动点问题模拟（四川绵阳）

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动点问题模拟（四川绵阳）  1．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．若正方形的边长为2．（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求AQ的长；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，求四边形MNGH的面积．  2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=4，OC=3，且顶点A、C均在坐标轴上，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动；点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC交BO于点P，连接MP．（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；（2）设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；若存在最大值，求出S的最大值；（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．  3．已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围．  4．如图，在平面直角坐标系中，，，，E，M为线段AC上两个不重合的动点（点E在点M上方，且均不与端点重合），，与BC交于点F，四边形EMNF为平行四边形，连结BN.（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）若设点F的横坐标为x，点M的纵坐标为y，当四边形EMNF为菱形时，请求y关于x的函数解析式及相应x的取值范围；（3）请求出当为等腰三角形时，面积的最大值. 
参考答案：1．（1）详见解析；（2）；（3）．【分析】（1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°即可；（2）首先利用折叠的性质和平行线的性质得到QF＝QB，然后在Rt△QPB中，利用勾股定理即可解决问题．（3）首先证明△AGN∽△AHM，再根据面积比等于相似比的平方，求得S△AGN＝，再利用S四边形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN求解．【详解】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ．∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE．在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF．又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF．（2）由折叠的性质得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝∠BCF =90°，∵四边形ABCD是正方形， ．∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB．∵PF＝FC＝1，PB＝BC＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+22，∴x＝，∴AQ＝BQ﹣AB＝．（3）解： ， ．由旋转的性质可知， ．∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，∴AN＝AB＝2．∵∠AHM＝90°， ．． ∴GN∥HM，∴△AGN∽△AHM，∴＝（ ）2． ，∴＝（ ）2，∴S△AGN＝，∴S四边形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN＝1﹣＝，∴四边形GHMN的面积是 ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，掌握正方形的性质，折叠和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键．2．(1) B点坐标为（4，3）．点P的坐标为（x，x）；(2) S=﹣x2+x（0＜x＜4）．最大值为；(3) x的值为秒或秒或秒时，△OMP是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性质，得出B点坐标，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标；（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可；（3）△OMP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．画出图形，分别求出即可．【详解】解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴B点坐标为（4，3）．如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA，∴，即=，解得：PG=x，∴点P的坐标为（x，x）；（2）∵在△OMP中，OM=4﹣x，OM边上的高为x，∴S=（4﹣x）•x=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4）．配方，得S=﹣（x﹣2）2+，∴当x=2时，S有最大值，最大值为；（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：①如备用图1，过点P作PG⊥AO于点G，若PO=PM，则OG=GM=CN=x，即3x=4，解得：x=；②如备用图2，过点P作PG⊥AO于点G，若OP=OM，CN=x，则OP= OM= 4﹣x，由勾股定理，得OB===5，∵NP∥OC，∴，即，∴OP=x，即x=4﹣x，解得：x=；③如备用图3，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q，若OM=PM时，则PM=OM=4﹣x，OQ=CN=x，则MQ=x-(4-x)=2x﹣4，在Rt△MPQ中，PQ2+QM2=MP2，即（x）2+（2x﹣4）2=（4﹣x）2，解得：x=，综上所述，当x的值为秒或秒或秒时，△OMP是等腰三角形．考点：四边形综合题．3．（1）t=10秒；（2）存在，t=，或秒；（3）；；；．【分析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值；（2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示； （3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5-答图8所示，分别求出其面积的表达式．【详解】解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，∴由勾股定理，得NM=10．当点G在线段AE上时，如图，此时，GG′=MN=10．∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，∴t=10秒．（2）存在符合条件的点P．在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．设∠AEB=θ，则sinθ=，cosθ=．∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=t，AQ=AE-QE=20-t．△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：①AP=PQ．如答图2所示：过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP•cosθ=t．∵AQ=2AK，∴20-t=2×t，解得：t=；②AP=AQ．如答图3所示：有t=20-t，解得：t=；③AQ=PQ．如答图4所示：过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ•cosθ=（20-t）×=16-t．∵AP=2AK，∴t=2（16-t），解得：t=．综上所述，当t=，或秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20．①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J．根据题意，知AP=EN=t，由△QNE∽△GNM得，即∴，∴．由△QHE∽△NGM得，即，∴∴．∴．若AP=AQ，则，解得，不存在；若AP=PQ，则，∴△＜0，无解，不存在；若AQ=PQ，则，无正数解，不存在．②当10＜t≤16时，线段GN的延长线与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J．同上，AP=EN=t，由△QNE∽△GNM得，即，∴∴．由△QHE∽△NGM得，即，∴∴．∴．若AP=AQ，则，解得．若AP=PQ，则，∴△＜0，无解，不存在；若AQ=PQ，则，无正数解，不存在．综上所述，存在，使△APQ是等腰三角形．（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积，由（2）①，EN=t，，∴．当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积．由（2）①，EN=t，，∴．过点I 作IJ⊥BC于点J，∵EF=7，EN=t，∴．由△FJI∽△FBA得，即．由△INJ∽△MNG得，即．二式相加，得．∴∴．当10＜t≤时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN的面积减去△INF的面积．过点I 作IH⊥BC于点H，∵EF=7，EN=t，∴．由△FHG∽△FBA得，即．由△INH∽△MNG得，即．二式相加，得．∴．∴．④当＜t≤16时时，如答图8所示：FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．∵tan∠IFK==，∴可设IK=4x，FK=3x，则KM=3x+17-t．∵tan∠IMF==，解得：x=（17-t）．∴IK=4x=（17-t）．∴S=FM•IK=（t-17）2．综上所述，S与t之间的函数关系式为：；；；．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的判定和性质，三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题关键是清楚理解图形的运动过程．4．（1）直线AC解析式为，直线BC解析式为；（2）y关于x的函数解析式为，x的取值范围为；（3）.【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）利用邻边相等的平行四边形是菱形的性质，用字母把邻边表示出来求解即可；（3）首先判断等腰三角形的可能性，大胆设出F，N的坐标，列出平行四边形的面积的函数，根据二次函数的性质求最大面积.【详解】解：(1) 设直线AC解析式为：，将，代入得， 解得所以，直线AC解析式为.设直线BC解析式为：，将，代入得，解得所以，直线BC解析式为.（2）点F的横坐标为x，且F在直线BC上，点M的纵坐标为y，且M在直线AC上， E、F的纵坐标相同，又E在直线AC上，四边形EMNF为菱形，整理得：E在M上方，即E点纵坐标大于M点纵坐标，即又对两边进行开方得，整理得：由题知，，即解得y关于x的函数解析式为，x的取值范围为.（3）由题意当或时，点N在外，不符合题意，当时，作交EF于点D， 设，，易得，，，，设FN中点为点G，又，，∵在△BNF中，，，又，，，，解得，由题意，当时，的面积有最大值，此时.【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的最值，菱形的判定以及等腰三角形的性质在坐标系中的灵活应用，大胆设点的坐标并找出其关系是本题的关键.