2022-2023学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷及答案

这是一份2022-2023学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，封选出符合题目要求的一项。
1．（5分）＝（　　）
A．20 B．40 C．60 D．120
2．（5分）随机变量ξ的分布列如表：则a+b＝（　　）
ξ
1
2
3
P
a
b

A． B． C． D．
3．（5分）已知随机变量X～B（3，），则P（X≥1）的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）展开式中，二项式系数最大的项是（　　）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
5．（5分）一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到或判断出能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大取值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（5分）数学课外活动小组的4名同学和他们的2位辅导老师排成一排照相合影，要求2位老师不排在两端，不同的排法共有（　　）
A．720种 B．288种 C．96种 D．48种
7．（5分）现有100件产品，其中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）天宫空间站是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分．假设有6名航天员（4男2女）在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在同一个舱内，则不同的安排方案种数为（　　）
A．36 B．30 C．18 D．14
10．（5分）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（　　）

A．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减
B．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年
C．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万
D．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）4!＝　 　．（用数字作答）
12．（5分）已知X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.3，则P（X＝1）＝　 　．
13．（5分）若小明投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，恰有1次命中的概率是 　 　．
14．（5分）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 　 　．
15．（5分）的展开式中，x3的系数是 　 　；第四项的二项式系数是 　 　．
16．（5分）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球（不放回），直至取到白球后停止取球．给出下列四个结论：
①抽取2次后停止取球的概率为；
②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为；
③取球次数X的期望为2；
④取球次数X的方差为．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分。
17．（14分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（Ⅰ）求甲、乙、丙都通过测试的概率；
（Ⅱ）求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
（Ⅲ）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
18．（14分）根据下列条件进行计算：
（Ⅰ）若，求n的值；
（Ⅱ）已知，求x+y的值．
19．（14分）抢“微信红包”已经成为人们欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20个同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
对这20个数据进行分组，各组的频数如下：
组别
红包金额分组
频数
A
0≤x＜40
2
B
40≤x＜80
9
C
80≤x＜120
m
D
120≤x＜160
3
E
160≤x＜200
n
（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）从A，E两组数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率；
（Ⅲ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1，，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小．（只需写出结论）
20．（14分）为了保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量超过2160度且在4200度以下（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．电力部门从本省的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量（度）
1000
1260
1400
1824
2180
2423
2815
3325
4411
4600
以表中抽到的10户作为样本，估计全省居民的用电情况，并将频率视为概率．
（Ⅰ）从全省居民用电户中随机地抽取1户，估计抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率；
（Ⅱ）若从全省居民用电户中随机抽取2户，若抽到用电量为第一阶梯的有X户，求X的分布列与数学期望．
21．（14分）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%．为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

2022-2023学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，封选出符合题目要求的一项。
1．（5分）＝（　　）
A．20 B．40 C．60 D．120
【分析】根据组合数公式进行计算，即可．
【解答】解：＝＝＝20．
故选：A．
【点评】本题考查组合数公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）随机变量ξ的分布列如表：则a+b＝（　　）
ξ
1
2
3
P
a
b

A． B． C． D．
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求解．
【解答】解：根据随机变量分布列的性质得，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
3．（5分）已知随机变量X～B（3，），则P（X≥1）的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：∵随机变量X～B（3，），
∴P（X＝0）＝＝，
∴P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
4．（5分）展开式中，二项式系数最大的项是（　　）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【分析】根据二项式定理以及二项式系数的性质即可求解．
【解答】解：对于二项式（x+）8，因为n＝8，
所以二项式系数最大的项为第5项．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用以及二项式系数的性质，属于基础题．
5．（5分）一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到或判断出能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大取值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】利用逐次试验的性质能求出结果．
【解答】解：由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，
∴剩余的钥匙一定能打开锁，
∴开锁次数X可能取的最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查随机试验的运算，考查逐次试验的性质等基础知识，是基础题．
6．（5分）数学课外活动小组的4名同学和他们的2位辅导老师排成一排照相合影，要求2位老师不排在两端，不同的排法共有（　　）
A．720种 B．288种 C．96种 D．48种
【分析】利用排列组合知识，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：先从4名同学中选出2人排在两端，有＝12种，
再把其余2名同学和2位辅导老师排列在中间4个位置，有＝24种，
根据分步乘法计数原理可知，不同的排法共有12×24＝288种．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
7．（5分）现有100件产品，其中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，由古典概型概率计算公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，还有4件次品，95件正品；
则第二次抽到正品的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查古典概型及条件概率，考查学生的分析能力，属于基础题．
8．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，从而得到这三个人获得第一名是等概率事件，由此给求出结果．
【解答】解：∵甲和乙都不可能是第一名，
∴第一名只可能是丙、丁或戊，
又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，
∴这三个人获得第一名是等概率事件，
∴丙是第一名的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）天宫空间站是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分．假设有6名航天员（4男2女）在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在同一个舱内，则不同的安排方案种数为（　　）
A．36 B．30 C．18 D．14
【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可．
【解答】解：将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为＝30，
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为＝12，
所以满足条件的方案数为30﹣12＝18种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
10．（5分）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（　　）

A．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减
B．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年
C．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万
D．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%
【分析】由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果．
【解答】解：由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：
在A中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A正确；
在B中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B正确；
在C中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C正确；
在D中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）4!＝　24　．（用数字作答）
【分析】利用排列数公式求解．
【解答】解：4！＝4×3×2×1＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了排列数公式，属于基础题．
12．（5分）已知X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.3，则P（X＝1）＝　0.7　．
【分析】根据两点分布的性质解答即可．
【解答】解：X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.3，P（X＝1）＝1﹣0.3＝0.7．
故答案为：0.7．
【点评】本题考查两点分布的应用，属于基础题．
13．（5分）若小明投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，恰有1次命中的概率是 　　．
【分析】根据题意，由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若小明投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，
则恰有1次命中的概率P＝（）2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查n次独立重复试验中恰有k次发生的概率，涉及相互独立事件的定义，属于基础题．
14．（5分）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 　　．
【分析】根据题意，设A＝甲地下雨，B＝乙地下雨，由条件概率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设A＝甲地下雨，B＝乙地下雨，
则P（A）＝20%，P（B）＝18%，P（AB）＝12，
则乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率P（A|B）＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
15．（5分）的展开式中，x3的系数是 　240　；第四项的二项式系数是 　20　．
【分析】利用二项展开式的通项公式、二项式系数的公式，求解即可．
【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•26﹣r•，
令6﹣r＝3可得r＝2，故x3的系数是：（﹣1）²••24＝240，
第四项的二项式系数是＝20．
故答案为：240，20．
【点评】本题考查二项式定理，属于基础题．
16．（5分）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球（不放回），直至取到白球后停止取球．给出下列四个结论：
①抽取2次后停止取球的概率为；
②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为；
③取球次数X的期望为2；
④取球次数X的方差为．
其中所有正确结论的序号是 　②④　．
【分析】设取球次数为X，可知随机变量X的可能取值有1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误；计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为P（X＝1）+P（X＝2），可判断出B选项的正误；利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量X的期望和方差，可判断CD选项的正误．
【解答】解：设取球次数为X，可知随机变量X的可能取值有1，2，3，
则P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
对于①选项，抽取2次后停止取球的概率为P（X＝2）＝，故错误；
对于②选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P（X＝1）+P（X＝2）＝，故正确；
对于③选项，取球次数X的期望为E（X）＝1×+2×+3×＝，故错误；
对于④选项，取球次数X的方差为D（X）＝（1﹣）²×+（2﹣）²×+（3﹣）²×＝，故正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分。
17．（14分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（Ⅰ）求甲、乙、丙都通过测试的概率；
（Ⅱ）求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
（Ⅲ）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
【分析】根据相互独立事件的概率公式，即可求出答案．
【解答】解：设事件A＝“甲通过测试”，事件B＝“乙通过测试”，事件C＝“丙通过测试”，
（Ⅰ）∵3人之间的测试互不影响，相互独立，
∴P（ABC）＝P（A）•P（B）•P（C）＝0.6×0.8×0.9＝0.432；
（Ⅱ）P（BC）＝P（）•P（B）•P（C）＝（1﹣0.6）×0.8×0.9＝0.288；
（Ⅲ）设事件D＝“甲、乙、丙至少有一人通过”，则＝“甲、乙、丙三人都没通过”，
P（D）＝1﹣P（）＝1﹣（0.4×0.2×0.1）＝0.992．
【点评】本题考查的是相互独立事件的概率公式，较为简单，属于基础题．
18．（14分）根据下列条件进行计算：
（Ⅰ）若，求n的值；
（Ⅱ）已知，求x+y的值．
【分析】（Ⅰ）根据组合数公式计算；
（Ⅱ）利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：（Ⅰ）＝＝66，
解得n＝12或﹣11（舍去），
所以n的值为12；
（Ⅱ）∵，
∴＝x+y，
∴17+12＝x+y，
∴x＝17，y＝12，
∴x+y＝29．
【点评】本题主要考查了组合数公式，考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
19．（14分）抢“微信红包”已经成为人们欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20个同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
对这20个数据进行分组，各组的频数如下：
组别
红包金额分组
频数
A
0≤x＜40
2
B
40≤x＜80
9
C
80≤x＜120
m
D
120≤x＜160
3
E
160≤x＜200
n
（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）从A，E两组数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率；
（Ⅲ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1，，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小．（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）由题意求出m＝4，n＝2，从而能求出这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组；
（Ⅱ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192，任取两个数据，利用列举法能求出这2个数据差的绝对值大于100的概率；
（Ⅲ）根据平均数和方差的定义判断．
【解答】解：（Ⅰ）由题意求出m＝4，n＝2，
这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组；
（Ⅱ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192，
任取两个数据，可能的组合有6种结果，分别为：
（22，22），（22，162），（22，192），（22，162），（22，192），（162，192），
记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括（22，162），（22，192），（22，162），（22，192）4种结果，
∴这2个数据差的绝对值大于100的概率；
（Ⅲ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，
则v1＜v2，＜．
【点评】本题考查频数分布表的应用，考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（14分）为了保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量超过2160度且在4200度以下（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．电力部门从本省的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量（度）
1000
1260
1400
1824
2180
2423
2815
3325
4411
4600
以表中抽到的10户作为样本，估计全省居民的用电情况，并将频率视为概率．
（Ⅰ）从全省居民用电户中随机地抽取1户，估计抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率；
（Ⅱ）若从全省居民用电户中随机抽取2户，若抽到用电量为第一阶梯的有X户，求X的分布列与数学期望．
【分析】（Ⅰ）从表中可得，这10户中有4户的用电量为第一阶梯，从这10户中随机抽取1户，抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是，得解；
（Ⅱ）由（1）可得从全省居民用电户中随机抽取2户，抽到用电量为第一阶梯的户数X满足，然后求出X的分布列与数学期望即可．
【解答】解：（Ⅰ）从表中可以看出，这10户中有4户的用电量为第一阶梯，从这10户中随机抽取1户，抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是，
即从全省居民用电户中随机抽取1户，估计抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从全省居民用电户中随机抽取1户，抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是，
则从全省居民用电户中随机抽取2户，抽到用电量为第一阶梯的户数X满足，
由题意有X的所有可能取值为0，1，2，
又，
则，，，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P



数学期望．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列，重点考查了离散型随机变量的期望，属基础题．
21．（14分）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%．为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
【分析】（1）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，根据计数原理和概率乘法公式求解即可；
（2）根据概率公式计算即可得到p＜0.05，故说明实验合理．
【解答】解：（1）X的取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
则分布列为：
X
0
1
2
P



则数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝1，
（2）通过实验却认定新药无效的概率为p，则p＝C100（）0（）10+C101（）1（）9＝＜0.05，
故实验合理．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．