中考数学二轮复习压轴题精讲专题6：二次函数与特殊四边形 (含答案详解)

这是一份中考数学二轮复习压轴题精讲专题6：二次函数与特殊四边形 (含答案详解)，共22页。
二次函数与特殊四边形1 .已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】
【分析】
（1）由于BC∥x轴，那么B、C两点的纵坐标相同，已知了点C的坐标，设，将代入直线OD的解析式中，即可求得点D的坐标；
（2）已知抛物线图象上的A、O、D三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；
（3）此题应分作三种情况考虑：①所求的梯形以OA为底，那么OA∥DM，由于抛物线是轴对称图形，那么D点关于抛物线对称轴的对称点一定满足M点的要求，由此可得M点的坐标；②所求的梯形以OD为底，那么OD∥AM，所以直线AM、直线OD的斜率相同，已知点AD的坐标，即可确定直线AM的解析式，联立抛物线的解析式，即可确定点M的坐标；③所求的梯形以AD为底，那么AD∥OM，参照②的解题思路，可先求出直线AD的解析式，进而确定直线OM的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点M的坐标．
【详解】
解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设
∵D在直线上，
∴ 
∴ 
（2）∵抛物线经过点；
∴，
解得：；
故所求的二次函数解析式为；
（3）存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形，理由如下：
①若以OA为底，轴，如图，是与抛物线的另一个交点， 抛物线是轴对称图形，抛物线的对称轴是 
∴点M的坐标为；
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，如图，
∵直线OD为，
设为，  
∴直线AM为；
∴   
解得：，（舍去）
∴点M的坐标为；
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
设为  
解得： 
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴ 
解得：（舍去）；
∴点M的坐标为．
∴综上所述，当点M的坐标为时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，二次函数解析式与一次函数的解析式的确定，梯形的判定，函数图象交点坐标的求法，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．2 .在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一条抛物线的“友好抛物线”，
（1）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为         ．与的数量关系为         ．
（2）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为         ．与的数量关系为         ．
（3）由以上分析，我们可以得到抛物线：的“友好抛物线”为：         ．如图，若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于点、（点在点左侧），与抛物线相交于点、（点在点左侧）．
①若四边形为菱形，求线段的长（提示：已知直线和 ），若，则两直线垂直）；
②当四边形的面积为时，求的值．【答案】（1），；（2），；（3）；①；②【解析】
【分析】
（1）直接根据题意进行解答即可；
（2）根据题中所给定义可直接进行解答；
（3）由（1）（2）易得的解析式，①由的解析式先求出点E、F坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形为菱形时，，直线经过原点，则可求AD解析式，设点，点，进而根据根与系数的关系及两点之间的距离公式可进行求解；
②由题意可得，，则四边形为平行四边形，设点，当四边形的面积为时，，如图，过点作轴于点，进而可得点必在第一象限，过点作轴交于点，过点作轴于点，然后由面积法及代入的解析式可进行求解．
【详解】
解：（1），；
（2），；
（3）
①点点易得直线的解析式为当四边形为菱形时，
直线经过原点易得直线的解析式为
由题意可设点，点
当时
得，
②由题意可得，四边形为平行四边形
设点
当四边形的面积为时，
如图，过点作轴于点点不可能位于轴下方
即点必在第一象限
过点作轴交于点
过点作轴于点①
又点在抛物线上②
由①②式得
得点在点左侧
将代入①式
解得．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键．3 .如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）如图1，点为抛物线段一动点，于点，轴交于点，当的长度最大时，求点的坐标．
（3）点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3），，【解析】
【分析】
（1）先求出二次函数的解析式，即可得到结果；
（2）设轴于点，，求出，根据直角三角形性质得到，求出直线AC的解析式，得到，求出，即可得到结果；
（3）由题意可得：MN∥EF，设M点的坐标为，即可得到N的点，再根据正方形的性质，分类讨论即可；
【详解】
解：（1）∵的图象与轴交于，
∴
∴
∴
当时，
∴
（2）设轴于点，
∵，
∴
在中， 
∵，
∴
∴
设直线的解析式为：
∴
∴
∴
∴
即当时最大．
∴．
（3）设M点的坐标为，
则点N的坐标为，
∴MN的长度为
①当MN为直角边时，可知MN∥EF，
∴E，F均在x轴上，
∴M，N点到x轴的距离为，即
∵MNEF为正方形，
∴，
即，
解得， 
当x=3时，M点为A点，应舍去
∴M点可为
②当MN是对角线时，
得到，此时E点为MN的垂直平分线与x轴的交点
且△ENM为直角等腰三角形，故MN的长度应该为M到x轴的距离的2倍
得到
解得，，
同理x=3时应舍去
故M点可为，
故综上M点坐标可为，，
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，结合正方形的性质是解题的关键．4 .如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣+x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣x+3，表示PD=﹣，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：，代入得：L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可；
（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．
试题解析:
（1）由OC=3OA，有C（0，3），
将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=﹣+x+3；
（2）如图2，设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，
∵直线BC经过B（4，0），C（0，3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则
解得：
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则D（m，﹣），PD=﹣，
∵PE⊥x轴，PE∥OC，
∴∠BDE=∠BCO，
∵∠BDE=∠PDF，
∴∠PDF=∠BCO，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD∽△BOC，
∴，
由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC的周长=12，
∴，
即L=﹣（m﹣2）2+，
∴当m=2时，L最大=；
（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，
当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，
当点Q落在y轴上时，CQ∥PD，
∴∠PCQ=∠CPD，
∴∠PCD=∠CPD，
∴CD=PD，
∴CD=DP=PQ=QC，
∴四边形CDPQ是菱形，
过D作DG⊥y轴于点G，
设P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣），
在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣n+3）﹣3]2+n2=，
而|PD|=|（﹣）﹣（﹣n+3）|=|﹣+3n|，
∵PD=CD，
∴﹣①，
﹣，
解方程①得：n=或0（不符合条件，舍去），
解方程②得：n=或0（不符合条件，舍去），
当n=时，P（，），如图3，
当n=时，P（，﹣），如图4，
综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．
点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．5 .如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），；（3）存在，或1．【解析】
【分析】
（1）将点，点代入中，即可求解析式；
（2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设，①当时，，可求P点横坐标；②当时，，可求P点横坐标．
【详解】
解：（1）将点，点代入中，
则有，，；
（2），对称轴为，轴，，，点，点，的直线解析式为，
设，交线段BC于点F，，，
当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；
此时；
（3）设，
①当时，，，，，点横坐标为1；
②当时，，，或（舍），点横坐标为．
综上所述：P点横坐标为或1．
【点评】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．6 .在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2＋bx＋3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），顶点为D．
（1）求抛物线L1的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线L1平移后的得到抛物线L2，点A的对应点为A′，点D的对应点为D′，且点A′、D′都在L2上，若四边形AA′D′D为正方形，则抛物线L1应该如何平移？请写出解答过程．【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，顶点D的坐标是（1，4）；（2）当抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2或当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2其对应点构成的四边形AA′D′D为正方形．【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后把求得的解析式化成顶点式，即可求得顶点D的坐标；
（2）根据题意作出正方形，作DM⊥x轴于M，D′N⊥DM于N，由△ADM≌△DD′N（AAS），得出DN＝AM＝2，D′N＝DM＝4，求出D′的坐标，进一步得平移的规律．
【详解】
解：（1）∵抛物线L1：y＝ax2＋bx＋3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，
解得，
∴抛物线L1的函数解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，
∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，
∴顶点D的坐标是（1，4）；
（2）作DM⊥x轴于M，D′N⊥DM于N，如图，
∵A（﹣1，0），D（1，4），
∴AM＝2，DM＝4，
在正方形AA′D′D中，AD＝DD′，∠ADD′＝90°，
∴∠ADM＋∠D′DN＝90°，
在Rt△ADM中，∠ADM＋∠DAM＝90°，
∴∠DAM＝∠D′DN，
∵∠AMD＝∠D′ND＝90°，
∴△ADM≌△DD′N（AAS），
∴DN＝AM＝2，D′N＝DM＝4，
∴MN＝DM﹣DN＝4﹣2＝2，
∴点D′的坐标是（5，2），
∴点D到D′是先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到的，
∴抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2；
同理，当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2也符合题意，
综上，当抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2或当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2其对应点构成的四边形AA′D′D为正方形．
【点睛】
本题综全考查了用待定系数法求抛物线，全等三角形的判定和性质及平移的规律，此类题关键在于掌握每个知识的特征结合图象来求解．7 .如图，已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于、两点，点为抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，垂足为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于抛物线对称轴右侧时，点为抛物线对称轴左侧一个动点，过点作轴，垂足为点．若四边形为正方形时求点的坐标；
（3）若是以点为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点的横坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）四边形为正方形时点的坐标为和；（3）点的横坐标为2或－1或或.【解析】
【分析】
（1）先由二次函数解析式求出C点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后把A、B坐标代入抛物线解析式解方程即可；
（2）四边形为正方形时，，轴，且P、Q两点关于对称轴对称，设出P点坐标，表示出，解方程即可；
（3）由是以点为顶角顶点的等腰直角三角形，可得∠QPF=∠PEB,即轴，可得P、Q两点关于对称轴对称，设，用分别表示Q、F坐标即可，最后根据PQ=PF列方程计算即可解题.
【详解】
（1）抛物线经过点，则点坐标为(0，3)，
代入可得，则直线的解析式为.
直线经过点，则点坐标为(3，0)
将点、代入抛物线
解得，
∴抛物线的解析式为.
（2）抛物线的对称轴为.
∵四边形为正方形，∴，轴.
∴点与点关于直线对称.
设点，则，.
∴，解得：或（舍去）或或（舍去）
当时，点，
当时，点，
∴四边形为正方形时点的坐标为和
（3）点的横坐标为2或－1或或.
∵是以点为顶角顶点的等腰直角三角形
∴∠QPF=∠PEB=90°
∴轴
∴点与点关于直线对称.
设点，则，
∴.
∵，
∴，
解得：或或或
综上所述，点的横坐标为2或－1或或.
【点睛】
本题是二次函数综合题，熟记一次函数、正方形、等腰三角形的性质是解题的关键，难度一般，但是计算量比较大，需要注意.8 .如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．     
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①，②存在，【解析】
【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得 
解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．                    
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．                     
∴．                     
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．                       
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．                     
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC= 
∴
整理得， 
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，
则有
整理得， 
∵，
∴，
解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．