中考数学二轮复习压轴题精讲专题5：二次函数与平行四边形 (含答案详解)

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二次函数与平行四边形
分类标准：讨论对角线
例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况
（1）当边AB是对角线时，那么有
（2）当边AC是对角线时，那么有
（3）当边BC是对角线时，那么有
1 .在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】（1）；（2），时有最大值；（3）或或或．
【解析】
【分析】
（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM＋S△OBM?S△AOB即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
【详解】
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴




∵，
当时，有最大值为：．
答：时有最大值．
（3）设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标，
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
【点睛】
本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．
2 .抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A．B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m：
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；抛物线的对称轴是：x=1；（2）①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②．
【解析】
【分析】
（1）对于抛物线解析式，令y=0求出的值，确定出A与B坐标，令x=0求出的值确定出坐标，进而求出对称轴即可；
（2）①根据与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，进而表示出与坐标，根据抛物线解析式确定出与坐标，表示出，利用平行四边形的判定方法确定出的值即可；
②连接，设直线与x轴交于点M，求出的长，根据，列出 关于的二次函数解析式．
【详解】
解：(1)对于抛物线 
令x=0，得到y=3；
令y=0，得到，即(x?3)(x+1)=0，
解得：x=?1或x=3，
则A(?1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线对称轴为直线x=1；
(2)①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
把B(3，0)，C(0，3)分别代入得： 
解得：k=?1，b=3，
∴直线BC的解析式为y=?x+3，
当x=1时，y=?1+3=2，
∴E(1，2)
当x=m时，y=?m+3，
∴P(m，?m+3)
令中x=1，得到y=4，
∴D(1，4)，
当x=m时，  
∴线段DE=4?2=2，
∵0