CE为△ACD的中线，
∴，
∴，
∴，，
如图，连接BG，

∵G为CE的中线，
∴，
∵点F为BE的中点，
∴，
∴．
故答案为：
变6
如图，△ABC的面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中四边形EDCF的面积等于（ ）

A．50
B．55
C．60
D．65
【分析】连接CE，由△ABC面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，可求出△ABD，△ADC的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出△ABE、△BEC，△AEC的面积，从而得到△ABE与△BEC的高之比为3：4，亦即△AEF与△CEF的高之比，进而得到△CEF的面积，最后求出四边形EDCF的面积．
【解答】解：连接CE，如图．
∵△ABC的面积为280cm2，BD＝3DC，
∴S△ADC＝280×14=70cm2，S△ABD=280×34=210cm2．
又AE＝DE，
∴S△ABE＝S△BDE=12×210=105cm2，
∴S△AEC＝S△DEC=12×70=35．
∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝140，
∴△ABE与△BEC面积比为105：140＝3：4，
∴△ABE与△BEC高之比为3：4，
即△AEF与△CEF的高之比为3：4，
∴S△CEF=47S△AEC=47×35=20，
∴四边形EDCF的面积为S△DEC+S△CEF＝35+20＝55．
故选：B．



知识点四 三角形角平分线的应用


内容
三角形角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等（所以可能考面积相关问题）.
题型四 三角形角平分线性质的应用

例1

如图，已知是的角平分线，，垂足为E，，的面积是4，则的长是（ ）

A．1
B．2
C．4
D．无法计算
【答案】B
【分析】过D作DF⊥BA交BA的延长线于F，根据三角形的面积公式得到DF=2，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：过D作DF⊥BA交BA的延长线于F，


∵AB=4，△ABD的面积是4，
∴   
∴DF=2，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，
∴DF=DE=2，
故选：B．
例2

如图，在中，，是的角平分线，于，若，，则的面积是（ ）

A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算得到答案．
【详解】解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×8×3＝12，故D正确．
故选：D．
变1
如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E点，S△DBC=12， BC=6，则DE的长为（ ）

A．2
B．4
C．8
D．不能确定
【答案】B
【分析】过D点作DF⊥BC于F，利用三角形面积公式计算出DF＝4，然后根据角平分线的性质得到DE的长．
【详解】解：过D点作DF⊥BC于F，如图所示：


∵S△DBC＝12，BC＝6，
∴×6×DF＝12，
∴DF＝4，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝4，故B正确．
故选：B．
变2
如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，点D． E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为______cm.

【答案】4.
【分析】先根据△BCD和△BED关于BD对称，得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC即可得出结论．
【详解】解：∵△BCD和△BED关于BD对称，
∴△BCD≌△BED，
∴BE=BC=4cm，DE=CD
∴AE=5-4=1，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC=1+3=4．
故答案为4．
题型五 角平分线与垂线夹角模型


内容

AD是高线，AE是角平分线，则高线与角平分线的夹角等于两底角差的绝对值的一半，即.
例1

如图，中，是角平分线，是高线，，求的度数．

【答案】19°
【分析】根据三角形内角和定理可以求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义，可以求出∠BAD的度数，再根据高线的性质，得出∠BAF的性质，即可求出的度数．
【详解】∵
∴
∵是角平分线
∴
∵是高线
∴
∴
∴．
例2

如图所示，在中，，平分．

（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）直接写出，，三个角之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由平分，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解；
（3）根据，，三个角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：在中，．
∴．
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
号：5462627
例3

小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到
下面几组对应值：
∠B/度
10
30
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
上表中a=　 　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为　 　．
（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠
EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的
延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为　 　°．

变1
如图，在中，是的高，是的角平分线．．

（1）若，，则______．
（2）若，，探究与、的数量关系？
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先计算出的度数，然后再根据角平分线定义可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出的度数，进而可得的度数；
（2）由（1）知，再把，代入整理可得答案．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2），
理由如下：
∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴
∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴．

变2
如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，若∠B＝38°，∠C＝72°，则∠DAE的度数是（ ）

A．70°
B．35°
C．18°
D．17°
【答案】D
【分析】由∠B+∠C+∠BAC＝180，得∠BAC＝180°﹣ ∠B﹣∠C＝70°．由AD平分∠BAC，得∠BAD＝ ＝35°，故∠ADE＝∠B+∠BAD＝73°．由AE是 △ABC的高，得∠AEC＝90°．由∠AEC＝∠ADE+∠DAE，得∠DAE＝∠AEC﹣∠ADE＝17°．
【详解】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣72°＝70°．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝35°．
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝38°+35°＝73°．
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°．
又∵∠AEC＝∠ADE+∠DAE，
∴∠DAE＝∠AEC﹣∠ADE＝90°﹣73°＝17°．
故选：D．
变3
如图，在中，，，垂足为D，平分．已知，，求的度数．

【答案】
【分析】因为，所以，从而计算出，又因为平分，所以
【详解】解：




平分

变4
（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC“变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数．

【答案】（1）15°；（2）15°
【分析】（1）先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可；
（2）先作AH⊥BC于H，再根据平行线的性质求得∠DFE的度数
【详解】（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，

由（1）可得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
考点六 中线与周长问题

例1

已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．
B．
C．或
D．
【分析】已知给出的和两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为，分两种情况讨论：或．
【解答】解：设三角形的腰为，如图：
是等腰三角形，，是边上的中线，
则有或，分下面两种情况：
（1），
解得，
三角形的周长为，
三边长分别为，，，
，不符合三角形的三边关系，
舍去；
（2），
解得，
三角形的周长为，
三边长分别为，，．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为．
故选：．

例2

等腰三角形一腰上的中线把周长分为和的两部分，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．
B．
C．
D．或
【分析】已知给出的和两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为，分两种情况讨论：或．
【解答】解：设三角形的腰为，如图：
是等腰三角形，，是边上的中线，
则有或，分下面两种情况解．
（1），
解得，
三角形的周长为，
三边长分别为，，，
，不符合三角形的三边关系
舍去；
（2），
解得，
三角形的周长为，
三边长分别为，，．
综上可知：这个等腰三角形的底边长是．
故选：．

例3

等腰三角形的周长是，一条腰上的中线将周长分为两部分，则它的底边为______．
【分析】根据已知条件得到两部分分别为：和，可知分为两种情况①②解方程即可得到结论．
【解答】解：等腰三角形的周长是，一腰上的中线将周长分为两部分，
两部分分别为：和，
可知分为两种情况：

①，
是的中线，
，
，
，
故这个三角形的底边长为；
②，
．
，
故这个三角形的底边长为．
故答案为：18或10．
变1
在等腰三角形中，，边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两部分，则底边的长为______．
【分析】分两种情况讨论，根据等腰三角形的性质列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意，
①当，解得，
底边，
，10，10能构成三角形，
的长可以为7；
②当，解得，
底边，，
，8，8能构成三角形，
的长可以为11；
底边等于7或11．
故答案为：7或11．

变2
在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，则的长为（ ）
A．14
B．16或22
C．22
D．14或22
【分析】由在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，可得，，然后分别从与去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图，，是边上的中线，
即，
，，
若，则，
又，
联立方程组：，解得：，，
20、20、14三边能够组成三角形；
若，则，
又，
联立方程组：，解得：，，
16、16、22三边能够组成三角形；
或22．
故选：．
变3
在等腰中，，腰上的中线将的周长分为15和27两部分，则这个三角形的底边长为______．
【分析】本题由题意可知有两种情况，或．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为6．
【解答】解：是等腰的中线，可设，则，
又知将三角形周长分为15和21两部分，
可知分为两种情况：
①，即，解得，此时，此时等腰的三边分别为10，10，22；
②，即，解得；此时等腰的三边分别为18，18，6．
经验证，第一种情况不成立，
这个三角形的底边长为6．
故答案为：6．
课后强化

1.给出下列命题：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③三角形的外角等于两个内角的和；④三角形的角平分线是射线；⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可以判断①，根据三角形重心的定义可判断②，根据三角形内角和定理可判断③，根据三角形角平分线的定义可以判断④，根据三角形的内角的定义可以判断⑤，根据三角形的高的定义以及直角三角形的高可以判断⑥．
【详解】①等边三角形是等腰三角形，①正确；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点，②正确；
③三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故③不正确；
④三角形的角平分线是线段，故④不正确；
⑤三角形相邻两边组成的角且位于三角形内部的角，叫三角形的内角，⑤错误；
⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内或在三角形外或者在三角形的边上．
正确的有①②，共计2个，
故选B
2.已知AD为△ABC的高，∠BAD=30°，∠CAD=40°，则∠BAC=______．
【答案】10°或70°
【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+40°=70°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠CAD-∠BAD =40°-30°=10°，
综上所述，∠BAC的度数为10°或70°，
故答案为：10°或70°．

3.如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则______．

【分析】由题意，中，为中线，可知和的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【解答】解：中，为中线，
，
，
于，于，，，，
，
，
，
故答案为：2．
4.如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（ ）

A．10
B．
C．
D．7
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式即可求得．
【详解】解：△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，
∴S△ABC=AB•CE=AC•BD，
∴AC==10，
故选：A．
5.已知，AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（ ）

A．8cm
B．8.6cm
C．9cm
D．9.6cm
【答案】D
【分析】根据等面积法即可求解．
【详解】解：∵AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，
∴，
即 cm．
故选D．
6.如图，D，E是△ABC中BC边上的点，且BD＝DE＝EC，那么（　　）

A．S1＜S2＜S3
B．S1＞S2＞S3
C．S1=S2=S3
D．S2＜S1＜S3
【答案】C
【分析】根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得结论．
【详解】解：∵BD＝DE＝EC，
∴S△ABD＝S△ADE＝S△AEC，
即S1＝S2＝S3，
故选：C．
7.如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于　　

A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：点是边的中点，的面积等于8，
，
是的中点，
，
故选：．
8.ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=40°，∠CAD=30°，则∠BAC=______．
【答案】70°或10°
【分析】分为两种情况，画出图形，求出∠B的度数，即可得出答案．
【详解】解：
分为两种情况：①如图1，
∵∠BAD=40°，∠CAD=30°
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+30°＝70°；
②如图2，
∵∠BAD=40°，∠CAD=30°
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°；
故答案为：70°或10°．
9.如图，是等腰三角形，cm，，点D是底边BC边上的任意一点，于点E，于点F．则______cm．

【答案】4
【分析】根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可．
【详解】解：∵，
又∵，
，
∴，
∵，

，
，
故答案为：4．
10.如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，的值逐渐______（填“增大”，“减小”或“不变”）．

【答案】减小
【分析】根据点沿自点向点运动时，的面积不变，但是会增大，由面积公式可得的值逐渐减小
【详解】解：由得：


∵的面积不变，但是点沿自点向点运动时，会增大，
∴的值逐渐减小，
故答案为：减小
11.如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8cm2，则的面积等于______cm2，阴影部分面积等于______cm2．

【答案】     2     2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：∵点E是AD的中点，
∴

∴
∵点D是BC的中点，
，
∵点F是CE的中点，
∴
故答案为：2，2
12.如图，的面积是4，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，则的面积是______．

【答案】1
【分析】首先根据S△ABC=4，点E是AD的中点，判断出S∆BCE =S∆ABC；然后根据点F是BE的中点，求出S∆CEF是多少即可．
【详解】∵ S∆ABC=4，点E是AD的中点，
∴S∆BCE =S∆ABC=×4=2，
又∵点F是BE的中点，
S ∆CEF = S△BCE=×2=1．
13.如图，是的中线，，，且的周长为，则的周长是______．

【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：是的中线，
，
的周长为，
，
，
，
的周长，
故答案为：13．
14.如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，已知，则的长为______．

【分析】利用三角形的中线定义可得，再根据的周长比的周长多可得，进而可得的长．
【解答】解：是边上的中线，
，
的周长比的周长多，
，
，
，
，
故答案为：6．

15.已知为的中线，，，的周长为，则的周长为______．
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：为的中线，
，
的周长为，
，
，
的周长，
故答案为：30．

16.如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（ ）



A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【答案】C
【分析】先根据求出BD的长，然后根据中线的定义求出BC的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵AD是中线，
∴BC=2BD=8cm
故选C．

17.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）

A．20°
B．10°
C．50°
D．60°
【答案】B
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据AE为角平分线，求出∠BAE的度数是多少；最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度数，即可求出∠EAD的度数是多少．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵AE为∠BAC角平分线，
∴∠EAC=80°÷2=40°，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°，
即∠EAD的度数是10°，
故选：B．
18.如图，在中，AD为高，AE平分∠BAC，，，则的度数为（ ）

A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】A
【分析】根据题意和图形，可以求得∠CAE和∠CAD的度数，从而可以求得∠DAE的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，AD是高，∠B=50°，∠C=80°，
∴∠ADC=90°，∠BAC=180°-∠B-∠C=50°，
∴∠CAD=10°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=25°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=15°，
故选A．
19.如图，在中，，边上的中线将这个三角形的周长分为9和6的两部分，求的长．

【分析】是的中线，则是的中点．因为已知条件给出的9或6两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：设，，
是的中线，
．
当时，有，
由得：，
把代入中，得，
，
三边长分别为6，6，3．
当时，，
解得，
三边长分别为4，4，7，
经检验，两种情况均符合实际情况．
综上所述，的长为3或7．