必修第二册+综合测试（一）-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

这是一份必修第二册+综合测试（一）-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）必修第二册综合测试（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则(a－b)a＋b＝(　　)
A．4 B．2
C．1 D．－1
2、某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取样本量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(　　)
A.12 B.18 C.24 D.36
3、已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
4、抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于(　　)
A. B. C. D.1
5、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A. B. C. D.
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为(　　)
A.2 B. C. D.
7、创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉．为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　)

A．年收入在[500,600)(单位：万元)的中小企业约有16家
B．样本的中位数大于400万元
C．估计当地中小企业年收入的平均数为367万元
D．样本在区间[500,700]内的频数为18
8、已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝2，∠BAC＝，若球O的体积为π，则这个直三棱柱的体积等于(　　)
A．8 B．4
C．8 D．4
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、下列是古典概型的是(　　)
A.从6名同学中，随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀地骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
10、将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有(　　)
A.B＝∅
B.C＝“向上的一面出现的点数大于3”
C.A＋C＝“向上的一面出现的点数不小于3”
D.＝“向上的一面出现的点数为2”
11、如图，△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有(　　)

A．sin A＝ B．BD＝1
C．5＝3 D．△BCD的面积为
12、如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是(　　)

A．翻折到某个位置，使得DA1⊥EC
B．翻折到某个位置，使得A1C⊥平面A1DE
C．四棱锥A1­DCBE体积的最大值为
D．点M在某个球面上运动
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
14、下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________.
15、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________.
16、在三棱锥P­ACB中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝1，AC＝.三棱锥P­ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为________；若点M是△ABC的重心，则过点M的平面截球O所得截面的面积的最小值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x).
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．








18、某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.


注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.


19、如图，设几何体的三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．

(1)证明：平面ABC∥平面A1B1C1；
(2)若AA1＝2AC，AC⊥AB，M为CC1中点，证明：A1M⊥平面ABM.







20、累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.








21、在①asin B＝b；

②△ABC的面积S△ABC＝bc；③bc＝b2＋c2－a2这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，b＋c＝6，________.
(1)求a的最小值；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．








22、在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P-ABCD的体积．

人教A版（2019）必修第二册综合测试（一）（答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则(a－b)a＋b＝(　C　)
A．4 B．2
C．1 D．－1
解：由(1＋i3)z＝2＋i，i3＝－i可得
z＝＝＝＝a＋bi，所以a＝，b＝，从而(a－b)a＋b＝(－1)2＝1.
2、某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取样本量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(　D　)
A.12 B.18 C.24 D.36
解：根据分层随机抽样方法知＝，解得n＝36.
3、已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　D　)
A.2 B.1 C. D.
解：由正弦定理＝⇒b＝＝.
4、抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于(　B　)
A. B. C. D.1
解：A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，
所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况，故P(A∪B)＝＝
5、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　D　)
A. B. C. D.
解：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.
由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，
设向量a＋b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝，
又0≤θ≤π，所以θ＝.
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为(　C　)
A.2 B. C. D.
解：如图，取BC的中点O，连接OE，OF，
∵F是B1C的中点，
∴OF∥B1B，
∴FO⊥平面ABCD，
∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角.
设正方体的棱长为2，则FO＝1，EO＝，
∴EF与平面ABCD所成的角的正切值为.
7、创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉．为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　D　)

A．年收入在[500,600)(单位：万元)的中小企业约有16家
B．样本的中位数大于400万元
C．估计当地中小企业年收入的平均数为367万元
D．样本在区间[500,700]内的频数为18
解：由频率分布直方图，得
(0.001＋0.002＋0.002 6＋0.002 6＋x＋0.000 4)×100＝1，解得x＝0.001 4.
年收入在[500,600)(单位：万元)的中小企业约有0.001 4×1
因为(0.001＋0.002)×100＝0.30.5.
所以样本的中位数小于400万元，故B不正确；
由题图知，全国中小企业年收入的平均数为[0.001×150＋0.002×250＋0.002 6×(350＋450)＋0.001 4×550＋0.000 4×650]×100＝376(万元)，所以估计当地中小企业年收入的平均数为376万元，故C不正确；
样本在区间[500,700]内的频数为(0.001 4＋0.000 4)×100×100＝18，故D正确．
8、已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝2，∠BAC＝，若球O的体积为π，则这个直三棱柱的体积等于(　A　)
A．8 B．4
C．8 D．4
解：设球O的半径为R，∵球O的体积为π，∴＝π，解得R＝2.∵AB＝AC＝2，∠BAC＝，∴BC＝2，S△ABC＝×22×sin ＝.记△ABC外接圆的半径为r，则2r＝＝4，可得r＝2.设球心到底面的距离为h，则h＝＝4，∴这个直三棱柱的体积V＝2h·S△ABC＝2×4×＝8.
三、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、下列是古典概型的是(　ABD　)
A.从6名同学中，随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀地骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解：ABD为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不适合等可能性，故不为古典概型.
10、将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有(　BC　)
A.B＝∅
B.C＝“向上的一面出现的点数大于3”
C.A＋C＝“向上的一面出现的点数不小于3”
D.＝“向上的一面出现的点数为2”
解：由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；
事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；
事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6.
所以B＝“向上的一面出现的点数为2”，故A错误；
C＝“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；
A＋C＝“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；
＝Ω，故D错误，故选BC.
11、如图，△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有(　BCD　)

A．sin A＝ B．BD＝1
C．5＝3 D．△BCD的面积为
解：由cos 2∠ABC＝－，得2cos2∠ABC－1＝－，又∠ABC为钝角，解得cos∠ABC＝－.因为c＝2，b＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，得＝a2＋4－4a×，解得a＝2，可知△ABC为等腰三角形，即A＝C，所以cos∠ABC＝－cos 2A＝－(1－2sin2A)＝－，解得sin A＝，故A错误．cos A＝＝，在Rt△ABD中，＝cos A，得AD＝，可得BD＝＝＝1，故B正确．CD＝b－AD＝－＝，可得＝，则5＝3，故C正确．S△BCD＝a·CDsin C＝×2××＝，故D正确．
12、如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是(　ACD　)

A．翻折到某个位置，使得DA1⊥EC
B．翻折到某个位置，使得A1C⊥平面A1DE
C．四棱锥A1­DCBE体积的最大值为
D．点M在某个球面上运动
解：　由题意，可计算得AD＝AE＝A1D＝A1E＝1，DE＝EC＝，所以DE2＋EC2＝CD2＝4，即DE⊥EC.
对于B，取DE的中点为F，对于A，若DA1⊥EC，因为DA1∩DE＝D，DA1，DE⊂平面A1DE，所以EC⊥平面A1DE，又EC⊂平面ABCD面A1DE⊥平面ABCD，即将△ADE翻折到垂直于平面ABCD时，可使得DA1⊥EC，，所以平故A正确．
连接A1F，CF，易得A1F＝，CF＝.若A1C⊥平面A1DE，则A1C⊥A1E，A1C⊥A1F，因为A1C2＝CF2－A1F2＝2－2＝2，A1C2＝EC2－A1E2＝()2－12＝1，显然2≠1，所以A1C⊥平面A1DE不成立，故B不正确．
对于C，设h为点A1到平面ABCD的距离，则＝S四边形DCBE·h，因为S四边形DCBE＝＝为定值，所以当h取得最大值时，四棱锥A1­DCBE的体积最大，显然将△ADE翻折到垂直于平面ABCD时h取得最大值，此时＝××＝，故C正确．
对于D，取CD的中点为N，连接MN，则MN是△A1CD的中位线，所以MN＝A1D＝为定值，所以点M在以N为球心，MN为半径的球面上(点M所在的球不唯一，存在即可)，故D正确．故选ACD.
四、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝__3______.
解：由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|2＝18，|b|＝3.
14、下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________.
解：2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的样本点有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的样本点有2种.
故第2位走出的是女同学的概率是P＝＝.
15、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为____3____.
解：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为BD：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又＝(1，0)，＝(0，2)，则＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r＝.
P点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.
16、在三棱锥P­ACB中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝1，AC＝.三棱锥P­ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为____　____；若点M是△ABC的重心，则过点M的平面截球O所得截面的面积的最小值为________．
解：如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥BC.

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
所以三棱锥P­ABC的外接球的球心O为PC的中点，
所以球O的半径R＝PC＝＝＝.
取AC的中点D，连接OD，BD，则M在BD上．连接OM，由题意，知当OM与过M的截面垂直时，所得截面的面积最小．
因为DM＝BD＝×＝×＝，所以OM＝＝＝，则此时截面圆的半径r＝＝，所以所得截面的面积的最小值为π×2＝.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x).
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x).
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
所以2x－1＝－7，
即x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角是.
18、某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.


注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.
解　(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3.
则从5人中任意选取2人共有10种，抽取的2人中没有一名男生有3种，则至少有一名男生有7种.故至少有一名男生的概率为P＝，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.
19、如图，设几何体的三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．

(1)证明：平面ABC∥平面A1B1C1；
(2)若AA1＝2AC，AC⊥AB，M为CC1中点，证明：A1M⊥平面ABM.
解：　(1)∵侧面AA1B1B是矩形，∴A1B1∥AB.
又A1B1⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.
同理可得A1C1∥平面ABC.
∵A1B1∩A1C1＝A1，
∴平面ABC∥平面A1B1C1.
(2)∵侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形，∴A1A⊥AB.
又AC⊥AB，A1A∩AC＝A，
∴AB⊥平面AA1C1C.
∵A1M⊂平面AA1C1C，∴AB⊥A1M.
∵M为CC1的中点，AA1＝2AC，
∴△ACM，△A1C1M都是等腰直角三角形，
∴∠AMC＝∠A1MC1＝45°，∠A1MA＝90°，
即A1M⊥AM.
而AB∩AM＝A，∴A1M⊥平面ABM.
20、累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
解　(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为
1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为
＋＋＋＝.
21、在①asin B＝b；

②△ABC的面积S△ABC＝bc；③bc＝b2＋c2－a2这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，b＋c＝6，________.
(1)求a的最小值；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：选①，
由正弦定理得sin Asin B＝sin B，
因为sin B≠0，所以sin A＝，
因为A为锐角，所以A＝.
选②，
因为S△ABC＝bcsin A＝bc，
所以sin A＝，
因为A为锐角，所以A＝.
选③，
易得cos A＝＝＝，
因为A为锐角，所以A＝.
(1)　在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－3bc＝36－3bc，
因为bc≤2＝9，当且仅当b＝c＝3时取等号，
所以36－3bc≥36－27，即a2≥9，解得a≥3，
所以a的最小值为3.
(2)由题意，设∠ACD＝θ，因为AD＝CD，所以∠CAD＝θ，θ∈，在△ABD中，∠BAD＝－θ，B＝π－θ，AD＝2BD，
由正弦定理＝，
即＝，可得2sin＝sin，
即cos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ，
所以sin θ－cos θ＝0，即sin＝0，
又－＜θ－＜，所以θ－＝0，即θ＝，所以C＝，B＝，
所以△ABC为直角三角形．
22、在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P-ABCD的体积．
解：(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.
证明如下：如图，连接MC，PM.由△PAD是等边三角形，

可得PM⊥AD，
而平面PAD⊥平面ABCD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，可得PM⊥平面ABCD，
又PM⊂平面PMC，可得平面PCM⊥平面ABCD.
(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，
由(1)可得MC＝AB＝MD＝a，
则CD＝a，PD＝2a，PM＝a，
由PM⊥MC，可得PC＝＝＝2a，
而△PCD的面积为·a·＝a2＝8，可得a＝4，
四棱锥P-ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PM＝××(4＋8)×4×4＝32.