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2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
2. 对于下面两个等式①(a+b)+c=a+(b+c)，②(ab)c=(ac)b，下列说法正确的是( )
A. ①表示加法交换律 B. ②表示乘法结合律 C. ①表示加法结合律 D. ②表示乘法交换律
3. 在物联网时代的所有芯片中，14nm芯片正在成为需求的焦点.已知nm即纳米，是长度的度量单位，1nm=1×10−9m.将14nm用科学记数法表示为a×10−8，则a的值是( )
A. 14 B. 1.4 C. 0.14 D. 140
4. 如图，有A，B，C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的( )
A. 北偏西54°方向
B. 北偏东54°方向
C. 南偏西54°方向
D. 南偏西90°方向
5. 与−(13−14)互为倒数的是( )
A. −13×4 B. 3×4 C. 13×4 D. −3×4
6. 图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后得到图②，则图①与图②的三视图不相同的是( )
A. 主视图 B. 俯视图
C. 左视图 D. 主视图、俯视图和左视图都不同
7. 在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式a>2a一定不成立，因为不等式两边同时除以a，会出现1>2的错误结论；
②如果a>b，c>d，那么一定会得到a−c>b−d；
下列判断正确的是( )
A. ①√，②× B. ①×，②× C. ①√，②√ D. ①×，②√
8. 下列说法正确的是( )
A. 调查全市各大超市蔬菜农药残留量最适宜采用普查的方式
B. “打开电视机，正在播放新闻”是必然事件
C. 天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.3，s乙2=0.4，则甲的成绩较稳定
9. 如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，求∠E的度数，下面为解答过程：
解：∵AB//CD，
∴∠1+45°+∠2+45°=①，(依据②)
∴∠1+∠2=③，∴∠E=④
则下列说法正确的是( )
A. ①是90° B. ②是同旁内角是互补，两直线平行
C. ③是180° D. ④是90°
10. 如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B(−1,0)两点，则下列说法正确的是( )
A. a<0
B. 点A的坐标为(−4,0)
C. 当x<0时，y随x的增大而减小
D. 图象的对称轴为直线x=−2
11. 如图所示的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电路中通过该电阻的电流I与该电阻阻值R的情况，其中描述甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻两端的电压最小的是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点B的坐标为(2,0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为( )
A. (4,2 3)
B. (3,3)
C. (4,3)
D. (3,2)
13. 如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形.下列判断正确的是( )
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°．
A. 只有①对 B. ①和③对
C. ①、②、③都对 D. ①、②、③都不对
14. 对于题目：“先化简再求值：m−33m2−6m÷(m+2−5m−2)，其中m是方程x2+3x+1=0的根.”甲化简的结果是13(m2+3m)，求值结果是13；乙化简的结果是m2+3m3，求值结果是−13.下列判断正确的是( )
A. 甲的两个结果都正确
B. 乙的两个结果都正确
C. 甲的化简结果错误，求值结果正确
D. 甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案
15. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )
A. π+ 3
B. π− 3
C. 2π− 3
D. 2π−2 3
16. 题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，AB=8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t(s).连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.”对于其答案，甲答：83s，乙答：8s，则正确的是( )
A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对
C. 甲、乙答案全在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17. 若a与2b互为相反数，则12b2−3a2= ______ ．
18. 如图1，∠1=55°，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2，再沿图2中的虚线进行第二次折叠得到图3(点O在MN上)，则∠2的度数为______ ．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(−5,2)，N(−1,2)，已知点M在反比例函数y=kx的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′(n>1)．
(1)k的值为______；
(2)若在线段M′N′上总有在反比例函数y=kx图象上的点，则n的最大值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示− 2，设点B所表示的数为m，
(1)求m的值．
(2)求|m−3|+m+2的值．
21. (本小题8.0分)
发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)(−1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
22. (本小题8.0分)
如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AB，若(1)中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD=∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA=45，求OD的长．
23. (本小题8.0分)
一个不透明的口袋中放有6个涂有红、黑、白三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中红球个数比黑球个数多2个，从口袋中随机取出一个球是白球的概率为13．
(1)求红球的个数；
(2)如下表，不同颜色小球分别标上数字“1”、“2”、“3”，则6个球上面数字的众数是______ ；中位数是______ ；取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是______ ；
球种类
红球
黑球
白球
标注数字
1
2
3
(3)从口袋中随机取出一个球不放回，之后又随机取出一个球，用列表法或画树状图的方法，求两次都取出红球的概率．
24. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+n图象与正比例函数y=2x的图象交于点A(m,4)．
(1)求m，n的值；
(2)设一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
(3)直接写出使函数y=−x+n的值小于函数y=2x的值的自变量x的取值范围．
(4)在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
26. (本小题8.0分)
综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°．
(1)操作判断
当AE//BC时，如图1，连接CE，试判断四边形ADCE的形状，并证明；
(2)深入探究
连接BE，取BE的中点G，连接AG.善于思考的小东发现当点D在BC边上运动时，AGCD的值始终不变，请你利用图2求AGCD的值．
(3)解决问题
若∠BAC=60°，AB=6，如图3，在(2)的探究中，当AD= 31时，直接写出C，G两点之间的距离．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条，
故选：D．
根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案．
本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：①(a+b)+c=a+(b+c)表示加法结合律，
②(ab)c=(ac)b表示乘法交换律与乘法结合律，
故选：C．
根据加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律分析判断即可求解．
本题考查了加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律，熟练掌握有理数的运算律是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：14nm=14×10−9=1.4×10−8=a×10−8，
∴a=1.4，
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图：过点B作BD//AF，
∴∠DBA=∠BAF=36°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=∠ABC−∠DBA=54°，
∵CE//AF，
∴CE//BD，
∴∠ECB=∠CBD=54°，
∴B地在C地的北偏东54°方向，
故选：B．
过点B作BD//AF，根据平行线的性质可得∠DBA=36°，再利用垂直定义可得∠ABC=90°，从而求出∠CBD=54°，然后再利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：−(13−14)=−(412−312)=−112，
∴与−(13−14)互为倒数的是−12．
故选：D．
先根据有理数减法的法则计算−(13−14)=−112，再求倒数即可．
本题考查了倒数以及有理数的减法和乘法运算法则，熟记概念和相关运算法则是解题的关键，倒数：乘积是1的两数互为倒数．
6.【答案】A
【解析】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
②的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变．
故选：A．
先分别确定①、②的三视图，然后再对比即可解答．
本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
7.【答案】B
【解析】解：①不等式a>2a，当a<0时成立，故①错误，
②例如3>2，5>1，则3−5<2−1，故②错误，
故选：B．
根据不等式的性质分析即可求解．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.调查全市各大超市蔬菜农药残留量，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故该选项不正确，不符合题意；
B.“打开电视机，正在播放新闻”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
C.天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半可能会下雨，故该选项不正确，不符合题意；
D.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.3，s乙2=0.4，0.3<0.4则甲的成绩较稳定，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
根据普查与抽样调查，事件的分类，概率的意义，方差的意义，逐项分析判断即可求解．
本题考查了普查与抽样调查，事件的分类，概率的意义，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠1+45°+∠2+45°=180°，(两直线平行，同旁内角是互补)，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠E=90°，
①是180°，②两直线平行，同旁内角互补，③是90°，④是90°，
故选：D．
根据平行线的性质以及直角三角形的两个锐角互余，进行判断即可求解．
本题考查了两直线平行，同旁内角互补和直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=a(x+2)2+k的图象开口方向向上，
∴a>0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x=−2，且过B(−1,0)，
∴B点的坐标为(−3,0)，
故B错误，D正确，
由图象知，当x<0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
因为图象开口方向向上，所以a>0，故A错误，因为图象对称轴为直线x=−2，且过B(−1,0)，所以B点坐标为(−3,0)，故B错误，D正确，当x<0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选D．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数为IR=U，
∴甲、丙两个电阻的电压相等，
如图所示，设乙表示的点为D，点A在反比例数IR=U上，则点A与甲的电阻的电压相等，
根据反比例函数k的几何意义，矩形ABOC的面积大于DEOB的面积，即乙的电压小于A的电压，
故选：B．
根据反比例函数k的几何意义，即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵△OAB是等边三角形，B的坐标是(2,0)，AD⊥OB，
∴OB=OA=2，OD=1，
∴AD= 3，
∴A的坐标是(1, 3)，
设直线OA的解析式为y=kx，
把(1, 3)代入得：k= 3，
∴直线OA的解析式为y= 3x，
∴A′的坐标为(3,3 3)，
∴点A向右平移2个单位，向上平移2 3个单位得到A′，
∴B′的坐标为(4,2 3).
故选：A．
作AD⊥OB，根据等边三角形的性质，结合点B的坐标，可求出点A的坐标为(1, 3)，进而可求出直线OA所在的函数解析式；根据已知A′的横坐标求出其坐标，从而得到A到A′的变换过程，接下来根据B的坐标即可求出B′的坐标．
本题考查图形的平移，解题的关键是由△ABO是等边三角形，结合点B的坐标，求出点A的坐标．
13.【答案】B
【解析】解：①任意多边形的外角和是360°，故①正确；
根据多边形内角和定理(5−2)×180°−(4−2)×180°=180°，
四边形ABCD剪掉一个角得到五边形内角和增加了180°，故②错误，
如图所示，
∵∠1=∠4+∠A，∠2=∠3+∠A
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正确，
故选：B．
根据多边形的外角和是360°，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角的性质即可求解．
本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：m−33m2−6m÷(m+2−5m−2)
=m−33m(m−2)÷(m+2)(m−2)−5m−2
=m−33m(m−2)×m−2m2−9
=m−33m(m−2)×m−2(m+3)(m−3)
=13(m2+3m)，
∵m是方程x2+3x+1=0的根．
∴m2+3m=−1，
∴原式=13×(−1)=−13，
故选：D．
根据分式的混合运算化简，然后根据一元二次方程方程的根的定义，得出m2+3m=−1，代入化简结果即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】
【分析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
【解答】
解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD= 3BD= 3，
∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2× 3= 3，
S扇形BAC=60π×22360=23π，
∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2× 3=2π−2 3，
故选：D．
16.【答案】C
【解析】解：∵△ACB≌△ECD，
∴AB=DE，∠A=∠E，
∴AB//DE．
当0≤t≤4时，AP=2t cm；
当4
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=CE∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，
当0≤t≤4时，2t=8−t，
解得：t=83；
当4
故选：C．
先证△ACP≌△ECQ(ASA)，得AP=EQ，再分两种情况，当0≤t≤4时，；当4
17.【答案】0
【解析】解：∵a与2b互为相反数，
∴a+2b=0，
∴12b2−3a2=3(4b2−a2)=3(2b+a)(2b−a)=0，
故答案为：0．
先因式分解，然后根据相反数的定义得出a+2b=0，整体代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，相反数的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】35°
【解析】解：如图：
由折叠的性质得：∠5=∠1=55°，∠3=∠4，
∴∠3=∠4=12(180°−∠1−∠5)=35°，
∵长方形的对边平行，
∴∠2=∠3=35°，
故答案为：35°．
根据折叠的性质得到∠1=∠5，∠3=∠4，根据平行线的性质得到∠2=∠3，即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质，熟记相关性质是解题的关键．
19.【答案】−10 5
【解析】解：(1)把M(−5,2)代入y=kx得k=−5×2=−10；
故答案为：−10；
(2)∵以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′(n>1)，
∴N′(−n,2n)，
当点N′落在反比例函数y=−10x上时，n的值最大，
∴−n⋅2n=−10，
解得n1= 5，n2=− 5(舍去)，
∴n的最大值为 5．
故答案为： 5．
(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值；
(2)利用关于原点为位似中心的点的坐标变换规律得到N′(−n,2n)，由于点N′落在反比例函数y=−10x上时，n的值最大，所以把N′点的坐标代入反比例函数解析式可得到n的最大值．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了反比例函数的性质．
20.【答案】解：(1)∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示− 2，点B所表示的数为m，
∴m=− 2+2；
(2)|m−3|+m+2
=|− 2+2−3|− 2+2+2
=1− 2− 2+4
=5．
【解析】(1)根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
(2)主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
21.【答案】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证(1)(−1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即(−1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n−2，n−1，n+1，n+2，
它们的平方和为：(n−2)2+(n−1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2
=n2−4n+4+n2−2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5(n2+2)，
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n−1，n+1，
它们的平方和为：(n−1)2+n2+(n+1)2
=n2−2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【解析】验证(1)计算(−1)2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
(2)用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
22.【答案】(1)解：如图，OD为所作；
(2)①证明：
∵直线l与⊙O相切于点B，
∴OB⊥l，
∴∠OBD=90°，
即∠OBA+∠DBC=90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠ACO=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠DBC=∠ACO，
而∠ACO=∠DCB，
∴∠CBD=∠DCB；
②在Rt△AOC中，
∵cosA=OAAC=45，OA=4，
∴AC=5，
∴OC= AC2−OA2= 52−42=3，
∵∠CBD=∠DCB；
∴DB=DC，
设BD=x，则DC=x，OD=x+3，
在Rt△OBD中，42+x2=(x+3)2，
解得x=76，
∴OD=OC+CD=3+76=256．
【解析】(1)利用基本作图，先作直径AE，然后过O点作AE的垂线即可；
(2)①先根据切线的性质得到∠OBD=90°，再利用OD⊥OA得到∠AOC=90°，接着利用等角的余角相等证明∠DBC=∠ACO，然后利用∠ACO=∠DCB得到∠CBD=∠DCB；
②先在Rt△AOC中利用余弦的定义求出AC，则利用勾股定理计算出OC，再由①的结论得到DB=DC，设BD=x，则DC=x，OD=x+3，在Rt△OBD中利用勾股定理得到42+x2=(x+3)2，然后解方程求出x，最后计算OC+CD即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
23.【答案】1 32 2
【解析】解：(1)设黑球为x个，则红球为(x+2)个，白球个数为6−(x−x−2)=4−2x(个)，
由题意得：4−2x6=13，
解得：x=1，
则x+2=3，4−2x=2，
即红球的个数为3个；
(2)∵不同颜色小球分别标上数字“1”、“2”、“3”，红球有3个，
则6个球上面数字的众数是1；
排序为1，1，1，2，3，3，则中位数为1+22=32；
取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是2；
故答案为：1，32，2；
(3)红、黑、白三种颜色的小球分别记为“1”、“2”、“3”，
画树状图如下图：
共有30个等可能的结果，两次都取出红球的结果有6个，
∴两次都取出红球的概率为630=15．
(1)设黑球为x个，则红球为(x+2)个，白球个数为4−2x(个)，由题意得出方程，解方程即可；
(2)由众数和中位数等于即可得出答案；
(3)画出树状图，共有30个等可能的结果，两次都取出红球的结果有6个，由概率公式即可求解．
本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及众数、中位数；正确画出树状图是解题的关键．
24.【答案】解：(1)正比例函数y=2x的图象过点A(m,4)．
∴4=2m，
∴m=2．
又∵一次函数y=−x+n的图象过点A(2,4)．
∴4=−2+n，
∴n=6．
(2)一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，
∴令y=0，则0=−x+6
∴x=6，
∴点B坐标为(6,0)，
令x=0，则y=6，
∴点C坐标为(0,6)；
(3)由图象可知：x>2；
(4)∵点A(2,4)，
∴AB= (2−6)2+(4−0)2=4 2，
当AB=BP=4 2时，则点P(6+4 2,0)或(6−4 2,0)；
当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E(2,0)，
∵AB=AP，AE⊥BO，
∴PE=BE=4，
∴点P(−2,0)；
当PA=PB时，
∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴∠APB=90°，
∴点P(2,0)，
综上所述：点P坐标为(6+4 2,0)或(6−4 2,0)或(−2,0)或(2,0)．
【解析】(1)将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值．
(2)令x=0，可得y=6，令y=0，可得x=6，即可求解；
(3)根据图象即可写出x的取值范围；
(4)分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，A(0,1.25)，
设第一象限内的抛物线解析式为y=a(x−1)2+2.25，
将点A(0,1.25)代入物线解析式，
1.25=a(0−1)2+2.25，
解得α=−1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y=−(x−1)2+2.25；
(2)根据题意，令y=1.76，
即−(x−1)2+2.25=1.76，
解得x1=0.3，x2=1.7，
∵−1<0，抛物线开口向下，
∴当0.31.76，
∴d的取值范围为0.3
∵l//PB，
设直线l的解析式为y=−x+m，
联立直线与抛物线解析式，
y=−x+my=−(x−1)2+2.25，
整理得x2−3x+m−1.25=0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ=32−4×1×(m−1.25)=0，
解得m=3.5，
∴直线l的解析式为y=−x+3.5，
令y=0，则x=3.5，
∴E(3.5,0)，
∴BE=4−3.5=0.5，
即EB=12，
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG45°，
∵∠EGB=90°，
sin∠EBG=EGEB= 22，
∴EG= 22×12= 24，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为 24米．
【解析】(1)根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
(2)直接令y=1.76，解方程求出x的值，再根据函数的图象和性质，求出y>1.76时x的取值范围即可；
(3)先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
26.【答案】解：(1)四边形ADCE是菱形，理由如下：
∵AE//BC，
∴∠DAE+∠ADC=180°，
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠BAC=∠ADC，
∴∠DAC=180°−∠ADC−∠ACD=180°−∠BAC−∠ACD=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD=CD，
又∵AD=AE，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AD=AE，
∴四边形ADCE是菱形，
(2)如图所示，延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，
∵G是BE的中点，
∴AG=12EF，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠DAE=∠CAF，
∴∠DAE−∠CAE=∠CAF−∠CAE，
∴∠DAC=∠EAF，
又∵AD=AE，AC=AB=AF，
∴△ADC≌△AEF(SAS)，
∴CD=EF，
∴AG=12CD，
即AGCD=12；
(3)延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，过点A作AH⊥BC于点H，
∵G是BE的中点，
∴AG是三角形BEF是中位线
∴AG//EF，AG=12EF，
∴∠BAG=∠F，
∵∠DAE+∠BAC=180°，∠BAC+∠CAF=180°
∴∠DAE=∠CAF，
∴∠DAE−∠CAE=∠CAF−∠CAE
即∠DAC=∠EAC，
又∵AD=AE，AC=AB=AF
∴△ADC≌△AEC(SAS)，
∴CD=EF，∠C=∠F
∴AG=12CD，∠BAG=∠C，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAG=∠C=60°，
∴G点在AC上，
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=3，
∴AH= AC2−CH2=3 3，
∵AD= 31，
∴DH= AD2−AH2=2，
∴CD=CH+DH=5或CD=CD−CH=1，
∴AG=12CD=52或12，
∴CG=AC−AG=72或112．
【解析】(1)根据已知条件得出∠BAC=∠ADC，进而证明∠DAC=∠ACB，AE=CD，得出四边形ADCE是菱形；
(2)延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，依题意，AG=12EF，证明△ADC≌△AEF，得出AG=12CD，即可求解．
(3)延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，过点A作AH⊥BC于点H，可得AG是三角形BEF是中位线，证明△ADC≌△AEC，则CD=EF，∠C=∠F，进而得出AG=12CD，∠BAG=∠C，可得G点在AC上，根据等边三角形的性质勾股定理求得AH，DH，进而分点D在H的左边和右边，分别求得CD，根据AG=12CD求得AG，即可求解．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定是解题的关键．
2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
2. 对于下面两个等式①(a+b)+c=a+(b+c)，②(ab)c=(ac)b，下列说法正确的是( )
A. ①表示加法交换律 B. ②表示乘法结合律 C. ①表示加法结合律 D. ②表示乘法交换律
3. 在物联网时代的所有芯片中，14nm芯片正在成为需求的焦点.已知nm即纳米，是长度的度量单位，1nm=1×10−9m.将14nm用科学记数法表示为a×10−8，则a的值是( )
A. 14 B. 1.4 C. 0.14 D. 140
4. 如图，有A，B，C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的( )
A. 北偏西54°方向
B. 北偏东54°方向
C. 南偏西54°方向
D. 南偏西90°方向
5. 与−(13−14)互为倒数的是( )
A. −13×4 B. 3×4 C. 13×4 D. −3×4
6. 图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后得到图②，则图①与图②的三视图不相同的是( )
A. 主视图 B. 俯视图
C. 左视图 D. 主视图、俯视图和左视图都不同
7. 在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式a>2a一定不成立，因为不等式两边同时除以a，会出现1>2的错误结论；
②如果a>b，c>d，那么一定会得到a−c>b−d；
下列判断正确的是( )
A. ①√，②× B. ①×，②× C. ①√，②√ D. ①×，②√
8. 下列说法正确的是( )
A. 调查全市各大超市蔬菜农药残留量最适宜采用普查的方式
B. “打开电视机，正在播放新闻”是必然事件
C. 天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.3，s乙2=0.4，则甲的成绩较稳定
9. 如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，求∠E的度数，下面为解答过程：
解：∵AB//CD，
∴∠1+45°+∠2+45°=①，(依据②)
∴∠1+∠2=③，∴∠E=④
则下列说法正确的是( )
A. ①是90° B. ②是同旁内角是互补，两直线平行
C. ③是180° D. ④是90°
10. 如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B(−1,0)两点，则下列说法正确的是( )
A. a<0
B. 点A的坐标为(−4,0)
C. 当x<0时，y随x的增大而减小
D. 图象的对称轴为直线x=−2
11. 如图所示的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电路中通过该电阻的电流I与该电阻阻值R的情况，其中描述甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻两端的电压最小的是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点B的坐标为(2,0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为( )
A. (4,2 3)
B. (3,3)
C. (4,3)
D. (3,2)
13. 如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形.下列判断正确的是( )
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°．
A. 只有①对 B. ①和③对
C. ①、②、③都对 D. ①、②、③都不对
14. 对于题目：“先化简再求值：m−33m2−6m÷(m+2−5m−2)，其中m是方程x2+3x+1=0的根.”甲化简的结果是13(m2+3m)，求值结果是13；乙化简的结果是m2+3m3，求值结果是−13.下列判断正确的是( )
A. 甲的两个结果都正确
B. 乙的两个结果都正确
C. 甲的化简结果错误，求值结果正确
D. 甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案
15. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )
A. π+ 3
B. π− 3
C. 2π− 3
D. 2π−2 3
16. 题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，AB=8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t(s).连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.”对于其答案，甲答：83s，乙答：8s，则正确的是( )
A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对
C. 甲、乙答案全在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17. 若a与2b互为相反数，则12b2−3a2= ______ ．
18. 如图1，∠1=55°，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2，再沿图2中的虚线进行第二次折叠得到图3(点O在MN上)，则∠2的度数为______ ．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(−5,2)，N(−1,2)，已知点M在反比例函数y=kx的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′(n>1)．
(1)k的值为______；
(2)若在线段M′N′上总有在反比例函数y=kx图象上的点，则n的最大值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示− 2，设点B所表示的数为m，
(1)求m的值．
(2)求|m−3|+m+2的值．
21. (本小题8.0分)
发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)(−1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
22. (本小题8.0分)
如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AB，若(1)中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD=∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA=45，求OD的长．
23. (本小题8.0分)
一个不透明的口袋中放有6个涂有红、黑、白三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中红球个数比黑球个数多2个，从口袋中随机取出一个球是白球的概率为13．
(1)求红球的个数；
(2)如下表，不同颜色小球分别标上数字“1”、“2”、“3”，则6个球上面数字的众数是______ ；中位数是______ ；取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是______ ；
球种类
红球
黑球
白球
标注数字
1
2
3
(3)从口袋中随机取出一个球不放回，之后又随机取出一个球，用列表法或画树状图的方法，求两次都取出红球的概率．
24. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+n图象与正比例函数y=2x的图象交于点A(m,4)．
(1)求m，n的值；
(2)设一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
(3)直接写出使函数y=−x+n的值小于函数y=2x的值的自变量x的取值范围．
(4)在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
26. (本小题8.0分)
综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°．
(1)操作判断
当AE//BC时，如图1，连接CE，试判断四边形ADCE的形状，并证明；
(2)深入探究
连接BE，取BE的中点G，连接AG.善于思考的小东发现当点D在BC边上运动时，AGCD的值始终不变，请你利用图2求AGCD的值．
(3)解决问题
若∠BAC=60°，AB=6，如图3，在(2)的探究中，当AD= 31时，直接写出C，G两点之间的距离．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条，
故选：D．
根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案．
本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：①(a+b)+c=a+(b+c)表示加法结合律，
②(ab)c=(ac)b表示乘法交换律与乘法结合律，
故选：C．
根据加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律分析判断即可求解．
本题考查了加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律，熟练掌握有理数的运算律是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：14nm=14×10−9=1.4×10−8=a×10−8，
∴a=1.4，
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图：过点B作BD//AF，
∴∠DBA=∠BAF=36°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=∠ABC−∠DBA=54°，
∵CE//AF，
∴CE//BD，
∴∠ECB=∠CBD=54°，
∴B地在C地的北偏东54°方向，
故选：B．
过点B作BD//AF，根据平行线的性质可得∠DBA=36°，再利用垂直定义可得∠ABC=90°，从而求出∠CBD=54°，然后再利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：−(13−14)=−(412−312)=−112，
∴与−(13−14)互为倒数的是−12．
故选：D．
先根据有理数减法的法则计算−(13−14)=−112，再求倒数即可．
本题考查了倒数以及有理数的减法和乘法运算法则，熟记概念和相关运算法则是解题的关键，倒数：乘积是1的两数互为倒数．
6.【答案】A
【解析】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
②的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变．
故选：A．
先分别确定①、②的三视图，然后再对比即可解答．
本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
7.【答案】B
【解析】解：①不等式a>2a，当a<0时成立，故①错误，
②例如3>2，5>1，则3−5<2−1，故②错误，
故选：B．
根据不等式的性质分析即可求解．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.调查全市各大超市蔬菜农药残留量，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故该选项不正确，不符合题意；
B.“打开电视机，正在播放新闻”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
C.天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半可能会下雨，故该选项不正确，不符合题意；
D.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.3，s乙2=0.4，0.3<0.4则甲的成绩较稳定，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
根据普查与抽样调查，事件的分类，概率的意义，方差的意义，逐项分析判断即可求解．
本题考查了普查与抽样调查，事件的分类，概率的意义，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠1+45°+∠2+45°=180°，(两直线平行，同旁内角是互补)，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠E=90°，
①是180°，②两直线平行，同旁内角互补，③是90°，④是90°，
故选：D．
根据平行线的性质以及直角三角形的两个锐角互余，进行判断即可求解．
本题考查了两直线平行，同旁内角互补和直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=a(x+2)2+k的图象开口方向向上，
∴a>0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x=−2，且过B(−1,0)，
∴B点的坐标为(−3,0)，
故B错误，D正确，
由图象知，当x<0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
因为图象开口方向向上，所以a>0，故A错误，因为图象对称轴为直线x=−2，且过B(−1,0)，所以B点坐标为(−3,0)，故B错误，D正确，当x<0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选D．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数为IR=U，
∴甲、丙两个电阻的电压相等，
如图所示，设乙表示的点为D，点A在反比例数IR=U上，则点A与甲的电阻的电压相等，
根据反比例函数k的几何意义，矩形ABOC的面积大于DEOB的面积，即乙的电压小于A的电压，
故选：B．
根据反比例函数k的几何意义，即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵△OAB是等边三角形，B的坐标是(2,0)，AD⊥OB，
∴OB=OA=2，OD=1，
∴AD= 3，
∴A的坐标是(1, 3)，
设直线OA的解析式为y=kx，
把(1, 3)代入得：k= 3，
∴直线OA的解析式为y= 3x，
∴A′的坐标为(3,3 3)，
∴点A向右平移2个单位，向上平移2 3个单位得到A′，
∴B′的坐标为(4,2 3).
故选：A．
作AD⊥OB，根据等边三角形的性质，结合点B的坐标，可求出点A的坐标为(1, 3)，进而可求出直线OA所在的函数解析式；根据已知A′的横坐标求出其坐标，从而得到A到A′的变换过程，接下来根据B的坐标即可求出B′的坐标．
本题考查图形的平移，解题的关键是由△ABO是等边三角形，结合点B的坐标，求出点A的坐标．
13.【答案】B
【解析】解：①任意多边形的外角和是360°，故①正确；
根据多边形内角和定理(5−2)×180°−(4−2)×180°=180°，
四边形ABCD剪掉一个角得到五边形内角和增加了180°，故②错误，
如图所示，
∵∠1=∠4+∠A，∠2=∠3+∠A
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正确，
故选：B．
根据多边形的外角和是360°，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角的性质即可求解．
本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：m−33m2−6m÷(m+2−5m−2)
=m−33m(m−2)÷(m+2)(m−2)−5m−2
=m−33m(m−2)×m−2m2−9
=m−33m(m−2)×m−2(m+3)(m−3)
=13(m2+3m)，
∵m是方程x2+3x+1=0的根．
∴m2+3m=−1，
∴原式=13×(−1)=−13，
故选：D．
根据分式的混合运算化简，然后根据一元二次方程方程的根的定义，得出m2+3m=−1，代入化简结果即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】
【分析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
【解答】
解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD= 3BD= 3，
∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2× 3= 3，
S扇形BAC=60π×22360=23π，
∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2× 3=2π−2 3，
故选：D．
16.【答案】C
【解析】解：∵△ACB≌△ECD，
∴AB=DE，∠A=∠E，
∴AB//DE．
当0≤t≤4时，AP=2t cm；
当4
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=CE∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，
当0≤t≤4时，2t=8−t，
解得：t=83；
当4
故选：C．
先证△ACP≌△ECQ(ASA)，得AP=EQ，再分两种情况，当0≤t≤4时，；当4
17.【答案】0
【解析】解：∵a与2b互为相反数，
∴a+2b=0，
∴12b2−3a2=3(4b2−a2)=3(2b+a)(2b−a)=0，
故答案为：0．
先因式分解，然后根据相反数的定义得出a+2b=0，整体代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，相反数的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】35°
【解析】解：如图：
由折叠的性质得：∠5=∠1=55°，∠3=∠4，
∴∠3=∠4=12(180°−∠1−∠5)=35°，
∵长方形的对边平行，
∴∠2=∠3=35°，
故答案为：35°．
根据折叠的性质得到∠1=∠5，∠3=∠4，根据平行线的性质得到∠2=∠3，即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质，熟记相关性质是解题的关键．
19.【答案】−10 5
【解析】解：(1)把M(−5,2)代入y=kx得k=−5×2=−10；
故答案为：−10；
(2)∵以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′(n>1)，
∴N′(−n,2n)，
当点N′落在反比例函数y=−10x上时，n的值最大，
∴−n⋅2n=−10，
解得n1= 5，n2=− 5(舍去)，
∴n的最大值为 5．
故答案为： 5．
(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值；
(2)利用关于原点为位似中心的点的坐标变换规律得到N′(−n,2n)，由于点N′落在反比例函数y=−10x上时，n的值最大，所以把N′点的坐标代入反比例函数解析式可得到n的最大值．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了反比例函数的性质．
20.【答案】解：(1)∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示− 2，点B所表示的数为m，
∴m=− 2+2；
(2)|m−3|+m+2
=|− 2+2−3|− 2+2+2
=1− 2− 2+4
=5．
【解析】(1)根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
(2)主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
21.【答案】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证(1)(−1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即(−1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n−2，n−1，n+1，n+2，
它们的平方和为：(n−2)2+(n−1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2
=n2−4n+4+n2−2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5(n2+2)，
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n−1，n+1，
它们的平方和为：(n−1)2+n2+(n+1)2
=n2−2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【解析】验证(1)计算(−1)2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
(2)用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
22.【答案】(1)解：如图，OD为所作；
(2)①证明：
∵直线l与⊙O相切于点B，
∴OB⊥l，
∴∠OBD=90°，
即∠OBA+∠DBC=90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠ACO=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠DBC=∠ACO，
而∠ACO=∠DCB，
∴∠CBD=∠DCB；
②在Rt△AOC中，
∵cosA=OAAC=45，OA=4，
∴AC=5，
∴OC= AC2−OA2= 52−42=3，
∵∠CBD=∠DCB；
∴DB=DC，
设BD=x，则DC=x，OD=x+3，
在Rt△OBD中，42+x2=(x+3)2，
解得x=76，
∴OD=OC+CD=3+76=256．
【解析】(1)利用基本作图，先作直径AE，然后过O点作AE的垂线即可；
(2)①先根据切线的性质得到∠OBD=90°，再利用OD⊥OA得到∠AOC=90°，接着利用等角的余角相等证明∠DBC=∠ACO，然后利用∠ACO=∠DCB得到∠CBD=∠DCB；
②先在Rt△AOC中利用余弦的定义求出AC，则利用勾股定理计算出OC，再由①的结论得到DB=DC，设BD=x，则DC=x，OD=x+3，在Rt△OBD中利用勾股定理得到42+x2=(x+3)2，然后解方程求出x，最后计算OC+CD即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
23.【答案】1 32 2
【解析】解：(1)设黑球为x个，则红球为(x+2)个，白球个数为6−(x−x−2)=4−2x(个)，
由题意得：4−2x6=13，
解得：x=1，
则x+2=3，4−2x=2，
即红球的个数为3个；
(2)∵不同颜色小球分别标上数字“1”、“2”、“3”，红球有3个，
则6个球上面数字的众数是1；
排序为1，1，1，2，3，3，则中位数为1+22=32；
取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是2；
故答案为：1，32，2；
(3)红、黑、白三种颜色的小球分别记为“1”、“2”、“3”，
画树状图如下图：
共有30个等可能的结果，两次都取出红球的结果有6个，
∴两次都取出红球的概率为630=15．
(1)设黑球为x个，则红球为(x+2)个，白球个数为4−2x(个)，由题意得出方程，解方程即可；
(2)由众数和中位数等于即可得出答案；
(3)画出树状图，共有30个等可能的结果，两次都取出红球的结果有6个，由概率公式即可求解．
本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及众数、中位数；正确画出树状图是解题的关键．
24.【答案】解：(1)正比例函数y=2x的图象过点A(m,4)．
∴4=2m，
∴m=2．
又∵一次函数y=−x+n的图象过点A(2,4)．
∴4=−2+n，
∴n=6．
(2)一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，
∴令y=0，则0=−x+6
∴x=6，
∴点B坐标为(6,0)，
令x=0，则y=6，
∴点C坐标为(0,6)；
(3)由图象可知：x>2；
(4)∵点A(2,4)，
∴AB= (2−6)2+(4−0)2=4 2，
当AB=BP=4 2时，则点P(6+4 2,0)或(6−4 2,0)；
当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E(2,0)，
∵AB=AP，AE⊥BO，
∴PE=BE=4，
∴点P(−2,0)；
当PA=PB时，
∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴∠APB=90°，
∴点P(2,0)，
综上所述：点P坐标为(6+4 2,0)或(6−4 2,0)或(−2,0)或(2,0)．
【解析】(1)将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值．
(2)令x=0，可得y=6，令y=0，可得x=6，即可求解；
(3)根据图象即可写出x的取值范围；
(4)分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，A(0,1.25)，
设第一象限内的抛物线解析式为y=a(x−1)2+2.25，
将点A(0,1.25)代入物线解析式，
1.25=a(0−1)2+2.25，
解得α=−1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y=−(x−1)2+2.25；
(2)根据题意，令y=1.76，
即−(x−1)2+2.25=1.76，
解得x1=0.3，x2=1.7，
∵−1<0，抛物线开口向下，
∴当0.3
∴d的取值范围为0.3
∵l//PB，
设直线l的解析式为y=−x+m，
联立直线与抛物线解析式，
y=−x+my=−(x−1)2+2.25，
整理得x2−3x+m−1.25=0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ=32−4×1×(m−1.25)=0，
解得m=3.5，
∴直线l的解析式为y=−x+3.5，
令y=0，则x=3.5，
∴E(3.5,0)，
∴BE=4−3.5=0.5，
即EB=12，
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG45°，
∵∠EGB=90°，
sin∠EBG=EGEB= 22，
∴EG= 22×12= 24，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为 24米．
【解析】(1)根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
(2)直接令y=1.76，解方程求出x的值，再根据函数的图象和性质，求出y>1.76时x的取值范围即可；
(3)先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
26.【答案】解：(1)四边形ADCE是菱形，理由如下：
∵AE//BC，
∴∠DAE+∠ADC=180°，
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠BAC=∠ADC，
∴∠DAC=180°−∠ADC−∠ACD=180°−∠BAC−∠ACD=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD=CD，
又∵AD=AE，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AD=AE，
∴四边形ADCE是菱形，
(2)如图所示，延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，
∵G是BE的中点，
∴AG=12EF，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠DAE=∠CAF，
∴∠DAE−∠CAE=∠CAF−∠CAE，
∴∠DAC=∠EAF，
又∵AD=AE，AC=AB=AF，
∴△ADC≌△AEF(SAS)，
∴CD=EF，
∴AG=12CD，
即AGCD=12；
(3)延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，过点A作AH⊥BC于点H，
∵G是BE的中点，
∴AG是三角形BEF是中位线
∴AG//EF，AG=12EF，
∴∠BAG=∠F，
∵∠DAE+∠BAC=180°，∠BAC+∠CAF=180°
∴∠DAE=∠CAF，
∴∠DAE−∠CAE=∠CAF−∠CAE
即∠DAC=∠EAC，
又∵AD=AE，AC=AB=AF
∴△ADC≌△AEC(SAS)，
∴CD=EF，∠C=∠F
∴AG=12CD，∠BAG=∠C，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAG=∠C=60°，
∴G点在AC上，
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=3，
∴AH= AC2−CH2=3 3，
∵AD= 31，
∴DH= AD2−AH2=2，
∴CD=CH+DH=5或CD=CD−CH=1，
∴AG=12CD=52或12，
∴CG=AC−AG=72或112．
【解析】(1)根据已知条件得出∠BAC=∠ADC，进而证明∠DAC=∠ACB，AE=CD，得出四边形ADCE是菱形；
(2)延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，依题意，AG=12EF，证明△ADC≌△AEF，得出AG=12CD，即可求解．
(3)延长BA至点F，使AF=AB，连接EF，过点A作AH⊥BC于点H，可得AG是三角形BEF是中位线，证明△ADC≌△AEC，则CD=EF，∠C=∠F，进而得出AG=12CD，∠BAG=∠C，可得G点在AC上，根据等边三角形的性质勾股定理求得AH，DH，进而分点D在H的左边和右边，分别求得CD，根据AG=12CD求得AG，即可求解．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定是解题的关键．
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