重庆市开州中学2022-2023学年高二下学期期末模拟考试数学试题（二）

这是一份重庆市开州中学2022-2023学年高二下学期期末模拟考试数学试题（二），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市开州中学高2024届高二下期末模拟试题（二）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2020·咸阳百灵学校）已知在处可导，则（ ）
A．与，有关 B．仅与有关，而与无关
C．仅与有关，而与无关 D．与，均无关
2. 在某市2023年3月份的高三质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100).已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A．1 500名 B．1 700名 C．4 500名 D．8 000名
3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）
A． B． C． D．
4. 已知(1－2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中，x4的系数为(　　)
A．－672 B．672 C．－280 D．280
5．（2023秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则不同情况的种数有（ ）
A．120 B．60 C．45 D．30
8．（2021·福建·莆田一中高二期末）已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）下列命题中，正确的命题的序号为（    ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大
10．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）若，则下列说法正确的有（    ）
A． B．
C． D．除以5所得的余数是1
11．（2023·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）近期,某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（    ）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.
C．若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.
D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法.
12. （2023·重庆·开州中学中学月考）已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．恒成立
C．恒成立 D．若，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如表：
已知y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为________万元.
14. 下列说法正确的序号是
①如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个；
②在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位
③函数的单调递增区间是；
④若过点可以作曲线的两条切线，则，
15. （2023重庆·四川外国语大学附属外国语学校校联考期中）如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同填数方法有______种．
16．已知函数，．若在上恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分) （2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数
(1)若，求函数在区间上的最值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．




18．(本小题12分) 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，(反比例函数模型可用转化为线性回归模型；指数函数模型可转化为和x的线性回归模型)现已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数；
(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0．01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．
参考数据：，，，，，，(其中，
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，相关系数







19．(本小题12分) （2023·广东珠海·高三校联考阶段练习）2023年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．











20．(本小题12分) （2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.















21．(本小题12分) （2023春·广东汕头·高三统考开学考试）深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
(1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：、、、，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：、、、.则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：.













22．(本小题12分) （2022·山东威海·三模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．




参考答案
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2020·咸阳百灵学校）已知在处可导，则（ ）
A．与，有关 B．仅与有关，而与无关
C．仅与有关，而与无关 D．与，均无关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数定义进行判断选择.
【详解】
表示的意义是求，即求在处的导数，它仅与有关，与无关．选B.
【点睛】
本题考查导数定义,考查基本分析识别能力,属基础题.
2. 在某市2023年3月份的高三质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100).已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A．1 500名 B．1 700名 C．4 500名 D．8 000名
【解析】因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98，100)，
所以P(X>108)＝[1－P(88≤X≤108)]
＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]
≈×(1－0.682 7)＝0.158 65.
所以0.158 65×9 455≈1 500.
故选A.
3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以内的素数有四个，而以内的孪生素数有，根据古典概型的概率公式计算即可.
【详解】由题知，
以内的素数有，，，，
则是，，，，
符合孪生素数的有，
则所求概率为.
故选：C
4. 已知(1－2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中，x4的系数为(　　)
A．－672 B．672
C．－280 D．280
【解析】由题意，易得2n－1＝64，
所以n－1＝6，即n＝7.
故(1－2x)7(1＋x)的展开式中含x4的项为C(－2x)4＋C(－2x)3·x
＝(16C－8C)x4＝280x4.
所以x4的系数为280.
故选D.
5．（2023秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型公式，结合条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为所有基本事件的个数为，三次抽到的号码之和为6，包括3次号码都不一样，分别是1，2，3，基本事件的个数为；号码都一样全是2，基本事件的个数为1，故事件包含的基本事件的个数为，事件包含的基本事件的个数为1，事件包含的基本事件个数为1，
所以，，
由条件概率公式可得，
故选：C．
6．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，

由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则不同情况的种数有（ ）
A．120 B．60 C．45 D．30
【答案】B
【分析】可分2步进行分析：①在5人中任选2人，抢两个2元的红包；②经剩下的2个红包分给剩下的3人中的2个人，最后由分步计数原理，即可求解．
【详解】根据题意，可分2步进行分析：
①在5人中任选2人，抢两个2元的红包，有种情况；
②经剩下的2个红包分给剩下的3人中的2个人，有种情况，
由分步计数原理可得，共有种不同的情况．
8．（2021·福建·莆田一中高二期末）已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
等式可化为，，
构造函数在单调递减，最小值为，最大值为，
构造函数，求导，
当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则，，的最小值为，
因为对任意，总存在唯一的，使得成立，
则，即.
故答案为B.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）下列命题中，正确的命题的序号为（    ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大
【答案】BCD
【分析】由二项分布的均值与方差公式计算判断选项A，由方差的性质判断选项B，由正态分布的对称性判断选项C，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断选项D．
【详解】对于A，，解得，A错误；
对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；
对于C，服从正态分布，，C正确；
对于D，，则，
由，解得，所以．D正确．
故选：BCD．
10．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）若，则下列说法正确的有（    ）
A． B．
C． D．除以5所得的余数是1
【答案】AB
【分析】令，将式子化成，然后利用赋值法分别求出选项对应的系数
【详解】令，则，
对于A，令，可得，即，
令，可得，又，
所以，故A正确；
对于B，由题可知1798，故B正确；
对于C，令，所以，
所以，所以，故C错误；
对于D，因为，
所以除以5所得的余数是1，故D错误.
故选:AB.
11．（2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）近期,某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（    ）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.
C．若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.
D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法.
【答案】ABD
【分析】对于A，直接用全排列公式求解即可；
对于B，先选一个区无人去，然后将四名医生分成3组，再全排，最后用分步乘法计数原理求解即可；
对于C，使用间接法求解即可得解；
对于D，使用隔板法求解可得结果.
【详解】对于A，若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.故A正确；
对于B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法.故B正确；
对于C，若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法.故C不正确；
对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有种不同的安排方法.故D正确.
故选：ABD.
12. 已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．恒成立
C．恒成立 D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，，设恒成立，所以单增，则，故A正确；
对于B，，设恒成立，则恒成立，则，故B正确；
对于C，，设，则恒成立在上单增，在单减，则，故C错误；
D. 令,所以设，所以，所以时，单调递增，时，单调递减. 因为，所以，等价于，
等价于等价于等价于，设，所以，所以时，，所以在单调递增.所以，所以，则，所以D选项正确
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如表：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为________万元.
【解析】当x＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，表格中对应y＝60，于是残差为60－50＝10(万元).
14. 下列说法正确的序号是
①如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个；
②在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位
③函数的单调递增区间是；
④若过点可以作曲线的两条切线，则，
【答案】②④
【解析】对于①，因为经验回归方程必过样本点的中心，并非样本点，故①错误；
对于②，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故②正确；
对于③因，令，解得或，故其单调增区间为，不能用“”表示，故①错误
对于④，设切点，所以切线斜率，则切线方程为，因切线过点，所以，即方程有两解，
设，得，
则在上单增，在上单减，
要使过点可以作曲线的两条切线，则，故④正确
【答案】②④
15. （2023重庆·四川外国语大学附属外国语学校校联考期中）如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同填数方法有______种．

【答案】264
【分析】按使用数字数的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定填A，D，E三点填法数，再讨论点B，F，C的填法数即可.
【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法：

当用四个数字时，先填A，E，D，有种填法，再从B，F，C中选一处填第四个数，如B，再填F，
若F与D同，则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有种填法，
当用三个数字时，先填A，E，D，有种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有种填法，
利用分类加法计数原理得不同填数方法为：(种)，
所以不同的填数方法共有264种.
故答案为：264
16．已知函数，．若在上恒成立，则的取值范围为 ．
分析：1）对函数进行求导得，再解不等式得到函数的单调区间；
（2）将不等式恒成立等价转化为，再构造函数，利用导数研究函数的最小值.
【解析】（1）.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)由得
也就是，令
则=，由知，.
设，，在单调递增，
又，所以存在使得，
即.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增;
所以=.
所以的取值范围是.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分) （2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数
(1)若，求函数在区间上的最值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案.
（2）根据题意知，分参得，即可得到答案.
【详解】（1），因为，所以，所以
，由，

又因，所以函数在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以且
所以
（2）因为函数在区间上为增函数，
所以在上恒成立
所以在上恒成立，所以
18．(本小题12分) 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，(反比例函数模型可用转化为线性回归模型；指数函数模型可转化为和x的线性回归模型)现已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数；

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0．01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．
参考数据：，，，，，，(其中，
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，相关系数
【答案】（1）；（2）用反比例函数模型拟合效果更好，估计为21元．
【解析】（1）令，则可转化为，
因为，所以，
则，所以
所以y关于x的回归方程为；
（2）y与的相关系数为
，
因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程：，(元)．
所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计为21元．

19．(本小题12分) （2023·广东珠海·高三校联考阶段练习）2023年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)品牌商选择方案2更好
【分析】（1）利用对立事件以及相互独立事件的概率公式进行求解.
（2）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式以及离散型随机变量分布列的写法求解.
（3）利用二项分布以及离散型随机变量分布列的期望计算进行比较.
【详解】（1）3人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有1人通过初赛的概率．
（2）依题意可能取值为0，1，2，3．
设事件A表示“甲参加市赛”，事件B表示“乙参加市赛”，事件C表示“丙参加市赛”，
则，
则，
，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2
3
P




（3）方案1：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，
且，所以元，
方案2：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，
方法1：则Z的所有可能取值为1800，2400，3000，3600，
由（2）知，Z的分布列为：
Z
1800
2400
3000
3600
P




则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
方法2：由（2）知，，
方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，
进入了市赛的选手再奖600元．则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．

20．(本小题12分) （2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
21．(本小题12分) （2023春·广东汕头·高三统考开学考试）深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

球队胜
球队负
总计
甲参加



甲未参加



总计



(1)求、、、、的值，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：、、、，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：、、、.则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：
















.
【答案】(1)，，，有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①；②；③多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次
【分析】（1）根据列联中的数据可求得、、、、的值，然后计算的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）①利用全概率公式可求得所求事件的概率；
②利用条件概率公式可求得所求事件的概率；
③计算出可得出结论.
【详解】（1）解：由列联表中的数据可得，，，
，
有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
（2）解：①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋 ”；表示“乙球员担当后卫”；
表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，
则
；
②；
③因为，
，
，
所以，，
所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次.
22．(本小题12分) （2022·山东威海·三模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
【答案】(1)的单增区间为；单减区间为，
(2)证明见解析
(1)，
当时，，
令，解得；令，解得或，
所以的单增区间为；单减区间为，．
(2)证明①：由题意知，是的两根，则，
，
将代入得，，
要证明，
只需证明，
即，
因为，所以，
只需证明，
令，则，只需证明，即，
令，
，
所以在上单调递减，可得，
所以，
综上可知，．
证明②：
设，
因为有两个极值点，所以，
解得，
因为，
所以，
，
由题意可知，
可得代入得，，
令，
，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调速增，
因为，所以，
由，
可得，所以，
所以，
所以，即．