还剩29页未读，
继续阅读
2023年重庆市育才中学教育集团中考数学二诊试卷（含解析）
展开
这是一份2023年重庆市育才中学教育集团中考数学二诊试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年重庆市育才中学教育集团中考数学二诊试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 2022年，全国企业年金投资资产净值为2.83万亿元.将2.83万亿用科学记数法表示为( )
A. 2.83×10亿 B. 2.83×102亿 C. 2.83×103亿 D. 2.83×104亿
3. 下列校徽不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O，△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，若OA′=2，则OA的长度为( )
A. 6
B. 12
C. 18
D. 20
5. 估算 48−2的结果在( )
A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间
6. 小明如图叠放了一些星星，第1个图形有4颗星星，第2个图形有8颗星星，第3个图形有14颗星星，请问第9个图形的星星颗数为( )
A. 92 B. 88 C. 76 D. 64
7. 下列命题中，不成立的是( )
A. 两直线平行，内错角相等 B. 圆心角相等，则其对应的弧相等
C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 角平分线上的点到角的两边距离相等
8. 如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=3 2，若CE⋅DE=6，则正方形的面积为( )
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
9. 在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E在BC上，且BE=DE，若EC=4，BD=2 7，则⊙O的半径为( )
A. 247 B. 2 C. 12 77 D. 77
10. 定义一种新运算：a@b=ab(a>0)ab(a≤0)(b≠0)，下列说法：
①若3@x=x−2，则x1=3，x2=−1；
②若|x−1|@(−2)≥−2，则该不等式的解集为−3≤x≤5；
③代数式|[(−2)@x]−1|+|2−[(−3)@(−2x)]|+|[(−1)@(−x)]−2|取得最小值时，x=−12；
④函数y1=|(−1)@x|，函数y2=(−2)@(x2+x)，当−12y2；
以上结论正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. sin30°−|− 2|−38= ______ ．
12. 分解因式：16x2−1= ______ ．
13. 某学校有两个校门，甲、乙、丙三位同学随机选一个校门离开学校，三人都从同一校门离开的概率是______ ．
14. 如图，已知AB//CD，直线MN分别与直线ABCD交于点Q、E，QF平分∠EQG，FG⊥FQ交AB于G，若∠MEC=36°，则∠GFE= ______ ．
15. 如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC、弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，直线y=12x−4与反比例函数y=kx的图象交于A、C两点，与y轴交于点B，连接OC，OA，若△OCB与△OCA的面积之比为1：2，则k的值为______ ．
17. 若关于y的分式方程2y+ay−4+2a4−y=5有解，且关于x的一元一次不等式组x+33≤2+3x63x−2
(1)F(6312)= ______ ；
(2)若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且F(m)+3511能被7整除，则所有满足条件的“倍
和数”m的最大值与最小值的差为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(1)(a+2b)2−a(a+4b)；
(2)(2m−1+1)÷2m+2m2−2m+1．
20. (本小题10.0分)
如图，已知E是平行四边形ABCD对角线AC上的点，连接DE，过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF=∠ADE，连接BE、DF，证明四边形BFDE是平行四边形.解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过△ADE与△CBF全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决.请根据解答思路完成下面作图与填空：
(1)尺规作图：过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF=∠ADE，连接BE、DF(保留作图痕迹，不写作法与证明)；
(2)证明：∵在四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=① ______ ，AD//BC，
∴∠DAE=② ______ ，
在△ADE与△CBF中，
∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴③ ______ =BF，∠AED=∠BFC，
∴ ______ ，
∴四边形DEBF是平行四边形．
21. (本小题10.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，某学校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛，现从七、八年级中各随机抽取了50名学生的成绩，并进行整理、描述和分析(比赛成绩用x表示，共分为五个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70，E：0≤x<60)下面给出了部分信息：①七年级B等级中由低到高的10个数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85.②两个年级学生防溺水安全知识比赛成绩统计图：七年级选取的学生比赛成绩频数分布直方图八年级选取的学生比赛成绩扇形统计图，③七、八年级选取的学生比赛成绩统计表如表：
年级
平均数
中位数
众数
A等级所占的百分比
七年级
84
a
76
b
八年级
84
81
75
22%
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)根据以上数据，你认为在此次比赛中，哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握较好？请说明理由(说
明一条理由即可)：
(3)若该校七年级共有900名学生，八年级共有1000名学生，请估计两个年级此次比赛成绩达到A等级
的学生人数．
22. (本小题10.0分)
为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工，经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的1.5倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤.已知甲队施工一天的费用为3.2万元，乙队施工一天的费用为2.8万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
23. (本小题10.0分)
“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点.如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为30°，DE⊥CE，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡DN．
(1)求观景平台MN的长；(结果保留根号)
(2)小育在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A、B、C、D、E在同一个平面内，点A、C、E在同一条直线上，且AB⊥AE，求轻轨所穿楼栋AB的高度.(结果精确到0.1米， 2≈1.414， 3≈1.732)
24. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动.设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y，请解答下列问题：
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质：______ ；
(3)若直线y=kx+2与该函数图象有且只有2个交点，则k的取值范围为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=23x2+43x−2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图1，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE//y轴交线段AC于E点，过点E作EG//BC交y轴于点G，求DE+ 55EG的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移 133个单位长度得到新抛物线y′，点M为原抛物线的顶点，动点N为新抛物线y′对称轴上一点，当△BMN为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N坐标的其中一种情况的过程．
26. (本小题10.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转角α得线段BE，连接CE、DE，其中CE与AB交于点F．
(1)如图1，若D为AC中点，α=90°，BC=4，求BF的长；
(2)如图2，若∠ABE=∠ADB，猜想线段AD，BF的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在(2)的条件下，将△BDE沿BD翻折得△BDE′，M为AB的中点，连接ME′，当ME′最小时，在△BCD内找一点P，使 3PB+2PD+ 7PC的值最小，若BC=4，直接写出 3PB+2PD+ 7PC的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
根据相反数的定义求解即可．
【解答】
解：2的相反数为：−2．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：2.83万亿=2.83亿×104=2.83×104亿．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，
∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′//AB，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴OAOA′=ABA′B′，
∵△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，
∴ABA′B′=3，
∴OAOA′=3，
∵OA′=2，
∴OA=6，
故选：A．
根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′B′//AB，得到△ABO∽△A′B′O，根据相似三角形的性质得到OAOA′=ABA′B′，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ 36< 48< 49，
∴6< 48<7，
∴4< 48−2<5．
故选：B．
由于 36< 48< 49，根据算术平方根得到6< 48<7，即可判断 48−2的范围．
本题主要考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
6.【答案】A
【解析】解：∵第1个图形中星星的个数为：4=1×2+2，
第2个图形中星星的个数为：8=2×3+2，
第3个图形中星星的个数为：14=3×4+2，
…，
∴第n个图形中星星的个数为：n(n+1)+2，
∴第9个图形中星星的个数为：9×10+2=92．
故选：A．
第1个图形中星星的个数为：4=1×2+2，第2个图形中星星的个数为：8=2×3+2，第3个图形中星星的个数为：14=3×4+2，…，据此可求得第n个图形中星星的个数，从而可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由图形总结出存在的规律．
7.【答案】B
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等，成立，不符合题意；
B、同圆或等圆中，圆心角相等，则其对应的弧相等，故原命题不成立，符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，成立，不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，不符合题意．
故选：B．
利用平行线的性质、圆周角定理、平行四边形的性质及角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点O作OM⊥CE交EC延长线于M，作ON⊥DE于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∠COM=∠DON∠N=∠CMO=90°OC=OD，
∴△COM≌△DON(AAS)，
∴OM=ON，CM=DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE=3 2，
∴2NE2=OE2=(3 2)2=18，
∴NE=ON=3，
∵DE+CE=DE+EM+MC=DE+EM+DN=EN+EM=2EN=6，
设DE=a，CE=b，
∴a+b=6，
∵CE⋅DE=6，
CD2=a2+b2=(a+b)2−2ab=62−2×6=24，
∴S正方形ABCD=24．
故选：C．
过点O作OM⊥CE交EC延长线于M，作ON⊥DE于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，CM=DN，然后判断出四边形OMEN是正方形，根据CE⋅DE=6即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
9.【答案】C
【解析】解：连接CD，DO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，∠B+∠A=90°，
∵OA=OD，EB=ED，
∴∠A=∠ADO，∠B=∠BDE，
∴∠ADO+∠BDE=90°，
∴∠ODE=180°−(∠ADO+∠BDE)=90°，
∴∠ODC+∠EDC=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠DCE，
∴ED=EC，
∴ED=EC=BE=4，
∴BC=BE+EC=8，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°−∠ADC=90°，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴BDBC=BCBA，
∴2 78=8BA，
∴BA=32 77，
∴AC= AB2−BC2= (32 77)2−82=24 77，
∴⊙O的半径为12 77，
故选：C．
连接CD，DO，根据已知∠ACB=90°，可得∠OCD+∠DCE=90°，∠B+∠A=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ADO，∠B=∠BDE，从而可得
∠ADO+∠BDE=90°，进而可得∠ODC+∠EDC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ODC=∠OCD，从而可得∠EDC=∠DCE，进而可得ED=EC=BE=4，最后根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，从而可得∠BDC=90°，再利用射影定理可得BC2=BD⋅BA，从而求出BA的长，再在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①由题意得：3x=x−2，
∴x2−2x−3=0，
解得：x1=3，x2=−1，
检验：当x1=3，x2=−1时，x≠0；
∴x1=3，x2=−1是原分式方程的解，故①正确；
②当x−1=0时，x=1，0×(−2)>0，此情况成立；
当x−1≠0时，x≠1，|x−1|>0，
∴|x−1|@(−2)=|x−1|−2，
∴|x−1|−2≥−2，
∴|x−1|≤4，
解得：−3≤x≤5，
综上所述：−3≤x≤5，故②正确；
③由题意得：|[(−2)@x]−1|+|2−[(−3)@(−2x)]|+|[(−1)@(−x)]−2|
=|−2x−1|+|2−6x|+|x+2|
=2|x+12|+6|x−13|+|x+2|，
取得最小值时，x=13，故③错误；
④y1=|x|，y2=−2x2−2x，
在同一平面直角坐标系中的图象，如图所示：
A(−12,−12)，
当12y2；
故④正确．
故选：C．
根据新定义运算法则进行判断即可．
本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．
11.【答案】− 2−32
【解析】解：原式=12− 2−2
=− 2−32．
故答案为：− 2−32．
利用特殊角的三角函数值，绝对值的意义和立方根的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，绝对值的意义和立方根的意义，熟练掌握上述分子与性质是解题的关键．
12.【答案】(4x+1)(4x−1)
【解析】解：原式=(4x+1)(4x−1)，
故答案为：(4x+1)(4x−1)，
用平方差公式分解因式．
本题考查因式分解−运用公式法，掌握用平方差公式分解因式是解题关键．
13.【答案】14
【解析】解：设两个校门分别记为A，B，
画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三人都从同一校门离开的结果有2种，
∴三人都从同一校门离开的概率为28=14．
故答案为：14．
画树状图得出所有等可能的结果数以及三人都从同一校门离开的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】108°
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠EQG=∠MEC=36°，
∵QF平分∠EQG，
∴∠FQG=12∠EQG=18°，
∵FG⊥FQ，
∴∠GFQ=90°，
∴∠FGQ=90°−18°=72°，
∴∠GFE=180°−72°=108°，
故答案为：108°．
根据两直线平行，同位角相等得出∠EQG，进而利用角平分线的定义和垂直的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
15.【答案】8 3
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AD于点F，交⊙O于点E，连接OD，则OA=OE=OD，
由折叠对称可知，OF=EF=12OA，
∴∠OAD=30°，
∴∠OED=2∠OAD=60°，
∴△ODE是等边三角形，
∴S不规则三角形BBOD=S扇形BOD−S弓形OD
=S扇形BOD−(S扇形ODE−S△ODE)
=S△ODE
=12×4×( 32×4)
=4 3，
∴S阴影部分=2S不规则三角形BOD=8 3，
故答案为：8 3．
根据对称性和直角三角形的边角关系求出扇形圆心角度数，再根据各个部分面积之间的关系进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，垂径定理、直角三角形的边角关系以及折叠轴对称的性质，掌握扇形面积的计算方法以及轴对称的性质是正确解答的前提．
16.【答案】−6
【解析】解：∵△OCB与△OCA的面积之比为1：2，
∴△OCB与△OBA的面积之比为1：3，
∴点A的横坐标是点C横坐标的3倍，
设C(m,12m−4)则A(3m,32m−4)，
∵反比例函数y=kx的图象过A、C两点，
∴k=m(12m−4)=3m(32m−4)，
解得m1=2，m2=0(舍去)，
∴k=m(12m−4)=−6，
故答案为：−6．
根据题意得出点A的横坐标是点C横坐标的3倍，设C(m,12m−4)则A(3m,32m−4)，由反比例函数系数k=xy得出k=m(12m−4)=3m(32m−4)，解方程求得m=2，进一步即可求得k=−6．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，根据三角形面积的比得出点A的横坐标是点C横坐标的3倍是解题的关键．
17.【答案】26
【解析】解：由2y+ay−4+2a4−y=5，得：y=20− a3，
∵方程有解，
∴20− a3≠4，
∴a≠8，
解不等式组x+33≤2+3x63x−2
∴4
∴所有满足条件的整数a的值之和为7+9+10=26．
故答案为：26．
由一元一次不等式组有解求出a的范围，解分式方程得到y=20− a3，由分式方程有解且至多有2个整数解，得到a的值即可求出答案．
本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式组，理解分式方程的增根的定义以及一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．
18.【答案】2187 3816
【解析】解：(1)根据题意得，F(6312)=631+632+612+312=2187，
故答案为：2187；
(2)设m的千位数字为a，百位数字为b，
∵“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，
∴m的个位数字为(8−a)，
∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，
∴百位上的数字与十位上的数字之和为4，
∴m的十位数字为(4−b)，
∴m=ab(4−b)(8−a)−(1≤a≤7,1≤b≤3且a，b为整数)，
∴F(m)=ab(4−b)−+ab(8−a)−+a(4−b)(8−a)−+b(4−b)(8−a)−
=100a+10b+(4−b)+100a+10b+(8−a)+100a+10(4−b)+(8−a)+100b+10(4−b)+(8−a)
=297a+99b+108，
∵F(m)+3511=297a+99b+108+3511=11(27a+9b+13)11=27a+9b+13=7(4a+b+2)+2b−a−1能被7整除，
∴2b−a−1能被7整除，
∵1≤a≤7，1≤b≤3且a，b为整数，
∴−7≤2b−a−1≤4，
∴2b−a−1=−7或0，
∴2b=a−6(不符合题意)或2b=a+1，
∴a=1，b=1或a=3，b=2或a=5，b=3，
∴m=1137或3225或5313，
∴所有满足条件的“倍和数”m的最大值与最小值的差为5313−1137=4176，
故答案为：3816．
(1)根据题意直接计算，即可求出答案；
(2)设m的千位数字为a，百位数字为b，得出m=ab(4−b)(8−a)−(1≤a≤7,1≤b≤3且a，b为整数)，进而得出F(m)=ab(4−b)−+ab(8−a)−+a(4−b)(8−a)−+b(4−b)(8−a)−=297a+99b+108，再根据F(m)+3511=7(4a+b+2)+2b−a−1能被7整除，得出2b=a+1，即可求出答案．
此题主要考查了新定义，整除问题和数学问题，得出2b=a+1是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)(a+2b)2−a(a+4b)
=a2+4ab+4b2−a2−4ab
=4b2；
(2)(2m−1+1)÷2m+2m2−2m+1
=2+m−1m−1⋅(m−1)22(m+1)
=m+1m−1⋅(m−1)22(m+1)
=m−12．
【解析】(1)根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】BC ∠BCF DE DE//BF
【解析】解：(1)如图所示：
(2)证明：∵在四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=①BC，AD//BC，
∴∠DAE=②∠BCF，
在△ADE与△CBF中，
∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴③DE=BF，∠AED=∠BFC，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
故答案为：BC，∠BCF，DE，DE//BF．
(1)作∠CBM=∠ADE，其中BM交CD于F即可；
(2)由于△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质得到DE=BF，∠AED=∠BFC，根据等角的补角相等可得∠DEF=∠BFE，则DE//BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21.【答案】82 24% 30
【解析】解：(1)七年级学生成绩的中位数是由低到高排列的第25，26个数据的平均数，
由七年级学生成绩频数分布直方图可知：等级E，D，C供22个数据，
所以第25，26个数据需由B等级由低到高的10个数中取，
可得第25，26个数据为81，83，
∴a=81+832=82；
∵七年级A等级有12人，共50个数据，
∴b=1250×100%=24%；
八年级成绩扇形统计图和七、八年级成绩统计表可得：
m%=100%−22%−36%−6%−6%=30%，
∴m=30．
故答案为：82，24%，30；
(2)七年级的学生对防溺水安全知识掌握较好．
理由如下：
从中位数看：七年级成绩的中位数>八年级成绩的中位数，所以七年级成绩较好；
从众数看：七年级成绩的众数>八年级成绩的众数，所以七年级成绩较好；
从高分段(A等)看：七年级高分占比>八年级高分占比，所以七年级成绩较好．
(说明一条理由即可)
(3)∵900×24%=216(人)，
∴七年级此次比赛成绩达到A等级的学生人数约为216人；
∵1000×22%=220(人)，
∴八年级此次比赛成绩达到A等级的学生人数约为220人．
(1)根据中位数的意义，判断出七年级比赛成绩的中位数是数据由低到高排列的第25，26个数据的平均数，再根据E，D，C数据个数和B等级给出的数据确定出第25，26个数据计算即可得到a的值；
将七年级学生比赛成绩A等级人数除以50，再化成百分比即可得b的值；
将100%减去A，C，D，E的百分比，即得B的百分比，从而确定出m的值；
(2)可从中位数，众数，A等级(高分段)方面比较说明即可；
(3)分别将七，八年级A等级所占百分比乘以该年级学生数，即可作出估计．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，以及平均数，中位数，众数，能准确地从统计图表中获取信息，掌握相关概念的意义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是1.5x米，
根据题意得：1200x−12001.5x=2，
解得：x=200，
经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×200=300．
答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度是200米；
(2)设乙队施工y天，则甲队施工(y+2)天，
根据题意得：300(y+2)+200y=4100，
解得：y=7，
∴3.2(y+2)+2.8y=3.2×(7+2)+2.8×7=48.4．
答：完成该条河道清淤施工的总费用为48.4万元．
【解析】(1)设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是1.5x米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入1.5x中，即可得出甲队每天清淤的河道长度；
(2)设乙队施工y天，则甲队施工(y+2)天，利用工作总量=工作效率×工作时间，可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入3.2(y+2)+2.8y中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23.【答案】解：(1)如图：
由题意得：MF⊥DE，FM//EC，
∴∠DMF=∠DCE=30°，
∵DC=42米，CM=12米，
∴DM=CD−CM=30(米)，
在Rt△DFM中，DF=12DM=15(米)，FM= 3DF=15 3(米)，
在Rt△DFN中，∠DNF=45°，
∴FN=DFtan45∘=15(米)，
∴MN=FM−FN=(15 3−15)米，
∴观景平台MN的长为(15 3−15)米；
(2)如图：
由题意得：FN=EP=15米，EF=AH，FH=EA，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=42米，
∴DE=12CD=21(米)，CE= 3DE=21 3(米)，
∵AC=30米，
∴FH=AE=AC+CE=(30+21 3)米，
∴NH=FH−FN=30+21 3−15=(21 3+15)米，
在Rt△BNH中，∠BNH=30°，
∴BH=NH⋅tan30°=(21 3+15)× 33=(21+5 3)米，
∵DF=15米，
∴EF=AH=DE−DF=21−15=6(米)，
∴AB=BH+AH=27+6 3≈35.7(米)，
∴轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米．
【解析】(1)根据题意可得：MF⊥DE，FM//EC，从而可得∠DMF=∠DCE=30°，根据已知可得DM=30米，然后在Rt△DFM中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF，FM的长，再在Rt△DFN中，利用锐角三角函数的定义求出FN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)根据题意可得：FN=EP=15米，EF=AH，FH=EA，在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE，EC的长，从而求出AE的长，进而求出NH的长，然后在Rt△BNH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一) −27≤k<13
【解析】解：(1)过点P作PH⊥AC于点H，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，则AC=5，
则sinA=45，AO=CO=52．
当点P在AB上运动时，
则y=12AO⋅PH=12×AO⋅AP⋅sinA=12×52x×45=x；
当点P在BC上运动时，
同理可得：y=12×52×(7−x)×35=−34x+214，
即y=x(0≤x≤3)−34x+214(3
(2)当x=0时，y=0，当x=3时，y=3，当x=7时，y=0，
将上述3个点描点连线绘制函数图象如下：
从图象看，当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一)，
故答案为：当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一)；
(3)当直线在m、n的位置时，为直线y=kx+2与该函数图象有且只有2个交点的临界点，
将点(3,3)代入y=kx+2得：3=3k+2，则k=13；
将点(7,0)代入y=kx+2得：0=7k+2，则k=−27；
则−27≤k<13，
故答案为：−27≤k<13．
(1)当点P在AB上运动时，则y=12×AO×PH，即可求解；当点P在BC上运动时，同理可得：y=12×52×(7−x)×35=−34x+214，进而求解；
(2)当x=0时，y=0，当x=3时，y=3，当x=7时，y=0，将上述3个点描点连线绘制函数图象，进而求解；
(3)当直线在m、n的位置时，为直线y=kx+2与该函数图象有且只有2个交点的临界点，即可求解．
本题考查反一次函数综合运用，涉及到一次函数的图象、解不等式等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)令y=0，则y=23x2+43x−2=0，
解得x=−3或x=1，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
∴AB=4，
令x=0，则y=−2，
∴C(0,−2)，
∴OC=2，
∴△ABC的面积为：12⋅AB⋅OC=12×4×2=4；
(2)如图1，过点E作EF⊥y轴于点F，
∴∠EFG=∠BOC=90°，
∵EG//BC，
∴∠EGF=∠BCO，
∴△GEF∽△CBO，
∴EG：EF=BC：OB，
在△OBC中，OB=1，OC=2，
∴BC= 5，
∴EG：EF=BC：OB= 5：1，
∴EF= 55EG，
∴DE+ 55EG=DE+EF，
设点D的横坐标为t，
∴D(t,23t2+43t−2)，
∵A(−3,0)，B(0,−2)，
∴直线AB的解析式为：y=−23x−2，
∴E(t,−23t−2)，
∴DE=−23t−2−(23t2+43t−2)=−23t2−2t，EF=−t，
∴DE+ 55EG=DE+EF=−23t2−2t−t=−23(t+94)2+278，
∴当t=−94时，DE+ 55EG的最大值为278，此时D(−94,−138).
(3)将抛物线沿射线CA方向平移 133个单位长度，即将抛物线向左平移1个单位，向上平移23个单位，
∵y=23x2+43x−2=23(x+1)2−83，
∴y′=23(x+2)2−2，
∵点M为原抛物线的顶点，动点N为新抛物线y′对称轴上一点，
∴M(−1,−83)，N的横坐标为x=−2，
设点N(−2,m)，
∵B(1,0)，
∴BM2=(−1−1)2+(−83)2，MN2=(−2+1)2+(m+83)2，BN2=(−2−1)2+m2，
若△BMN为等腰三角形时，则需要分以下三种情况：
①BM=BN，则(−1−1)2+(−83)2=(−2−1)2+m2，
解得m=± 193，
②BM=MN，则(−1−1)2+(−83)2=(−2+1)2+(m+83)2，
解得m=−83± 913，
③BN=MN，则(−2−1)2+m2=(−2+1)2+(m+83)2，
解得m=16，
综上，符合题意的点N的坐标为(−2, 193)或(−2,− 193)或(−2,−83− 913)或(−2,−83+ 913)或(−2,16).
【解析】(1)令x=0可求出点C的坐标；令y=0，可得出点A，B的坐标，由此可得出AB，OC的长，根据三角形面积公式可得出结论；
(2)过点E作EF⊥y轴于点F，可得△GEF∽△CBO，可得EF= 55EG，则DE+ 55EG=DE+EF，设点D的坐标，分别表达DE和EF的长，根据二次函数的性质可得出结论；
(3)根据题意可得到y′的解析式，进行可得出点N的横坐标，若△BMN为等腰三角形，需要分类讨论，得出关于m的方程，求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积问题，二次函数的性质，等腰三角形的存在性等相关问题，(2)将DE+ 55EG转化为DE+EF是解题关键；(3)得出平移后y′的对称轴，进行正确的分类讨论是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，BC=4，
∴AB=AC=BC=4，AD=DC=12AC=2，BD⊥AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠CBD=30°，
∴BD= 42−22=2 3，
∴．BE=BD=2 3，
∵a=90°，
∴∠ABE=60°，
∴∠ABE=∠A，
∵∠BFE=∠AFC，
∴△BFE∽△AFC，
∴BFAF=BEAC，
∴BFAF+BF=BEAC+BE.BFAB=BEAC+BE，
∴BE4=2 34+2 3，
解得BF=8 3−12；
(2)解：AD=2BF.理田如下：延长CB到点M，使CB=BM，连接EM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠MBE=180°−∠ABC−∠ABE=120°−∠ABE，
∠ABD=180°−∠A−∠ADB=120°−∠ADB，
∵∠ABE=∠ADB，
∴∠MBE=∠ABD，在△MBE和△ABD中，
MB=AB∠MBE=∠ABDBE=BD，
∴△MBE≌△ABD(SAS)，
∴ME=AD，∠BME=∠A=∠ABC=60°，
∴ME//BF，
∴CBBM=CFFE，
∴CF=FE，
∴BF是△MEC的中位线，
∴ME=2BF，
∴AD=2BF．
(3)解：如图所示，设ME′交BC于点G，
由(2)可得，△M′BE≌△ABD，
∴∠EMB=∠DAB=60°，∠M′BE=∠ABD，
∵∠ABM′=120°，
∴∠DBE=120°，
∵翻折，
∴∠DBE′=120°，∠M′BE=∠ABD=∠E′BC′，
将△ABD绕B点顺时针旋转120°得到△C′BE′，
∴C′E′−AD=2BF，∠BC′E′=60°，△C′BC是等边三角形，
∵∠CBC=∠BCE′=60°，
∴E′C′//BC，
∴当ME′⊥BC时，ME′最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠GBE′+∠DBH=∠DBE′−∠HBC=120°−30°=90°=90°，
∠HDB+∠DBH=90°，
∴∠BDH=∠E′BG，
在△BDH和△E′BG中，
∠DHB=∠BGE∠BDH=∠E′BGBD=BE′，
∴△BDH≌△E′BG(AAS)，
∴DH=BG，
∵MG⊥BC，∠MBG=60°，
BG=12BM=14BC=1，
∴DH=1，
∵AH=12AB=2，
∴AD=AH−DH=2−1=1，
∴DC=AC−AD=4−1=3，
如图所示，过点C作CQ⊥PC，CN⊥CD，垂足分别为C，且CQ=2 33CP′,CN=2 33CD′
∴△PCD∽△QCN，
∴QN=23 3CD，
在Rt△PCQ中，PC=a，则CQ=2 33a，
∴PQ= PC2+CQ2= 1+43a= 73a= 213a，
∴PQ= 213PC，
∴PB+2 33PD+ 213PC=PB+PQ+QN，
当B，P，Q，N四点共线时，取最小值，
如图所示，过点N作NS交BC的延长线于点S，
∵∠CND=90°，∠SCD=120°，
∴∠NCS=30°，
∵CD=3，CN=3×2 33=2 3，
∴NS= 3，CS=3，
∴BS=BC+CS=7，
∴PB+2 33PD+ 213PC≥BN= BS2+NS2= 72+3=2 13，
∴ 3PB+2PD+ 7PC= 3(PB+2 33PD+ 213PC)=2 13× 3=2 39．
【解析】(1)根据等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质计算即可．
(2)根据等边三角形的性质，三角形全等，三角形中位线定理证明即可．
(3)将△ABD绕B点顺时针旋转120°得到△C′BE′，则C′E′−AD=2BF，∠BC′E′=60°，△C′BC是等边三角形，当ME′⊥BC时，ME′最小，过点B作BH⊥AC于点H，由AAS证明△BDH≌△E′BG，得出DH=BG，推出AD与CD的长，过点C作CQ⊥PC，CN⊥CD，垂足分别为C，由△PCD∽△QCN，得出QN=23 3CD，推出PB+2 33PD+ 213PC=PB+PQ+QN，当B，P，Q，N四点共线时，取最小值，过点N作NS交BC的延长线于点S，求出NS与BS的值即可推出结果．
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，熟练掌等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理是解题的关键．
2023年重庆市育才中学教育集团中考数学二诊试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 2022年，全国企业年金投资资产净值为2.83万亿元.将2.83万亿用科学记数法表示为( )
A. 2.83×10亿 B. 2.83×102亿 C. 2.83×103亿 D. 2.83×104亿
3. 下列校徽不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O，△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，若OA′=2，则OA的长度为( )
A. 6
B. 12
C. 18
D. 20
5. 估算 48−2的结果在( )
A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间
6. 小明如图叠放了一些星星，第1个图形有4颗星星，第2个图形有8颗星星，第3个图形有14颗星星，请问第9个图形的星星颗数为( )
A. 92 B. 88 C. 76 D. 64
7. 下列命题中，不成立的是( )
A. 两直线平行，内错角相等 B. 圆心角相等，则其对应的弧相等
C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 角平分线上的点到角的两边距离相等
8. 如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=3 2，若CE⋅DE=6，则正方形的面积为( )
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
9. 在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E在BC上，且BE=DE，若EC=4，BD=2 7，则⊙O的半径为( )
A. 247 B. 2 C. 12 77 D. 77
10. 定义一种新运算：a@b=ab(a>0)ab(a≤0)(b≠0)，下列说法：
①若3@x=x−2，则x1=3，x2=−1；
②若|x−1|@(−2)≥−2，则该不等式的解集为−3≤x≤5；
③代数式|[(−2)@x]−1|+|2−[(−3)@(−2x)]|+|[(−1)@(−x)]−2|取得最小值时，x=−12；
④函数y1=|(−1)@x|，函数y2=(−2)@(x2+x)，当−12
以上结论正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. sin30°−|− 2|−38= ______ ．
12. 分解因式：16x2−1= ______ ．
13. 某学校有两个校门，甲、乙、丙三位同学随机选一个校门离开学校，三人都从同一校门离开的概率是______ ．
14. 如图，已知AB//CD，直线MN分别与直线ABCD交于点Q、E，QF平分∠EQG，FG⊥FQ交AB于G，若∠MEC=36°，则∠GFE= ______ ．
15. 如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC、弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，直线y=12x−4与反比例函数y=kx的图象交于A、C两点，与y轴交于点B，连接OC，OA，若△OCB与△OCA的面积之比为1：2，则k的值为______ ．
17. 若关于y的分式方程2y+ay−4+2a4−y=5有解，且关于x的一元一次不等式组x+33≤2+3x63x−2
(1)F(6312)= ______ ；
(2)若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且F(m)+3511能被7整除，则所有满足条件的“倍
和数”m的最大值与最小值的差为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(1)(a+2b)2−a(a+4b)；
(2)(2m−1+1)÷2m+2m2−2m+1．
20. (本小题10.0分)
如图，已知E是平行四边形ABCD对角线AC上的点，连接DE，过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF=∠ADE，连接BE、DF，证明四边形BFDE是平行四边形.解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过△ADE与△CBF全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决.请根据解答思路完成下面作图与填空：
(1)尺规作图：过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF=∠ADE，连接BE、DF(保留作图痕迹，不写作法与证明)；
(2)证明：∵在四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=① ______ ，AD//BC，
∴∠DAE=② ______ ，
在△ADE与△CBF中，
∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴③ ______ =BF，∠AED=∠BFC，
∴ ______ ，
∴四边形DEBF是平行四边形．
21. (本小题10.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，某学校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛，现从七、八年级中各随机抽取了50名学生的成绩，并进行整理、描述和分析(比赛成绩用x表示，共分为五个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70，E：0≤x<60)下面给出了部分信息：①七年级B等级中由低到高的10个数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85.②两个年级学生防溺水安全知识比赛成绩统计图：七年级选取的学生比赛成绩频数分布直方图八年级选取的学生比赛成绩扇形统计图，③七、八年级选取的学生比赛成绩统计表如表：
年级
平均数
中位数
众数
A等级所占的百分比
七年级
84
a
76
b
八年级
84
81
75
22%
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)根据以上数据，你认为在此次比赛中，哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握较好？请说明理由(说
明一条理由即可)：
(3)若该校七年级共有900名学生，八年级共有1000名学生，请估计两个年级此次比赛成绩达到A等级
的学生人数．
22. (本小题10.0分)
为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工，经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的1.5倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤.已知甲队施工一天的费用为3.2万元，乙队施工一天的费用为2.8万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
23. (本小题10.0分)
“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点.如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为30°，DE⊥CE，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡DN．
(1)求观景平台MN的长；(结果保留根号)
(2)小育在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A、B、C、D、E在同一个平面内，点A、C、E在同一条直线上，且AB⊥AE，求轻轨所穿楼栋AB的高度.(结果精确到0.1米， 2≈1.414， 3≈1.732)
24. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动.设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y，请解答下列问题：
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质：______ ；
(3)若直线y=kx+2与该函数图象有且只有2个交点，则k的取值范围为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=23x2+43x−2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图1，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE//y轴交线段AC于E点，过点E作EG//BC交y轴于点G，求DE+ 55EG的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移 133个单位长度得到新抛物线y′，点M为原抛物线的顶点，动点N为新抛物线y′对称轴上一点，当△BMN为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N坐标的其中一种情况的过程．
26. (本小题10.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转角α得线段BE，连接CE、DE，其中CE与AB交于点F．
(1)如图1，若D为AC中点，α=90°，BC=4，求BF的长；
(2)如图2，若∠ABE=∠ADB，猜想线段AD，BF的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在(2)的条件下，将△BDE沿BD翻折得△BDE′，M为AB的中点，连接ME′，当ME′最小时，在△BCD内找一点P，使 3PB+2PD+ 7PC的值最小，若BC=4，直接写出 3PB+2PD+ 7PC的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
根据相反数的定义求解即可．
【解答】
解：2的相反数为：−2．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：2.83万亿=2.83亿×104=2.83×104亿．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，
∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′//AB，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴OAOA′=ABA′B′，
∵△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，
∴ABA′B′=3，
∴OAOA′=3，
∵OA′=2，
∴OA=6，
故选：A．
根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′B′//AB，得到△ABO∽△A′B′O，根据相似三角形的性质得到OAOA′=ABA′B′，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ 36< 48< 49，
∴6< 48<7，
∴4< 48−2<5．
故选：B．
由于 36< 48< 49，根据算术平方根得到6< 48<7，即可判断 48−2的范围．
本题主要考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
6.【答案】A
【解析】解：∵第1个图形中星星的个数为：4=1×2+2，
第2个图形中星星的个数为：8=2×3+2，
第3个图形中星星的个数为：14=3×4+2，
…，
∴第n个图形中星星的个数为：n(n+1)+2，
∴第9个图形中星星的个数为：9×10+2=92．
故选：A．
第1个图形中星星的个数为：4=1×2+2，第2个图形中星星的个数为：8=2×3+2，第3个图形中星星的个数为：14=3×4+2，…，据此可求得第n个图形中星星的个数，从而可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由图形总结出存在的规律．
7.【答案】B
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等，成立，不符合题意；
B、同圆或等圆中，圆心角相等，则其对应的弧相等，故原命题不成立，符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，成立，不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，不符合题意．
故选：B．
利用平行线的性质、圆周角定理、平行四边形的性质及角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点O作OM⊥CE交EC延长线于M，作ON⊥DE于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∠COM=∠DON∠N=∠CMO=90°OC=OD，
∴△COM≌△DON(AAS)，
∴OM=ON，CM=DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE=3 2，
∴2NE2=OE2=(3 2)2=18，
∴NE=ON=3，
∵DE+CE=DE+EM+MC=DE+EM+DN=EN+EM=2EN=6，
设DE=a，CE=b，
∴a+b=6，
∵CE⋅DE=6，
CD2=a2+b2=(a+b)2−2ab=62−2×6=24，
∴S正方形ABCD=24．
故选：C．
过点O作OM⊥CE交EC延长线于M，作ON⊥DE于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，CM=DN，然后判断出四边形OMEN是正方形，根据CE⋅DE=6即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
9.【答案】C
【解析】解：连接CD，DO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，∠B+∠A=90°，
∵OA=OD，EB=ED，
∴∠A=∠ADO，∠B=∠BDE，
∴∠ADO+∠BDE=90°，
∴∠ODE=180°−(∠ADO+∠BDE)=90°，
∴∠ODC+∠EDC=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠DCE，
∴ED=EC，
∴ED=EC=BE=4，
∴BC=BE+EC=8，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°−∠ADC=90°，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴BDBC=BCBA，
∴2 78=8BA，
∴BA=32 77，
∴AC= AB2−BC2= (32 77)2−82=24 77，
∴⊙O的半径为12 77，
故选：C．
连接CD，DO，根据已知∠ACB=90°，可得∠OCD+∠DCE=90°，∠B+∠A=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ADO，∠B=∠BDE，从而可得
∠ADO+∠BDE=90°，进而可得∠ODC+∠EDC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ODC=∠OCD，从而可得∠EDC=∠DCE，进而可得ED=EC=BE=4，最后根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，从而可得∠BDC=90°，再利用射影定理可得BC2=BD⋅BA，从而求出BA的长，再在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①由题意得：3x=x−2，
∴x2−2x−3=0，
解得：x1=3，x2=−1，
检验：当x1=3，x2=−1时，x≠0；
∴x1=3，x2=−1是原分式方程的解，故①正确；
②当x−1=0时，x=1，0×(−2)>0，此情况成立；
当x−1≠0时，x≠1，|x−1|>0，
∴|x−1|@(−2)=|x−1|−2，
∴|x−1|−2≥−2，
∴|x−1|≤4，
解得：−3≤x≤5，
综上所述：−3≤x≤5，故②正确；
③由题意得：|[(−2)@x]−1|+|2−[(−3)@(−2x)]|+|[(−1)@(−x)]−2|
=|−2x−1|+|2−6x|+|x+2|
=2|x+12|+6|x−13|+|x+2|，
取得最小值时，x=13，故③错误；
④y1=|x|，y2=−2x2−2x，
在同一平面直角坐标系中的图象，如图所示：
A(−12,−12)，
当12
故④正确．
故选：C．
根据新定义运算法则进行判断即可．
本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．
11.【答案】− 2−32
【解析】解：原式=12− 2−2
=− 2−32．
故答案为：− 2−32．
利用特殊角的三角函数值，绝对值的意义和立方根的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，绝对值的意义和立方根的意义，熟练掌握上述分子与性质是解题的关键．
12.【答案】(4x+1)(4x−1)
【解析】解：原式=(4x+1)(4x−1)，
故答案为：(4x+1)(4x−1)，
用平方差公式分解因式．
本题考查因式分解−运用公式法，掌握用平方差公式分解因式是解题关键．
13.【答案】14
【解析】解：设两个校门分别记为A，B，
画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三人都从同一校门离开的结果有2种，
∴三人都从同一校门离开的概率为28=14．
故答案为：14．
画树状图得出所有等可能的结果数以及三人都从同一校门离开的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】108°
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠EQG=∠MEC=36°，
∵QF平分∠EQG，
∴∠FQG=12∠EQG=18°，
∵FG⊥FQ，
∴∠GFQ=90°，
∴∠FGQ=90°−18°=72°，
∴∠GFE=180°−72°=108°，
故答案为：108°．
根据两直线平行，同位角相等得出∠EQG，进而利用角平分线的定义和垂直的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
15.【答案】8 3
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AD于点F，交⊙O于点E，连接OD，则OA=OE=OD，
由折叠对称可知，OF=EF=12OA，
∴∠OAD=30°，
∴∠OED=2∠OAD=60°，
∴△ODE是等边三角形，
∴S不规则三角形BBOD=S扇形BOD−S弓形OD
=S扇形BOD−(S扇形ODE−S△ODE)
=S△ODE
=12×4×( 32×4)
=4 3，
∴S阴影部分=2S不规则三角形BOD=8 3，
故答案为：8 3．
根据对称性和直角三角形的边角关系求出扇形圆心角度数，再根据各个部分面积之间的关系进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，垂径定理、直角三角形的边角关系以及折叠轴对称的性质，掌握扇形面积的计算方法以及轴对称的性质是正确解答的前提．
16.【答案】−6
【解析】解：∵△OCB与△OCA的面积之比为1：2，
∴△OCB与△OBA的面积之比为1：3，
∴点A的横坐标是点C横坐标的3倍，
设C(m,12m−4)则A(3m,32m−4)，
∵反比例函数y=kx的图象过A、C两点，
∴k=m(12m−4)=3m(32m−4)，
解得m1=2，m2=0(舍去)，
∴k=m(12m−4)=−6，
故答案为：−6．
根据题意得出点A的横坐标是点C横坐标的3倍，设C(m,12m−4)则A(3m,32m−4)，由反比例函数系数k=xy得出k=m(12m−4)=3m(32m−4)，解方程求得m=2，进一步即可求得k=−6．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，根据三角形面积的比得出点A的横坐标是点C横坐标的3倍是解题的关键．
17.【答案】26
【解析】解：由2y+ay−4+2a4−y=5，得：y=20− a3，
∵方程有解，
∴20− a3≠4，
∴a≠8，
解不等式组x+33≤2+3x63x−2
∴4
∴所有满足条件的整数a的值之和为7+9+10=26．
故答案为：26．
由一元一次不等式组有解求出a的范围，解分式方程得到y=20− a3，由分式方程有解且至多有2个整数解，得到a的值即可求出答案．
本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式组，理解分式方程的增根的定义以及一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．
18.【答案】2187 3816
【解析】解：(1)根据题意得，F(6312)=631+632+612+312=2187，
故答案为：2187；
(2)设m的千位数字为a，百位数字为b，
∵“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，
∴m的个位数字为(8−a)，
∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，
∴百位上的数字与十位上的数字之和为4，
∴m的十位数字为(4−b)，
∴m=ab(4−b)(8−a)−(1≤a≤7,1≤b≤3且a，b为整数)，
∴F(m)=ab(4−b)−+ab(8−a)−+a(4−b)(8−a)−+b(4−b)(8−a)−
=100a+10b+(4−b)+100a+10b+(8−a)+100a+10(4−b)+(8−a)+100b+10(4−b)+(8−a)
=297a+99b+108，
∵F(m)+3511=297a+99b+108+3511=11(27a+9b+13)11=27a+9b+13=7(4a+b+2)+2b−a−1能被7整除，
∴2b−a−1能被7整除，
∵1≤a≤7，1≤b≤3且a，b为整数，
∴−7≤2b−a−1≤4，
∴2b−a−1=−7或0，
∴2b=a−6(不符合题意)或2b=a+1，
∴a=1，b=1或a=3，b=2或a=5，b=3，
∴m=1137或3225或5313，
∴所有满足条件的“倍和数”m的最大值与最小值的差为5313−1137=4176，
故答案为：3816．
(1)根据题意直接计算，即可求出答案；
(2)设m的千位数字为a，百位数字为b，得出m=ab(4−b)(8−a)−(1≤a≤7,1≤b≤3且a，b为整数)，进而得出F(m)=ab(4−b)−+ab(8−a)−+a(4−b)(8−a)−+b(4−b)(8−a)−=297a+99b+108，再根据F(m)+3511=7(4a+b+2)+2b−a−1能被7整除，得出2b=a+1，即可求出答案．
此题主要考查了新定义，整除问题和数学问题，得出2b=a+1是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)(a+2b)2−a(a+4b)
=a2+4ab+4b2−a2−4ab
=4b2；
(2)(2m−1+1)÷2m+2m2−2m+1
=2+m−1m−1⋅(m−1)22(m+1)
=m+1m−1⋅(m−1)22(m+1)
=m−12．
【解析】(1)根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】BC ∠BCF DE DE//BF
【解析】解：(1)如图所示：
(2)证明：∵在四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=①BC，AD//BC，
∴∠DAE=②∠BCF，
在△ADE与△CBF中，
∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴③DE=BF，∠AED=∠BFC，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
故答案为：BC，∠BCF，DE，DE//BF．
(1)作∠CBM=∠ADE，其中BM交CD于F即可；
(2)由于△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质得到DE=BF，∠AED=∠BFC，根据等角的补角相等可得∠DEF=∠BFE，则DE//BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21.【答案】82 24% 30
【解析】解：(1)七年级学生成绩的中位数是由低到高排列的第25，26个数据的平均数，
由七年级学生成绩频数分布直方图可知：等级E，D，C供22个数据，
所以第25，26个数据需由B等级由低到高的10个数中取，
可得第25，26个数据为81，83，
∴a=81+832=82；
∵七年级A等级有12人，共50个数据，
∴b=1250×100%=24%；
八年级成绩扇形统计图和七、八年级成绩统计表可得：
m%=100%−22%−36%−6%−6%=30%，
∴m=30．
故答案为：82，24%，30；
(2)七年级的学生对防溺水安全知识掌握较好．
理由如下：
从中位数看：七年级成绩的中位数>八年级成绩的中位数，所以七年级成绩较好；
从众数看：七年级成绩的众数>八年级成绩的众数，所以七年级成绩较好；
从高分段(A等)看：七年级高分占比>八年级高分占比，所以七年级成绩较好．
(说明一条理由即可)
(3)∵900×24%=216(人)，
∴七年级此次比赛成绩达到A等级的学生人数约为216人；
∵1000×22%=220(人)，
∴八年级此次比赛成绩达到A等级的学生人数约为220人．
(1)根据中位数的意义，判断出七年级比赛成绩的中位数是数据由低到高排列的第25，26个数据的平均数，再根据E，D，C数据个数和B等级给出的数据确定出第25，26个数据计算即可得到a的值；
将七年级学生比赛成绩A等级人数除以50，再化成百分比即可得b的值；
将100%减去A，C，D，E的百分比，即得B的百分比，从而确定出m的值；
(2)可从中位数，众数，A等级(高分段)方面比较说明即可；
(3)分别将七，八年级A等级所占百分比乘以该年级学生数，即可作出估计．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，以及平均数，中位数，众数，能准确地从统计图表中获取信息，掌握相关概念的意义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是1.5x米，
根据题意得：1200x−12001.5x=2，
解得：x=200，
经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×200=300．
答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度是200米；
(2)设乙队施工y天，则甲队施工(y+2)天，
根据题意得：300(y+2)+200y=4100，
解得：y=7，
∴3.2(y+2)+2.8y=3.2×(7+2)+2.8×7=48.4．
答：完成该条河道清淤施工的总费用为48.4万元．
【解析】(1)设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是1.5x米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队每天清淤的河道长度，再将其代入1.5x中，即可得出甲队每天清淤的河道长度；
(2)设乙队施工y天，则甲队施工(y+2)天，利用工作总量=工作效率×工作时间，可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入3.2(y+2)+2.8y中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23.【答案】解：(1)如图：
由题意得：MF⊥DE，FM//EC，
∴∠DMF=∠DCE=30°，
∵DC=42米，CM=12米，
∴DM=CD−CM=30(米)，
在Rt△DFM中，DF=12DM=15(米)，FM= 3DF=15 3(米)，
在Rt△DFN中，∠DNF=45°，
∴FN=DFtan45∘=15(米)，
∴MN=FM−FN=(15 3−15)米，
∴观景平台MN的长为(15 3−15)米；
(2)如图：
由题意得：FN=EP=15米，EF=AH，FH=EA，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=42米，
∴DE=12CD=21(米)，CE= 3DE=21 3(米)，
∵AC=30米，
∴FH=AE=AC+CE=(30+21 3)米，
∴NH=FH−FN=30+21 3−15=(21 3+15)米，
在Rt△BNH中，∠BNH=30°，
∴BH=NH⋅tan30°=(21 3+15)× 33=(21+5 3)米，
∵DF=15米，
∴EF=AH=DE−DF=21−15=6(米)，
∴AB=BH+AH=27+6 3≈35.7(米)，
∴轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米．
【解析】(1)根据题意可得：MF⊥DE，FM//EC，从而可得∠DMF=∠DCE=30°，根据已知可得DM=30米，然后在Rt△DFM中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF，FM的长，再在Rt△DFN中，利用锐角三角函数的定义求出FN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)根据题意可得：FN=EP=15米，EF=AH，FH=EA，在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE，EC的长，从而求出AE的长，进而求出NH的长，然后在Rt△BNH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一) −27≤k<13
【解析】解：(1)过点P作PH⊥AC于点H，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，则AC=5，
则sinA=45，AO=CO=52．
当点P在AB上运动时，
则y=12AO⋅PH=12×AO⋅AP⋅sinA=12×52x×45=x；
当点P在BC上运动时，
同理可得：y=12×52×(7−x)×35=−34x+214，
即y=x(0≤x≤3)−34x+214(3
(2)当x=0时，y=0，当x=3时，y=3，当x=7时，y=0，
将上述3个点描点连线绘制函数图象如下：
从图象看，当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一)，
故答案为：当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一)；
(3)当直线在m、n的位置时，为直线y=kx+2与该函数图象有且只有2个交点的临界点，
将点(3,3)代入y=kx+2得：3=3k+2，则k=13；
将点(7,0)代入y=kx+2得：0=7k+2，则k=−27；
则−27≤k<13，
故答案为：−27≤k<13．
(1)当点P在AB上运动时，则y=12×AO×PH，即可求解；当点P在BC上运动时，同理可得：y=12×52×(7−x)×35=−34x+214，进而求解；
(2)当x=0时，y=0，当x=3时，y=3，当x=7时，y=0，将上述3个点描点连线绘制函数图象，进而求解；
(3)当直线在m、n的位置时，为直线y=kx+2与该函数图象有且只有2个交点的临界点，即可求解．
本题考查反一次函数综合运用，涉及到一次函数的图象、解不等式等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)令y=0，则y=23x2+43x−2=0，
解得x=−3或x=1，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
∴AB=4，
令x=0，则y=−2，
∴C(0,−2)，
∴OC=2，
∴△ABC的面积为：12⋅AB⋅OC=12×4×2=4；
(2)如图1，过点E作EF⊥y轴于点F，
∴∠EFG=∠BOC=90°，
∵EG//BC，
∴∠EGF=∠BCO，
∴△GEF∽△CBO，
∴EG：EF=BC：OB，
在△OBC中，OB=1，OC=2，
∴BC= 5，
∴EG：EF=BC：OB= 5：1，
∴EF= 55EG，
∴DE+ 55EG=DE+EF，
设点D的横坐标为t，
∴D(t,23t2+43t−2)，
∵A(−3,0)，B(0,−2)，
∴直线AB的解析式为：y=−23x−2，
∴E(t,−23t−2)，
∴DE=−23t−2−(23t2+43t−2)=−23t2−2t，EF=−t，
∴DE+ 55EG=DE+EF=−23t2−2t−t=−23(t+94)2+278，
∴当t=−94时，DE+ 55EG的最大值为278，此时D(−94,−138).
(3)将抛物线沿射线CA方向平移 133个单位长度，即将抛物线向左平移1个单位，向上平移23个单位，
∵y=23x2+43x−2=23(x+1)2−83，
∴y′=23(x+2)2−2，
∵点M为原抛物线的顶点，动点N为新抛物线y′对称轴上一点，
∴M(−1,−83)，N的横坐标为x=−2，
设点N(−2,m)，
∵B(1,0)，
∴BM2=(−1−1)2+(−83)2，MN2=(−2+1)2+(m+83)2，BN2=(−2−1)2+m2，
若△BMN为等腰三角形时，则需要分以下三种情况：
①BM=BN，则(−1−1)2+(−83)2=(−2−1)2+m2，
解得m=± 193，
②BM=MN，则(−1−1)2+(−83)2=(−2+1)2+(m+83)2，
解得m=−83± 913，
③BN=MN，则(−2−1)2+m2=(−2+1)2+(m+83)2，
解得m=16，
综上，符合题意的点N的坐标为(−2, 193)或(−2,− 193)或(−2,−83− 913)或(−2,−83+ 913)或(−2,16).
【解析】(1)令x=0可求出点C的坐标；令y=0，可得出点A，B的坐标，由此可得出AB，OC的长，根据三角形面积公式可得出结论；
(2)过点E作EF⊥y轴于点F，可得△GEF∽△CBO，可得EF= 55EG，则DE+ 55EG=DE+EF，设点D的坐标，分别表达DE和EF的长，根据二次函数的性质可得出结论；
(3)根据题意可得到y′的解析式，进行可得出点N的横坐标，若△BMN为等腰三角形，需要分类讨论，得出关于m的方程，求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积问题，二次函数的性质，等腰三角形的存在性等相关问题，(2)将DE+ 55EG转化为DE+EF是解题关键；(3)得出平移后y′的对称轴，进行正确的分类讨论是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，BC=4，
∴AB=AC=BC=4，AD=DC=12AC=2，BD⊥AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠CBD=30°，
∴BD= 42−22=2 3，
∴．BE=BD=2 3，
∵a=90°，
∴∠ABE=60°，
∴∠ABE=∠A，
∵∠BFE=∠AFC，
∴△BFE∽△AFC，
∴BFAF=BEAC，
∴BFAF+BF=BEAC+BE.BFAB=BEAC+BE，
∴BE4=2 34+2 3，
解得BF=8 3−12；
(2)解：AD=2BF.理田如下：延长CB到点M，使CB=BM，连接EM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠MBE=180°−∠ABC−∠ABE=120°−∠ABE，
∠ABD=180°−∠A−∠ADB=120°−∠ADB，
∵∠ABE=∠ADB，
∴∠MBE=∠ABD，在△MBE和△ABD中，
MB=AB∠MBE=∠ABDBE=BD，
∴△MBE≌△ABD(SAS)，
∴ME=AD，∠BME=∠A=∠ABC=60°，
∴ME//BF，
∴CBBM=CFFE，
∴CF=FE，
∴BF是△MEC的中位线，
∴ME=2BF，
∴AD=2BF．
(3)解：如图所示，设ME′交BC于点G，
由(2)可得，△M′BE≌△ABD，
∴∠EMB=∠DAB=60°，∠M′BE=∠ABD，
∵∠ABM′=120°，
∴∠DBE=120°，
∵翻折，
∴∠DBE′=120°，∠M′BE=∠ABD=∠E′BC′，
将△ABD绕B点顺时针旋转120°得到△C′BE′，
∴C′E′−AD=2BF，∠BC′E′=60°，△C′BC是等边三角形，
∵∠CBC=∠BCE′=60°，
∴E′C′//BC，
∴当ME′⊥BC时，ME′最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠GBE′+∠DBH=∠DBE′−∠HBC=120°−30°=90°=90°，
∠HDB+∠DBH=90°，
∴∠BDH=∠E′BG，
在△BDH和△E′BG中，
∠DHB=∠BGE∠BDH=∠E′BGBD=BE′，
∴△BDH≌△E′BG(AAS)，
∴DH=BG，
∵MG⊥BC，∠MBG=60°，
BG=12BM=14BC=1，
∴DH=1，
∵AH=12AB=2，
∴AD=AH−DH=2−1=1，
∴DC=AC−AD=4−1=3，
如图所示，过点C作CQ⊥PC，CN⊥CD，垂足分别为C，且CQ=2 33CP′,CN=2 33CD′
∴△PCD∽△QCN，
∴QN=23 3CD，
在Rt△PCQ中，PC=a，则CQ=2 33a，
∴PQ= PC2+CQ2= 1+43a= 73a= 213a，
∴PQ= 213PC，
∴PB+2 33PD+ 213PC=PB+PQ+QN，
当B，P，Q，N四点共线时，取最小值，
如图所示，过点N作NS交BC的延长线于点S，
∵∠CND=90°，∠SCD=120°，
∴∠NCS=30°，
∵CD=3，CN=3×2 33=2 3，
∴NS= 3，CS=3，
∴BS=BC+CS=7，
∴PB+2 33PD+ 213PC≥BN= BS2+NS2= 72+3=2 13，
∴ 3PB+2PD+ 7PC= 3(PB+2 33PD+ 213PC)=2 13× 3=2 39．
【解析】(1)根据等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质计算即可．
(2)根据等边三角形的性质，三角形全等，三角形中位线定理证明即可．
(3)将△ABD绕B点顺时针旋转120°得到△C′BE′，则C′E′−AD=2BF，∠BC′E′=60°，△C′BC是等边三角形，当ME′⊥BC时，ME′最小，过点B作BH⊥AC于点H，由AAS证明△BDH≌△E′BG，得出DH=BG，推出AD与CD的长，过点C作CQ⊥PC，CN⊥CD，垂足分别为C，由△PCD∽△QCN，得出QN=23 3CD，推出PB+2 33PD+ 213PC=PB+PQ+QN，当B，P，Q，N四点共线时，取最小值，过点N作NS交BC的延长线于点S，求出NS与BS的值即可推出结果．
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，熟练掌等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理是解题的关键．
相关试卷
重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题： 这是一份重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题，文件包含重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题原卷版docx、重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题： 这是一份2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题，文件包含2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题解析版docx、2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
2023年重庆市育才中学教育集团中考数学三诊试卷（含解析）： 这是一份2023年重庆市育才中学教育集团中考数学三诊试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
