2023年安徽省芜湖市中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省芜湖市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  新冠疫情在我国得到了很好地控制，可至今仍在海外肆虐，截止到年月底，海外累计确诊人，用科学记数法可表示为精确到千万位(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，点在直线上，且，，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为调查八年级学生完成家庭作业所需的时间，某校抽查了名学生，他们每天完成作业所需的时间分别为单位：分：，，，，，，，，则这组数据的众数、中位数、平均数依次是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

8.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在正方形中，已知边，点是边上一动点点不与、重合，连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  函数的自变量的取值范围是______ ．

12.  分解因式： ______ ．

13.  如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为，则的值为        ．

14.  已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点．
若，那么的长______；
将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长______．

三、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
孙子算经是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分组时说：“每人分匹，会剩下匹；每人分匹，还差匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在正方形网格的格点上．
画出将沿轴方向向右平移个单位长度后得到的；
画出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；
在轴上找一点，使得的值最小．保留作图痕迹

18.  本小题分
细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
，
，
，

______ ；
用含是正整数的等式表示上述面积变化规律： ______ ， ______ ；
若一个三角形的面积是，则它是第个______ 三角形；
求出的值．

19.  本小题分
为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长结果保留整数，参考数据约：，．

20.  本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与弦交于点．
求证：．
若，，求的长．
 

21.  本小题分
为了解某次数学考试情况，随机抽取了部分学生的成绩得分均为整数，满分为分，并将成绩分组如下：第一组、第二组、第三组、第四组、第五组并将成绩绘制成如图频数分布直方图和扇形统计图不完整，根据图中信息，回答下列问题：

本次调查共随机抽取了______名学生，并将频数分布直方图补充完整；
该年级共有名考生，估计成绩分以上含分学生有______名；
如果第一组中只有一名是女生，第五组中只有一名是男生，现从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈答题感想，试求所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．

22.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
抛物线解析式为______，直线解析式为______；
点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．

23.  本小题分
通过以前的学习，我们知道：“如图，在正方形中，，则”．

某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
【问题探究】如图，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想        ；
【知识迁移】如图，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
【拓展应用】如图，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
实数中最小的是，
故选：．
根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．
本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：，此选项错误，不符合题意；
B.，此选项错误，不符合题意；
C.，此选项正确，符合题意；
D.，此选项错误，不符合题意；
故选：．
分别依据幂的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项计算可得．
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：一次性纸杯的正视图是，，
故选：．
一次性纸杯的正视图是一个上底大于下底的梯形，进行选择即可．
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
 

4.【答案】 

【解析】解：，用科学记数法表示为：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了科学记数法与有效数字，科学记数法的一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，可得，再根据，可得，进而可得的度数．
本题考查了平行线的性质、垂线，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为这组数据中出现次数最多的数是分，
所以分是这组数据的众数；
将数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，
中间的两个数为，，
所以中位数为：分；
平均数为：

分．
所以这组数据的平均数是分．
故选：．
这组数据中出现次数最多的数是分，所以分是这组数据的众数；
将这组数据先按照从小到大的顺序排列，数据个数是，是偶数个，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
先求出这组数的和，然后根据“总数数量平均数”进行解答即可．
本题考查了众数、中位数及平均数的知识，属于基础题，掌握定义是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为地面半径为，母线长，所以圆锥的侧面积
故选：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，，
正方形的边长为，
，
，关于成轴对称，
垂直平分，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值为，
故选：．
连接，，利用勾股定理、轴对称的性质可得、的长．依据，即可得到当，，在同一直线上时，存在最小值．
本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
图象与轴的一个交点在，之间，
图象与轴另一交点在，之间，
时，，
即，
故正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线，
，
，
时，，
故正确，符合题意．
抛物线顶点坐标为，
有两个相等实数根，
，
，
故正确，符合题意．
的最大函数值为，
有实数根，
故错误，不合题意．
故选：．
根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与轴另一交点坐标在，之间，从而判断由对称轴为直线可得与的关系，将代入函数解析式根据图象可判断由有两个相等实数根可得，从而判断由函数最大值为可判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

11.【答案】且 

【解析】解：根据二次根式的意义可知：，即，
根据分式的意义可知：，即，
且．
根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
本题考查综合提公因式和公式法分解因式，熟知因式分解的方法是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图，

轴，轴，
，
点是的中点，
为的中位线，
，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：．
过点作轴于点，根据题意可推出为的中位线，再根据线段之间的长度关系推出的面积，最后由反比例函数系数的几何意义即可求解．
本题主要考查反比例函数系数的几何意义、三角形中位线的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题关键．
 

14.【答案】
或． 

【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：；
故答案为：；
过点作于，如图所示：

则四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
设，则，，，
，，
，，
，
解得：或，
或．
故答案为：或．
求出，证明∽，得出，即可得出结果；
过点作于，则四边形是矩形，得出，，由折叠的性质得出，，，证明∽，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，，求出，，由，即可得出结果；
本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知识，综合性强、涉及面广，难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式等知识点的运算．
 

16.【答案】解：设有个盗贼，有匹绢，
根据题意，得，
解得，
答：有个盗贼，有匹绢． 

【解析】设有个盗贼，有匹绢，根据“每人分匹，会剩下匹；每人分匹，还差匹”列二元一次方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求作三角形；
如图所示，即为所求作三角形；
由图可知，点的坐标为；
如图所示，点即为所求．
 

【解析】利用平移变换的性质作出图形即可；
利用在成本和的性质作出图形即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求．
本题考查作图轴对称变换，解题的关键是周围轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】      

【解析】解：，
，
故答案为：；
，
，
是正整数；
故答案是：；；
，
，
故答案为：；



．
观察上述结论，会发现，再开方可求解；
观察上述结论，会发现，即可求解；
根据，计算可求解．
的值就是把面积的平方相加就可．
此题考查了勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．
 

19.【答案】解：由题意可知：，，
过作于于点，
，，
四边形为矩形，
米，
在中，，
米，，
米，
在中，，
米，，
米，
米，
答：的长和的长分别约为米和米． 

【解析】由题意可知：，，过作于于，易得四边形为矩形，从而可知，然后根据锐角三角函数的定义分别求出与的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出与的长度，本题属于基础题型．
 

20.【答案】证明：如图，连接，

点是的内心，
，，
由圆周角定理得，，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．
根据内心的概念得到，，根据圆周角定理得到，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可；
证明∽，得，代入值可得，进而可以解决问题．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次调查共随机抽取的学生人数为：人，
则第五组的学生人数为：人，
故答案为：，
将频数分布直方图补充完整如下：

该年级共有名考生，估计成绩分以上含分学生有：名，
故答案为：；
第一组中只有一名是女生，则男生有名，
第五组中只有一名是男生，则女生有名，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果有种，
所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为．
由第三组的学生人数除以所占百分比得出本次调查共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
由该年级共有学生人数乘以成绩分以上含分学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】   

【解析】解：直线经过点，
时，，
，
设抛物线解析式为，
抛物线与轴交于，
，
解得：，
抛物线解析式为；
设直线的函数解析式为，
直线过点，，
，解得，
；
故答案为：，；

设，，
，


，
，
当时，有最大值，最大值；
即关于的函数解析式为，的最大值为；

设点，
则，，，
当是斜边时，
则，
解得：；
当是斜边时，
同理可得：，
故点的坐标为：或．
抛物线解析式为，即可求解；
设，，则，求出，由二次函数的性质即可求解；
分是斜边、是斜边两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法，一次函数的性质，直角三角形的性质，面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

23.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
如图，过点作交于点，作交的延长线于点，

四边形是正方形，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，，，，
≌，
，即，
．
故答案为：；
如图，过点作交于点，作交的延长线于点，

，，
在长方形中，，，
，
，
，
∽，
，
，，
；
如图，过点作于点设交于点．

，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
．
过点作交于点，作交的延长线于点，利用正方形中，，，证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
过点作交于点，作交的延长线于点，利用在长方形中，，求证∽再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
如图中，过点作于点设交于点证明∽，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．