新高考数学一轮复习《椭圆》精选练习（含答案详解）

这是一份新高考数学一轮复习《椭圆》精选练习（含答案详解），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习《椭圆》精选练习一              、选择题1.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　)A.       B.     C.2﹣       D.﹣12.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A.1       B.         C.2       D.23.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A.m＞1       B.m＞0     C.0＜m＜5且m≠1     D.m≥1且m≠54.过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)A.4x＋3y﹣13＝0       B.3x＋4y﹣13＝0C.4x﹣3y＋5＝0        D.3x﹣4y＋5＝05.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)A.2         B.        C.        D.6.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，﹣1)，则E的标准方程为(　　)A.＋＝1      B.＋＝1    C.＋＝1       D.＋＝17.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)A.        B.        C.          D.8.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(　　)A.         B.          C.           D.9.已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.[,1)       B.[,1)    C.(0,]       D.(0,]10.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A.2       B.3       C.6       D.811.已知直线y＝1﹣x与双曲线ax2＋by2＝1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为﹣，则的值为(　　)A.﹣       B.﹣      C.﹣         D.﹣12.设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)A.(0，1]∪[9，＋∞)       B.(0，]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)       D.(0，]∪[4，＋∞)二              、填空题13.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________.14.过点(，﹣)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.15.椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是________.16.抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(﹣m，0)，则的最小值为________.三              、解答题17.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.19.已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点.(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.20.已知P点坐标为(0，﹣2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.21.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值.
0.答案解析1.答案为：D.解析：[法一：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e﹣1＝0，又0＜e＜1，解得e＝﹣1.故选D.法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，所以e＝＝＝﹣1.故选D.]2.答案为：D.解析：[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号).即长轴长2a的最小值为2.]3.答案为：D.解析：[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，只需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]4.答案为：B.解析：设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意得①﹣②得＋＝0，又P(3，1)是AB的中点.∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝﹣.故直线AB的方程为y﹣1＝﹣(x﹣3)，即3x＋4y﹣13＝0，故选B.5.答案为：C.解析：[设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2﹣1＝0，由题意知Δ＝(2t)2﹣5(t2﹣1)＞0即t2＜5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝﹣，x1x2＝，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号).]6.答案为：D.解析：[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝﹣2，①﹣②得＋＝0，所以kAB＝＝﹣＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2﹣b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.]7.答案为：D.解析：由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.8.答案为：B.解析：[如图，F为月球的球心，月球半径为：×3 476＝1 738，依题意，|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.∴2a＝1 838＋2 138，即 a＝1 988，∴a＋c＝2 138, c＝2 138﹣1 988＝150，故椭圆的离心率为：e＝＝≈，选B.]9.答案为：B.解析：[∵F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，∴0＜e＜1，F1(﹣c，0)，F2(c，0)，c2＝a2﹣b2.设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x﹣c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.联立方程组整理得，x2＝(2c2﹣a2)·≥0，解得e≥.又0＜e＜1，∴≤e＜1.]10.答案为：C.解析：由题意知，O(0，0)，F(﹣1，0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3﹣x2，∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵﹣2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]11.答案为：A.解析：[由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0，①   ax＋by＝0，②由①﹣②得a(x﹣x)＝﹣b(y﹣y)，整理得·＝﹣，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝﹣，又知kAB＝﹣1，∴﹣×(﹣1)＝﹣，∴＝﹣，故选A.]12.答案为：A.解析：由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大.①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1.图1　　　　　　　图2②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴m≥9.综上，m的取值范围(0，1]∪[9，＋∞)，故选A.二              、填空题13.答案为：(3，4)∪(4，5).解析：[由已知得解得3＜k＜5且k≠4.]14.答案为：＋＝1.解析：[法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，﹣4)，(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2﹣b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25﹣9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).∵c2＝16，且c2＝a2﹣b2，故a2﹣b2＝16.①又点(，﹣)在所求椭圆上，∴＋＝1，则＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.]15.答案为：[，].解析：因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.由a﹣c≤|PF1|≤a＋c，解得≤≤. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是[，].]16.答案为：.解析：[设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，则()2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，所以≥，所以的最小值为.]三              、解答题17.解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2﹣4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2﹣4×9×(2m2﹣4)＝﹣8m2＋144.(1)当Δ＞0，即﹣3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ＜0，即m＜﹣3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.18.解：(1)由题意知e＝＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆方程为＋＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x﹣1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝﹣(x﹣1).将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2﹣8k2x＋4k2﹣12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1﹣x2|＝·＝.同理，|CD|＝＝.所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x﹣y﹣1＝0或x＋y﹣1＝0.19.解：(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝﹣2，x2＝﹣，所以M(﹣,).(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2﹣4＝0.则xA＋xM＝，xM＝﹣xA﹣＝2﹣＝.同理，可得xN＝.由(1)知若存在定点，则此点必为P(﹣,0).证明如下：因为kMP＝＝＝，同理可计算得kPN＝.所以直线MN过x轴上的一定点P(﹣,0).20.解：(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).设Q(x0，y0)，则由＝，得代入椭圆方程得b2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx﹣2.联立 消去y并整理得(1＋4k2)x2﹣16kx＋12＝0.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(﹣16k)2﹣48(1＋4k2)＞0，解得k2＞.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得 因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1﹣2)(kx2﹣2)＝(1＋k2)x1x2﹣2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·﹣2k·＋4＞0，解得k2＜4，综上可得＜k2＜4，则＜k＜2或﹣2＜k＜﹣.则满足条件的斜率k的取值范围为(﹣2，﹣)∪(，2).21.解：(1)由于c2＝a2﹣b2，将x＝﹣c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，即a＝2b2.又e＝＝，所以a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(﹣，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x﹣(x0＋)y＋y0＝0，lPF2：y0x﹣(x0﹣)y﹣y0＝0.由题意知＝.由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.所以＝.因为﹣＜m＜，﹣2＜x0＜2，可得＝，所以m＝x0，因此﹣＜m＜.(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y﹣y0＝k(x﹣x0).联立得整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0﹣k2x0)x＋4(y﹣2kx0y0＋k2x﹣1)＝0.由题意Δ＝0，即(4﹣x)k2＋2x0y0k＋1﹣y＝0.又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝﹣.由(2)知＋＝＋＝，所以＋＝(＋)＝(﹣)·＝﹣8，因此＋为定值，这个定值为﹣8.