初中11.1 反比例函数精品一课一练

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专题13 反比例函数与三角形、四边形的综合问题
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目录
【典型例题】 1
【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 1
【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 14
【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 22
【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】 29
【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】 39

【典型例题】
【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的函数图象表达式为_________．

【答案】
【分析】作轴于，轴于，根据是等腰直角三角形，可证明，利用反比例函数的几何意义得到，则，所以，然后求出得到经过点的反比例函数解析式．
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
，

，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
∴，
∴，
∴，
∵经过点A的函数图象在第二象限内，
，
经过点的反比例函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数k的意义，全等三角形的判定与性质以及反比例函数的图象性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，则k的值为_________．

【答案】//6.75
【分析】根据点A、C的坐标可知，进而求出，再由可求出，通过作垂线构造等腰直角三角形可求出点B的坐标，即可求出k的值．
【详解】解：过点B作轴，
∵点A、C的坐标分别为、，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，即，
，
，
，
∴点B的坐标为，
∵函数的图象经过点B，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点的横坐标和纵坐标的积是一个定值k是解题的关键．
2．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，已知直角三角形中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数上，则的值_____．

【答案】
【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．
【详解】解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，，
在反比例函数上，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023·湖南衡阳·校考一模）如图，，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点都在反比例函数（）的图像上，点，都在轴上，则的坐标为 _______．

【答案】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先在中，设的长度为，用表示的长度，并表示出的坐标，代入反比例函数解析式，求出的长度和的长度，表示出的坐标，同理可求得的坐标，即可发现一般规律．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，

为等边三角形，
，
，
设的长度为，则的坐标为，
把代入得，解得或（舍去），
，
，
设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，
把代入得，解得或（舍去），
，，，

设的长度为，同理，，的坐标表示为，
把代入得，解得或（舍去），
，，，

以此类推可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数图像上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出的坐标是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．

(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
【答案】(1)
(2)直线的解析式为：
(3)
【分析】（1）如图，过作于 利用等腰直角三角形的性质可得从而可得m的值，再由平移的性质可得D的纵坐标，利用反比例函数的性质可得D的坐标；
（2）由 可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则 再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（3）先联立两个函数解析式求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，过作于

为等腰直角三角形，

即
由平移的性质可得：
即
（2）由
等腰直角三角形向右平移了6个单位，

设为
解得：
∴直线的解析式为：
（3）如图，延长FD交反比例函数于G，连结
，
解得： 经检验符合题意；




【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G的坐标是解本题的关键．
5．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．

(1)求m的值；
(2)求平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．
【答案】(1)；
(2)5个单位长度；
(3)，
【分析】（1）过点作轴，易得为等腰直角三角形，即可得解；
（2）根据平移规则，点横坐标为，设，根据点E在反比例函数的图象上，求出的值，即可得解；
（3）的周长，为定长，则当的值最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点坐标，即可得解．
【详解】（1）解：过点作轴于点，

∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，即：；
（2）解：将沿y轴向下平移得到，点B的对应点为E，
∴点横坐标为，设，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴；
∴平移的距离为：；
（3）解：∵的周长，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，如图，

则：，根据平移规则，可得：，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查坐标与图形，以及坐标系下的平移，轴对称，同时考查了反比例函数图象上的点的特征，以及一次函数与坐标轴的交点．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
6．（2023春·八年级课时练习）如图1，在平面直角坐标系中，在中，，，，顶点A在第一象限，点B，C在x轴的正半轴上，（C在B的右侧），可沿x轴左右移动，与关于AC所在直线对称．

(1)当时，直接写出点A和点D坐标．
(2)判断（1）中的A，D是否在同一个反比例函数图象上，说明理由，如果不在，试问OB多长时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，求的值．
(3)如图2，当点A，D在同一个反比例函数图象上，把四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与BA的延长线交于点P，当是以为底边的等腰三角形，求的值．
【答案】(1)，
(2)不在，理由见解析，
(3)
【分析】（1）过点D作轴与点E，由，，，可得点A的坐标，由勾股定理求得，再求得，，，即可得到点D的坐标；
（2）由得到点在反比例函数上，由点，得到点在反比例函数上，得到A，D不在同一个反比例函数图象上，由，，求得，即可得到答案；
（3）由平移到，点在反比例函数的图象上，得，求得，由是以为底边的等腰三角形得，由两点间距离公式即可求得m的值，进而求得的值．
【详解】（1）解：过点D作轴与点E，

∵，，，
∴点A的坐标是，
∴，，，
∴，
∴
∵与关于AC所在直线对称，
∴，，
∴，
∴,
∴，，
∴，
∴；
（2）∵点，,
∴点在反比例函数上，
∵点，,
∴点在反比例函数上，
∴A，D不在同一个反比例函数图象上，
∵，，，
解得，
此时，
∴当时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，
即；
（3）设四边形ABCD向右平移m个单位长度，
由（2）知点，
∴平移到，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵点，
∴点P的横坐标为3，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
由两点间距离公式可得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
即的值是．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，图形的平移，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键．



【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】
例题：（2023秋·四川德阳·九年级统考期末）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则______．

【答案】6
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，然后平行四边形的性质可知△AED≌△BOC，进而可得矩形ABOE的面积与平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：

∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴，
∴；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东日照·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和点，，的坐标求出点的坐标，再把点的坐标代入即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
解得，，
∴，
将代入并解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．（2023春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，平行四边形的边的中点D在y轴上，对角线与y轴交于点E，若反比例函数（k为常数且，）的图像恰好经过点A，且，则k的值为______．

【答案】12
【分析】先证明是等腰直角三角形，，由平行四边形的边的中点D在y轴上，求得，据此求解即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵平行四边形的边的中点D在y轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像恰好经过点A，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形性质及反比例函数系数的几何意义是解题关键．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=______．

【答案】-4
【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值．
【详解】解：连接OB，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD=|k|，S△BOD==，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+，
∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|是解答此题的关键．
4．（2023·吉林白城·校考二模）如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点．

(1)求的值；
(2)求平行四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)6；
【分析】（1）根据点的纵坐标为1，可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可；
（2）把代入一次函数，解方程可得点的坐标，从而得出的坐标是及的长，再由题意，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点的坐标是，轴，
∴点D的纵坐标为1．
∵一次函数图象经过两点，
∴令，解得．
∴，将点代入反比例函数，得
∴．
（2）由题意，把代入一次函数，得
，
∴．
∵四边形平行四边形，
∴的坐标是．
由（1）的坐标是，，
∴．
∴平行四边形的面积等于．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键．
5．（2023·江西·九年级专题练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，其中，反比例函数的图象经过点．

(1)求的值；
(2)若点恰好落在反比例函数的图象上，求平行四边形的面积；
(3)当时，判断反比例函数的图象是否经过的中点，若经过，请说明理由，若不经过，求出与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】(1)
(2)平行四边形的面积为144
(3)反比例函数的图象经过的中点；理由见解析
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）由平行四边形的性质可用m表示出D点的坐标，从而可表示用m表示出E点的坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得C点坐标，再利用平行四边形的面积进行计算即可；
（3）由（2）可求得D点坐标，从而可求得CD的中点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
（1）
解：将点代入，得．
（2）
过点作于，过点作于，如图所示：

∵，，，
∴，
∴，，
过点作于，
∵，，
∴，，
∴点的坐标为，代入，得：，
所以，平行四边形的面积为．
（3）
∵四边形平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
设的中点为，过点作轴于点，
∴，，
∴的中点，
∵当时，，
∴反比例函数的图象经过的中点．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键，在（3）中求得C、D两点的坐标是解题的关键．



【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】
例题：（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，反比例函数与矩形一边交于点E，且点E为线段中点，若的面积为3，则k的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出D或E的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设B点的坐标为，则D的坐标为，
∵E为线段的中点，
∴，
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴，
∵
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点M，轴于点N，则矩形的面积为________．

【答案】4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】解：设， ，
∵P点在第二象限，
∴，
代入中，
得，
∴矩形的面积，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．”是解题的关键．
2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，点A在点B的左侧，轴，点C，D在x轴上，若四边形为面积是9的矩形，则k的值为______．

【答案】13
【分析】延长交y轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义，可得四边形的面积是4，四边形的面积是，再由四边形的面积是9，即可求出．
【详解】解：延长交y轴于点E，则轴，

∵点A在反比例函数上，
∴四边形的面积是4，
∵点B在反比例函数上，
∴四边形的面积是，
∵四边形的面积是9，
∴，
∵反比例函数在第一象限，
∴．
故答案为13．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键。
3．（2023春·八年级课时练习）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点，，则矩形的面积为_______．

【答案】0.6或27
【分析】根据题意分两种情况：设，当反比例函数的图像经过、上的点时，则点、在反比例函数的图像上，根据反比例函数系数得到，求出，即可求出矩形的面积；当反比例函数的图像经过、上的点时，点、在反比例函数的图像上，则，求得，即可求出矩形的面积．
【详解】解：当反比例函数的图像经过、上的点时，
设，
∵点， ，
，
∴点、在反比例函数的图像上，
∴，
，
解得，
，
当反比例函数的图像经过、上的点时，
设，
∵点， ，
∴点和点在反比例函数的图像上，
，
解得，
，
故答案为：0.6或27．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，运用分类思想是解题的关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 B、C在x轴的正半轴上，，．对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点E，分别与，交于点F，G．

(1)若，求k的值；
(2)连接，若，求的面积．
【答案】(1)28
(2)
【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到，然后把E点坐标代入，可求得k的值；
（2）利用勾股定理计算出，则，所以，设，则，，利用反比例函数图象上点的坐标得到，解得，从而得到反比例函数解析式为，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算的面积．
【详解】（1）∵矩形的顶点B，，
而，
∴
∵对角线相交于点E，
∴点E为的中点，
∴，
把代入，得；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵反比例函数的图象经过点E、F，
∴，解得，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴．
当时，，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
5．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中第一象限内，顶点A，D在y轴正半轴．已知，，，反比例函数的图象经过点C．

(1)求k的值；
(2)把矩形沿x轴正方向平移m个单位，使得矩形的一个顶点落在反比例函数的图象上，求m的值；
(3)把矩形沿x轴正方向平移m个单位，再沿y轴正方向平移n个单位，使得矩形的两个顶点落反比例函数，请直接写出m，n之间的数量关系__________．
【答案】(1)；
(2)m的值为4或8或12；
(3)
【分析】（1）由题意、根据矩形的性质可以得出点C的坐标，再由待定系数法求解即可；
（2）由题意分类讨论，根据平移的性质求解即可；
（3）由题意知，满足条件的只能是点B与点D，由平移的性质点B与点D平移后的对应点坐标分别为，从而得到关于m和n的等式，整理即可得解．
【详解】（1）解：将矩形放置在平面直角坐标系中第一象限内，顶点A，D在y轴正半轴．已知，，，
∴，，，，，∴，
∵反比例函数的图象经过点C，∴；
（2）解：把矩形沿x轴正方向平移m个单位，使得矩形的一个顶点落在反比例函数的图象上，
若平移后，点B的对应点在函数的图象上，则点B的对应点为，
∴，
解得；
若平移后，点D的对应点在函数的图象上，则点D的对应点为，
∴，
解得；
若平移后，点A的对应点在函数的图象上，则点A的对应点为，
∴，
解得；
综上，m的值为4或8或12；
（3）解：把矩形沿x轴正方向平移m个单位，再沿y轴正方向平移n个单位，使得矩形的两个顶点落反比例函数，
则只能是点B与点D，点B与点D平移后的对应点坐标分别为，
∴，整理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、平移的性质等，解此题的关键是利用分类讨论思想与方程思想求解．


【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】
例题：（2023·江西南昌·统考一模）如图，在平面直角坐标中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数的图象上，若，菱形的面积为，则k的值为_______．

【答案】
【分析】延长交轴与点，根据菱形的性质，易得：轴，，设，利于的直角三角形，求出，，根据菱形的面积为，求出的值，得到点坐标，进而求出k的值．
【详解】解：延长交轴与点，设，

∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积为，
∴，（舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用图形的面积求．熟练掌握菱形的性质，求出点坐标，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在轴上，反比例函数图象经过顶点A．若菱形的面积为16，则k的值为______．

【答案】8
【分析】根据菱形性质可得，菱形对角线将菱形分成面积相等的四个三角形，每个三角形的面积为5，可设，再根据点再反比例图象上，得到 ，结合面积和的关系，即可求出值．
【详解】解：设菱形对角线交于点 ，点 ，

，
，
在第一象限，
，
，
又点在反比例函数上，
，则 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和反比例函数图象上点的几何意义问题，解决本题关键是利用点的特征找到面积与值的关系，注意象限问题．
2．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图，在菱形中点A在x轴的正半轴上，点B坐标为，双曲线y＝（k＞0）经过点C，交于点D．

(1)求双曲线解析式；
(2)求点D坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点B作轴于点E，设菱形的边长为x，则，，根据勾股定理求出，进而可得出，代入反比例函数的解析式即可；
（2）求出直线的解析式与反比例函数的解析式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标．
【详解】（1）解：如图，

过点B作轴于点E，设菱形的边长为x，
∵，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，反比例函数解析式为；
（2）解：∵点，，
设直线为，
则，
解得，
∴直线为：，
由，
解得或，
∴点D坐标为．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知菱形的性质，反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，学会用解方程组的思想求还是交点坐标的方法，属于中考常考题型．
3．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点在反比例函数的图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再利用菱形的性质可得到的长，进而得出点的坐标，最后利用反比例函数的坐标特征求出的值；
（2）根据的面积是菱形面积的列方程即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：延长交轴于，则垂直于轴，如图1所示．

∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴点坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
∴反比例的函数关系式为：；
（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为，

设点的坐标为，
∵的面积是菱形面积的，
∴，
，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，菱形与三角形的面积等知识，掌握菱形的性质以及勾股定理是解题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得的面积等于菱形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或，
【分析】（1）延长交轴于点，易得轴，根据菱形的性质，求出点坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）求出菱形的面积，再利用进行计算即可．
【详解】（1）解：延长交轴于点，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：存在；设点的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
当时，，即：，
当时，，即：；

综上，存在点或，使的面积等于菱形的面积．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点．

(1)求直线的解析式
(2)如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标；
(3)如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）由菱形的性质，得到，即当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，然后求出点C的坐标，再求出点P的坐标即可；
（3）先求出和的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段上运动时，即时；当点N在线段上运动时，即时；分别求出解析式即可．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，即，
∴点A为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点B的坐标为：；
设直线为，
∴，
解得，
∴直线的解析式；
（2）连接、，与相交于点P，则，即当有最小值时，有最小值，如图

∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴点C是点O关于的对称点，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
即当时，有最小值，
∵点C是点A向右平移5个单位得到，
∴点C的坐标为：，
把代入，则，
∴点P的坐标为：；
（3）如图，

在函数中，令，，
∴点D为，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
当点N在线段AC上运动时，即时，
；
当点N在线段CB上运动时，即时，
；
∴S与t的函数关系式为：
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题．


【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】
例题：（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，由函数解析式确定的坐标是，的坐标是，根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形求解即可．
【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点

在中，
令，解得：，
即的坐标是．
令，解得：，
即的坐标是．
则，．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴（），
同理，，
∴，，
故的坐标是，的坐标是．
代入得：，
则函数的解析式是：．
∴，
则的纵坐标是，
把代入得：．即的坐标是，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点A、D分别在函数、图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，且点A在第二象限，则点A的坐标为______．

【答案】
【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设A点坐标为，则D点坐标为，进而列出方程求解．
【详解】解： 设A点坐标为，
将代入得：，解得：，
∴点D坐标为，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，解得：（舍去），，
经检验，是方程的解，
∴D点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）如图，正方形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点A和边上点E，若正方形的边长为6，，则k的值是________．

【答案】18
【分析】由正方形的边长为6，可求，设A点坐标为，则点E的坐标为，可得，求出，即可求出结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，
，
，
设A点坐标为，则点E的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点A和E，
，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，熟练掌握在反比例函数上的点的横坐标和纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．
3．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)若将正方形沿x轴向右平移得到正方形，当点在反比例函数的图象上时，则点的坐标为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作轴于，利用证明，得，，可得点的坐标，再将点代入反比例函数解析式可得答案；
（2）由（1）同理可得，点，根据的坐标求出平移的距离，再利用平移的性质可得的坐标．
【详解】（1）作轴于，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）由（1）同理可得，点，
点恰好落在反比例函数的图象上，
当时，，
平移的距离为，

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，求得正方形顶点的坐标是解题的关键．
4．（2023春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

(1)求点C的坐标；
(2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点Q的坐标为或或或．
【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可确定点C的坐标；
（2）利用（1）中方法确定，由点恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当时；当时；当为对角线时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H，

∵，∴设，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴，
∴；
∴；
（2）解：如图所示，过点D作轴，，，
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形为矩形，

∴，
∴，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴当时，，即点A向右平移个单位得到点，
∴即；
（3）解：分三种情况讨论，
由（2）得点A向右平移个单位得到点，
∴，
∴，
当时，则且，
∴，，即，；
当时，此时点与点Q关于y轴对称，；
当为对角线时，此时，
设，
∴，
解得，即，且，
∴，即，

综上可得：点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键．
5．（2023·山东济南·校联考模拟预测）正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．

(1)如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；
(2)如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
(3)如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)2或
【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出，推出即可得出；
（3）根据E点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为4，，交于点E，
∴，
将E点坐标代入双曲线，
得，
解得，
∴双曲线的解析式为，
故答案为：，；
（2）∵双曲线与，分别交于点M，N，
∴设，
∴，
∴，
∴，
由正方形可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形边长为4，
由（1）知，
∴，
∵AE为腰，分两种情况：
①当 时，
∵，，点P、E在反比例数图象上，
，
∴，
②当时，点P与点B重合，
∵，点P、E在反比例数图象上，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的m的值为2或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，正方形的性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．