江苏省盐城市三校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

2022-2023学年度高一年级第二学期期中联考

数学试题

本试卷分试题卷和答题卷两部分。试题卷包括1至4页；答题卷1至4页。满分150分。考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（▲）

A． B． C． D．

2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（▲）

A． B． C． D．

3. 已知，，则的值为（▲）

A． B． C． D．

4. 如图，一个矩形边长为2和4，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（▲）

A.     B.     C.    D.

5. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△与△面积比为（▲）

A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2

6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（▲）

A．立方尺    B．立方尺    C．立方尺    D．立方尺

7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则的取值范围为（▲）

A．      B．   C．    D．（，）

8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（▲）

A．与平面所成角的范围是   B．三棱锥体积的最大值为

C．与所成角的范围是   D．三棱锥的外接球的表面积为定值

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（▲）

A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数

C. 的模长等于 D. 的共轭复数为

10. 已知,是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（▲）A．若，，，则

B．若，，则

C．若，则

D．若，，则与所成的角和与所成的角相等

11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（▲）

A．每一个直角三角形的面积为 B．

C． D．

12.在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（▲）

A．无论，取何值，三棱锥的体积为定值30

B．当时，的最小值为

C．当时，直线与直线恒为异面直线

D．当时，平面

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.化简   ▲    .

14. 已知△是等腰直角三角形，，是△外接圆上一点，则的取值范围是   ▲    .

15.山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为   ▲    米．

16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为   ▲    .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知．

（1）若为锐角，求的值；

（2）求值．

18. 已知复数.

(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；

(2)若，在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在向量上的投影向量的坐标.

19. 如图，在△中，，点为边的中点，．

（1）求；

（2）求△的面积．

20. 已知△的内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．

21. 如图，六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图所示，且.

（1）求二面角的余弦值；

（2）求四棱锥外接球的体积.

22. 在面积为的△中，内角所对的边分别为，且.

 (1)若△ABC为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；

(2)若且△ABC的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且,△的面积为,令.求的最小值.

2022-2023学年度高一年级第二学期期中联考

参考答案

1-5 ACCBB     6-8 DDC         9-12   AD   BD    ACD    BD

13.         14.      15.      16.

17. (1)∵ ，

且，为锐角，

解得，

所以

(2)由（1）可知：，可得 ，

所以，

所以

18. (1)因为 ，所以.

因为 复数在复平面内对应的点在第二象限，

所以解得，

即实数m的取值范围是.

(2)由题可知，，

则点，，，.

因此

19. (1)在中，点D为边的中点，则，

因此

所以．

(2)在中，不共线，

因为，则，而在上，即有，，设

于是，而，

因此，解得，

所以. 所以△的面积

20. (1)由正弦定理，得，即，

故.

(2)由（1）知，

因为的面积为，所以，解得，

又因为，

所以．

于是,

那么．

所以（当且仅当时等号成立）

故的最大值为．

21.（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，

则，

．连接AC，则，

；

平面ADEF. 又

又,又，就是二面角的平面角，在,

所以二面角的余弦值为.

（2）取的中点,连接,易证四边形、均为平行四边形

所以,所以为等腰梯形的外心，取的中点,连接,,平面ADEF. 平面ADEF. 又易得，所以为四棱锥外接球的球心，

所以

22. （1）在中，由三角形面积公式得，

由正弦定理得：，

整理得：，由余弦定理得：，

又，故.

因为为锐角三角形，所以，，所以，

所以

因为，所以，

故.

(2) 由,得为正三角形

设．

在BDE和ADF中，由正弦定理，得，

化简得． ，

因为，

当且仅当时，等号成立