第9章 多边形-解题技巧专题：三角形中内外角的相关计算(含答案)

解题技巧专题：三角形中内外角的相关计算

——全方位求角度

类型一　已知角的关系，直接利用三角形的内角和或结合方程思想求角度

1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于(　　)

A．50°      B．55°      C．45°      D．40°

2．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形      B．直角三角形

C．钝角三角形      D．形状无法确定

3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．【方法17】

4．如图，△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠DEF的度数．【方法17】

类型二　综合内外角求角度

5．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是(　　)

A．20°     B．30°     C．40°     D．60°

第5题图　第6题图

6．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________．

7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.

(1)试说明∠EAC＝∠B；

(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．

类型三　在三角板或直尺中求角度

8．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是(　　)

A．120°  B．105°  C．90°  D．75°

第8题图第9题图

9．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是(　　)

A．10°  B．15°  C．20°  D．25°

10．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．

第10题图　　第11题图

11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为________．

类型四　与平行线结合求角度

12．如图，已知B，C，E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠ACE的度数为(　　)

A．35°  B．40°  C．115°  D．145°

第12题图第13题图

13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PFA＝40°，那么∠EGB等于【方法17】(　　)

A．80°  B．100°  C．110°  D．120°

14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝________．

15．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.

(1)求∠BFD的度数；

(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．【方法17】

类型五　与截取或折叠相关求角度

16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个关系，你发现的关系是(　　)

A．∠A＝∠1－∠2

B．2∠A＝∠1－∠2

C．3∠A＝2∠1－∠2

D．3∠A＝2(∠1－∠2)

17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝________．

第17题图第18题图

18．如图，在△ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2＝________．

19．(1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由；

(2)若折叠成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2，∠A与∠1之间的关系式(不必说明理由)；

(3)若折叠成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式(不必说明理由)．

参考答案与解析

1．C　2.C

3．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在直角△BDC中，∠DBC＝90°－∠C＝90°－72°＝18°.

方法解析：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解．

4．解：∵△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－26°－70°＝84°.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝×84°＝42°.在△ACE中，∠CAE＝90°－∠C＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝42°－20°＝22°.∵∠DEF＋∠AEF＝∠AEF＋∠DAE＝90°，∴∠DEF＝∠DAE＝22°.

5．B　6.80°

7．解：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.

(2)设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∴3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.

8．B　9.B　10.75°　11.35°　12.C　13.C　14.15°

15．解：(1)∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.∵∠HEG＝55°，∴∠BEG＝∠BEH－∠HEG＝35°.又∵EG∥AD，∴∠BFD＝∠BEG＝35°.

(2)∵∠BFD＝∠BAD＋∠ABE，∠BAD＝∠EBC，∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.由(1)可知∠BFD＝35°，∴∠ABC＝35°.∵∠C＝44°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－35°－44°＝101°.

16．B　17.14°　18.250°

19．解：(1)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：延长BE，CD，交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.连接AP.由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A.

(2)图②中，∠2＝2∠A；图③中，∠1＝2∠A.

(3)图④中，∠2－∠1＝2∠A.