初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径图片课件ppt
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径图片课件ppt,共20页。
1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗?
通过探究可以发现,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
易 错 提 醒因为直径是弦,弦是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”.
求证:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
分析:要证明圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明:如图,设CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上点C,D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD,交⊙O于点A′,垂足为M,连接OA,OA′.
在△OAA′中,∵OA=OA′,∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD,∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.这就是说,对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A′,因此 ⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
从以上证明可知,如果 ⊙O的直径CD垂直于弦AA′,垂足为M,那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时,点A和点A′重合,AM与A′M重合,弧AC,弧AD分别与弧A′C,弧A′D重合.因此,AM=A′M,弧AC=弧A′C,弧AD=弧A′D.即直径CD平分弦AA′,并且平分弧AA′,弧ACA′.
这样,我们就得到垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
特别提醒1. “垂直于弦的直径”中的“直径”,其实质是:过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
例1 赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有 1400 年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
分析:解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解:如图,用弧AB表示主桥拱,设弧AB 所在圆的圆心为 O,半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC,D 为垂足,OC 与弧 AB 相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C 是弧AB的中点,CD 就是拱高.
分析:构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.
1.下列说法中不正确的是( )A.经过圆心的直线是圆的对称轴B.直径是圆的对称轴C.圆的对称轴有无数条D.当圆绕它的圆心旋转60°时,仍会与原来的圆重合
2.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10 cm,OE=6 cm,则AB= cm.
3.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”,其卷九勾股定理篇记载:今有圆材埋于壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?如图,大意是,今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这个木材,锯口深CD等于1寸,锯道AB长1尺,则圆形木材的直径是( )(1尺=10寸)
A.12寸 B.13寸C.24寸 D.26寸
4.如图,已知AD 是⊙ O 的直径,BC 是⊙ O 的弦,AD ⊥ BC,垂足为点E,AE=BC=8,求⊙ O 的直径.
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