专题11 易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错（5大易错）-八年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

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专题11 易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错
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【典型例题】 1
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】 1
【易错二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】 4
【易错三 解分式方程不验根】 8
【易错四 分式方程无解与增根混淆不清】 12
【易错五 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】 16

【典型例题】
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】
例题：（2023秋·湖南娄底·八年级统考期末）如果分式的值是零，则x的取值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0，据此计算．
【详解】解：由题意可得且，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
【变式训练】
1．（2023·浙江温州·统考一模）若分式的值为，则的值是（        ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式为零的条件，列出方程解之即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得，；解得，，
∴原分式方程的值为，则，
故选：．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，得出方程是解题的关键．
2．（2023春·山东济南·八年级统考期末）若分式的值为零，则的值是（    ）
A．3 B． C．±3 D．0
【答案】A
【分析】根据分式为零的条件（分子为零，分母不为零）列式计算即可．
【详解】解：分式的值为零，
，，
．
故选A
【点睛】本题考查了分式为零的条件，熟记分式为零的条件是解题关键．
3．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）若分式的值为0，则的值为（   ）
A．3 B．3 C．3或3 D．0或3
【答案】A
【分析】先根据分式的值为0可得，然后根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得，
则，即，
由平方根解方程得：，
分式的分母不能为0，
，
解得或，
∴的值为3，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，掌握理解分式的值为0的条件是解题关键．
4．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考阶段练习）如果分式的值为零，那么的值是（    ）
A． B． C． D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据分式的值为零的条件得出且，再求出即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
∴或，
当时，，
当时，，不符合题意，舍去，
综上所述，的值是．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：且．
5．（2023·广西南宁·校考一模）若分式的值为0，则x的值是______．
【答案】
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为零，进而得出答案．
【详解】
解：分式的值为0，
，且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果分式的值等于0，那么的值为__________．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：且，
∴且，
∴m的值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）当______时，分式的值为零．
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件：分子等于零，分母不等于零求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件：分子等于零，分母不等于零是解题的关键．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为0，则x的值为___________．
【答案】
【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0．


【易错二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
例题：（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）先化简：，然后从、0、2、3中选择一个合适的值代入求值．
【答案】；当时，原式
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在、0、2、3中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可得到答案．
【详解】解：原式，
，
，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）先化简，再求值：，请在，1，3中选择一个适当的数作为值．
【答案】，8
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从，1，3三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：




当，3时，原分式无意义，
故当时
原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
2．（2023·广东汕头·校考模拟预测）先化简代数式，然后在范围选取一个适当的整数作为m的值代入求值．
【答案】，当时，原式=1
【分析】先将原式化简，然后求出该分式有意义时，m的取值范围即可求出答案．
【详解】解：
因为分母不为0，所以，因为，m为整数，即
当时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简运算，解题的关键是正确将分式化简，本题属于基础题型．
3．（2023春·八年级课时练习）先化简，再求代数式的值，其中m为满足的整数．
【答案】，4
【分析】先把除法变成乘法，再计算括号内的，最后约分化简即可，根据分式有意义的条件结合m的取值范围确定出m的值．
【详解】解：原式


∵有意义，
∴，．
又∵m为满足的整数，
∴
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分式的相关运算，以及分式有意义的条件，能够熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）先化简，然后在的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】；当时，原式．
【分析】根据分式的运算法则化简，x取一个满足条件的值，代入计算即可．
【详解】解：


；
∵且，
∴x满足且为整数，若使分式有意义，x只能取0，2．
代入求值时，原式；（或时，原式）．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件确定x的值成为解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）先化简，再求值：，其中从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
【详解】解：原式




，0，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是明确分式加法和除法的运算法则，注意：分式取值一定要使分式有意义．
6．（2023·山东枣庄·校考一模）先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数x的值代入求值．
【答案】；当时，原式=4
【分析】先求出不等式组的解集，得到整数解，再对原代数式进行化简，确定合适的x的值代入求解即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴该不等式组的解集为：，
∴整数解为，0，1，2，

=
=
=
=；
∵，
∴
∴可取，
∴原式=，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和分式的化简求值，涉及到了分式的加减乘除混合运算，解题关键是掌握解不等式的方法和分式的运算法则等知识．


【易错三 解分式方程不验根】
例题：（2023春·八年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)分式方程无解
(2)分式方程无解
【分析】将分式方程去分母变为整式方程，求出整式方程的解，然后将解代入最简公分母中检验，最后下结论即可．
【详解】（1）解：
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解；
（2）解：
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，最后一步验跟是题目正确的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)x＝0
(2)无解
【分析】先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，当时，，
∴不是原方程的解，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)原方程无解．
【分析】（1）按照解分式方程的一般步骤进行解答即可；
（2）按照解分式方程的一般步骤进行解答即可．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根；
（2），
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是“去分母，化分式方程为整式方程”，解分式方程的过程中有可能产生增根，因此求得未知数的值后，需先检验，再作结论．
4．（2023春·八年级课时练习）解方程
(1) (2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果；
【详解】（1）解：
去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
把系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2）解：
去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
把系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键在熟练掌握解分式方程的方法，并注意要检验．
5．（2023春·八年级课时练习）解下列方程．
(1)； (2)．
【答案】(1)原分式方程的解为；
(2)分式方程无解
【分析】（1）等式两边同乘去分母，化为一元一次方程，再根据解一元一次方程的步骤求解即可，注意验根；
（2）等式两边同乘去分母，解出x之后代入最简公分母验根即可求得结果．
【详解】（1）解：
解：方程两边乘，得
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为．
（2）解：
解：方程两边乘，得

解得
检验：当时，因此不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．


【易错四 分式方程无解与增根混淆不清】
例题：（2022秋·湖南怀化·八年级校联考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则实数________．
【答案】或
【分析】先去分母化为整式方程，整理得到．当时，得到时，方程无解；当，根据分式方程无解得到，代入，求出，问题得解．
【详解】解：去分母得，
整理得．
当，即时，方程无解；
当时，由分式方程无解得，即，
把代入整式方程得，解得．
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，理解题意，将分式方程化为整式方程，再根据题意进行分类讨论是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知关于的方程无解．则______．
【答案】
【分析】先将方程转化为整式方程，根据分式方程无解可得到，求出，代入整式方程即可求得．
【详解】解：分式方程去分母得：
解得：，
∵分式方程无解，
∴
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，本题的解题关键是掌握分式方程无解即是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解，或把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为，是增根．
2．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）关于的方程有增根，则______．
【答案】5
【分析】先将原方程变形为整式方程，再将代入求得m的值即可．
【详解】解：
方程左右两边同时乘以得：
∵原方程有增根
∴
∴，解得．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根、解分式方程等知识点，正确理解分式方程的增根的概念是解题关键．
3．（2021春·江苏常州·八年级校考期中）关于的分式方程有增根，则增根为______．
【答案】
【分析】根据分式方程增根的定义：使分式方程最简公分母为零的的值即可得到答案．
【详解】解：关于的分式方程有增根，且分式方程最简公分母为，
分式方程的增根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程增根的定义，熟记使分式方程最简公分母为零的的值叫增根是解决问题的关键．
4．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）若关于x的方程无解，则a的值是______．
【答案】1或2##2或1
【分析】先去分母化为整式方程，再分分母为0和x系数为0两种情况分别讨论
【详解】两边同时乘以得，即；
当分母为0时，，，
此时，
解得；
当x系数为0时，，方程无解，
解得；
故答案为1或2．
【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
5．（2023秋·湖南湘潭·八年级统考期末）关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为________．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根问题可进行求解．
【详解】解：由可知当时，分式方程有增根，
∴该分式方程的增根为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．
6．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）关于的分式方程有增根，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据分式方程有增根，即可得到，进而得到的值．
【详解】解：∵解分式方程：
∴去分母得：
∴解得
∵关于的分式方程有增根
∴该分式方程的增根为：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了分式方程的增根以及分式方程的解法等相关知识点，熟记分式方程增根的定义是解方程的关键．
7．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）若关于x的方程无解，则a的值为______．
【答案】或或
【分析】分增根无解和化简后的一元一次方程无解两种情况计算即可．
【详解】∵，
∴，
整理，得，
当时，方程无解，
解得；
∵的增根为，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程无解的分类计算方法是解题的关键．

【易错五 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
例题：（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为0．
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______．
【答案】且
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母得，，
∴，
∵方程的解是正数，
∴即，
又因为，
∴，
∴，
∴，
则m的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解是关键．
2．（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 _______．
【答案】且
【分析】先解分式方程可得，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
3．（2022秋·上海·七年级校考期末）如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是___________．
【答案】且
【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【详解】解：，
，
解得：，
，
，
即，
解得，
因为解为正数，
，
即，
解得，
故答案为：且．
【点睛】此题考查分式方程的解；解题关键在于根据解为正数，可得不等式再求出解集.
4．（2022春·四川成都·八年级校考期末）若关于的分式方程上有正根，则的取值范围为______．
【答案】且
【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，再依据题意列出不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
．
关于的分式方程上有正根，分式方程有可能产生增根和，
，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，考虑分式方程有可能产生增根是解题的关键．
5．（2022秋·天津河北·八年级校考期末）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为______．
【答案】且
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据方程有负数解，分式有意义的条件，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用的代数式表示．
6．（2022·山东济宁·三模）分式方程的解是正数，则m的取值范围为___________
【答案】且
【分析】把分式方程化成整式方程求出，由且，得出不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】解：去分母得：，
∴，
∵且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握分式方程的解法，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．
7．（2022春·安徽合肥·七年级校考阶段练习）已知关于的分式方程．
（1）若该方程有增根，则增根是______．
（2）若该方程的解大于，则的取值范围是______．
【答案】          ，且．
【分析】根据分式方程有增根，得到最简公分母为，即可求出的值；
首先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到，再根据解大于且，求出的范围即可．
【详解】解：这个方程有增根，
，
．
故答案为：；
分式方程去分母得：，
去括号合并得：，即，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故答案为：，且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清题意是解本题的关键．