2023年北京市首都重点大学附中高考数学段考试卷-普通用卷

这是一份2023年北京市首都重点大学附中高考数学段考试卷-普通用卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市首都重点大学附中高考数学段考试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,−3)，则复数zi的虚部是(    )
A. 1 B. −1 C. −i D. i
2. 已知集合A={−1,1}，B={x+y|x∈A,y∈A}，C={x−y|x∈A,y∈A}，则(    )
A. B=C B. B⫋C C. B⋂C=⌀ D. B⋃C=A
3. 已知(1+2x)n的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则(1+2x)n的展开式的各项系数之和为(    )
A. 26 B. 28 C. 36 D. 38
4. 设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是(    )
A. 若m//n，n//α，则m//α
B. 若m//n，m//α，n//β，则α//β
C. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
5. 已知F1(−c,0)，F2(c,0)分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2且∠PF2F1=π3，那么双曲线C的离心率为(    )
A. 52 B. 3 C. 2 D. 3+1
6. 已知无穷数列{an}满足an+1=an+t(t为常数)，Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的(    )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数f(x)=x,|x|≤1sinπ2x,|x|>1则下列结论正确的是(    )
A. ∃x0∈R，f(−x0)≠−f(x0) B. ∀x∈R，f(−x)≠f(x)
C. 函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增 D. 函数f(x)的值域是[−1,1]
8. 已知直线l：y=mx−m−1，P为圆C：x2+y2−4x−2y+1=0上一动点，设P到直线l距离的最大值为d(m)，当d(m)最大时，m的值为(    )
A. −12 B. −32 C. 23 D. 2
9. 已知函数g(x)= 3sin(ωx+φ)，g(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)的图象，f(x)的部分图象如图所示，若AB⋅BC=|AB|2，则ω等于(    )


A. π12 B. π6 C. π4 D. π2
10. 某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色(    )
A. 只与m的奇偶性有关 B. 只与n的奇偶性有关
C. 与m，n的奇偶性都有关 D. 与m，n的奇偶性都无关
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 已知抛物线x2=4y上一点P(m,1)，则抛物线的准线方程为______ ；点P到焦点的距离为______ ．
12. 已知向量a=(1,2),b=(3,x),a与a+b共线，则|a−b|=        ．
13. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域(除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致)，种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第______ 号区域的总产量最大．
14. 已知函数f(x)=e|x−t|，g(x)=−x+e，h(x)=max{f(x),g(x)}，其中max{a,b}表示a，b中最大的数．
(Ⅰ)若t=1，则h(0)=   (1)   ．
(Ⅱ)若h(x)>e对x∈R恒成立，则t的取值范围是   (2)   ．
15. 已知数列{an}各项均为正数，且an+12−an+1=an(n=1,2,3,…)，给出下列四个结论：
①对任意n≥2，都有an>1；
②数列{an}不可能为常数列；
③若00)的离心率为12，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|=3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
21. (本小题15.0分)
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”．
(Ⅰ) 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)； 
1
2
3
−7
−2
1
0
1
表1
(Ⅱ) 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
a
a2−1
−a
−a2
2−a
1−a2
a−2
a2
表2
(Ⅲ)对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：由题意可得：z=1−3i，则zi=1−3ii=−3−i，
所以复数zi的虚部是−1．
故选：B．
由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：集合A={−1,1}，B={x+y|x∈A,y∈A}={−2,0,2}，
C={x−y|x∈A,y∈A}={−2,0,2}，
故B=C．
故选：A．
利用列表法求集合A、B，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
利用二项式系数的性质建立方程求出n的值，再令x=1，即可求解．
【解答】
解：由已知可得Cn2=Cn4，所以n=2+4=6，
令x=1，则展开式的各项系数和为(1+2)6=36，
故选C．
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．
对于A，m//α或m⊂α；对于B，α与β相交或平行；对于C，m与n相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】
解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面．
对于A，若m//n，n//α，则m//α或m⊂α，故A错误；
对于B，若m//n，m//α，n//β，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选D．
  
5.【答案】D 
【解析】解：设双曲线的半焦距为c>0，则|F1F2|=2c，
由题意可得：|PF1|= 3c,|PF2|=c，
因为|PF1|−|PF2|= 3c−c=2a，
整理得e=ca=2 3−1= 3+1．
故选：D．
由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等差数列的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键．属中档题．
【解答】
解：∵an+1=an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t，
①当t≥0时，若t=0，a1=−2时，数列{an}为常数列，且an=−2，
∴Sn=−2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，
②当{an}和{Sn}都有最小项，
∵an=a1+(n−1)t=tn+(a1−t)，
Sn=na1+n(n−1)2t=t2n2+(a1−t2)n，
则t=0a1≥0或t>0，∴t≥0，∴必要性成立，
∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，
故选：B．
  
7.【答案】D 
【解析】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；∀x∈R，f(−x)≠f(x)，B不正确；函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增，所以C不正确；函数f(x)的值域是[−1,1]，所以D正确．

不正确的选项为D．
故选：D．
画出函数的图象，判断选项即可．
本题考查函数的图象的应用，函数的值域以及函数的对称性的判断，考查计算能力．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
先得出直线过定点A(1,−1)，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出m的值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
【解答】
解：因为l：y−(−1)=m(x−1)，所以直线l过定点A(1,−1)，
圆C：x2+y2−4x−2y+1=0可化为(x−2)2+(y−1)2=4，
则圆心C(2,1)，r=2，
由圆的对称性可知，当AC⊥l时，P到直线l距离的最大，
则kAC=1−(−1)2−1=2,m=−1kAC=−12．
故选：A．
  
9.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查由部分图象求三角函数解析式、向量的数量积的概念及其运算、正弦型函数的图象变换，属于中档题．
由部分图像求g(x)的解析式，利用向量的数量积的概念及其运算求∠ABC的大小，进而求出函数g(x)的周期，根据T=2π2ω即可求出ω的值．
【解答】
解：因为函数g(x)= 3sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)的图象，
所以f(x)= 3sin(2ωx+φ)，
因为AB⋅BC=|AB|2，
|AB||BC|cos(180°−∠ABC)=|AB|2，
所以−|AB||BC|cos∠ABC=|AB|2，
因为2|AB|=|BC|，所以cos∠ABC=−12，
又∠ABC∈[0°,180°]，所以∠ABC=120°，
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，
则BE= 3，所以AE=BEtan60°=3，
所以周期T=3×4=12．
所以2π2ω=12，所以ω=π12，
故答案选：A．
  
10.【答案】B 
【解析】解：每碰一次，就少一个精灵，所以当最后只剩一个精灵时，碰了m+n−1次，
任意两个精灵相碰，有三种情况：
第一种情况：红色+红色→红色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；
第二种情况：蓝色+蓝色→红色，此时红色精灵增加1个，蓝色精灵减少2个；
第三种情况：红色+蓝色→蓝色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；
根据以上分析可知，每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，
也就是说，每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．
开始时，蓝色精灵有n个，
当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；
当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．
∴游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与n的奇偶性有关．
故选：B．
推导出每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，从而每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有n个，当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．
本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

11.【答案】y=−1  2 
【解析】解：抛物线x2=4y的准线方程为y=−1，焦点F的坐标为(0,1)，
因为点P(m,1)在抛物线x2=4y上，
由抛物线定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线y=−1的距离，
所以点P到焦点的距离为2．
故答案为：y=−1，2．
由抛物线方程求其准线方程，再结合抛物线定义求点P到焦点的距离．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．

12.【答案】2 5 
【解析】解：∵a=(1,2)，b=(3,x)，∴a+b=(4,2+x)，
∵a与a+b共线，
∴2+x=8，∴x=6，
∴b=(3,6)，∴a−b=(−2,−4)，
则|a−b|= (−2)2+(−4)2=2 5，
故答案为：2 5．
利用向量的坐标运算，向量的求模公式求解即可．
本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，属于基础题．

13.【答案】5 
【解析】解：设区域代号为x，种植密度为y1，单株产量为y2，
则x∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，
由图象可得种植密度y1是区域代号x的一次函数，
故设y1=kx+b，x∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，
由已知函数y1=kx+b的图象经过点(1,2.4)，(8,4.5)，
所以2.4=k+b4.5=8k+b，解得k=0.3b=2.1，
所以y1=0.3x+2.1，
由图象可得单株产量y2是区域代号x的一次函数，
故可设y2=mx+n，x∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，
观察图象可得当x=1时，y2=1.28，当x=8时，y2=0.72，
所以1.28=m+n0.72=8m+n，解得m=−0.08n=1.36，
所以y2=−0.08x+1.36，
所以总产量m(x)=(0.3x+2.1)(−0.08x+1.36)=−0.024(x2−10x−119)，
当x=5时，函数m(x)有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456．
故答案为：5．
分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值及取最大值的条件即可．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．

14.【答案】e
te对x∈R恒成立，由取大函数可知，只需将f(x)=e|x−t|，将左平移|t|个单位，且f(0)>e即可，
即e|t|>e，又由图可知t1，又由图可知t0，则an+1−1>0，
则an+1>1，
即对任意的n≥2，都有an>1，故①正确；
对于②：不妨设数列{an}为常数列，则an=an+1，由于an+12−an+1=an，故an2−an=an，整理得an=2，即a1=2时，数列{an}为常数列，故②错误；
对于③：an+1−an=2an+1−an+12=an+1(2−an+1)，又01e−32，
所以当x>x1时，不等式f(x)>1e−32的解为x>x1，
所以不等式f(x)>1e−32的解集为(−1,+∞)． 
【解析】(1)根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；
(2)利用导数判断函数f′(x)的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，由此确定函数f(x)的极值点的个数；
(3)根据函数f(x)的单调性，极值及f(−1)=1e−32确定不等式f(x)>1e−32的解集．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数解不等式，属难题．

20.【答案】解：(1)设椭圆C的半焦距为c>0，
由题意可得a2=b2+c22b2a=3e=ca=12，解得a=2b= 3c=1，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
(2)由(1)可得：F(1,0)，

根据题意可设直线l：y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(m,0)(m≠1)，
联立方程y=k(x−1)x24+y23=1，消去y得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，
则Δ=64k2−4(4k2+3)(4k2−12)=144(k2+1)>0，
可得x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2−124k2+3，①
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则kPA+kPB=y1x1−m+y2x2−m=0，
可得k(x1−1)x1−m+k(x2−1)x2−m=0，
因为k≠0，可得(x1−1)(x2−m)+(x1−m)(x2−1)=0，
整理得2x1x2−(m+1)(x1+x2)+2m=0，②
将①代入②得：2(4k2−12)4k2+3−8k2(m+1)4k2+3+2m=0，解得m=4，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P(4,0)． 
【解析】(1)根据题意列式求解a，b，c，即可得结果；
(2)根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．

21.【答案】解：(I)
法1：
1
2
3
−7
−2
1
0
1
改变第4列得：
1
2
3
7
−2
1
0
−1
改变第2行得：
1
2
3
7
2
−1
0
1
法2：
1
2
3
−7
−2
1
0
1
改变第2行得：
1
2
3
7
2
−1
0
−1
改变第4列得：
1
2
3
7
2
−1
0
1
法3：
1
2
3
−7
−2
1
0
1
改变第1列得：
−1
2
3
7
2
1
0
−1
改变第4列得：
−1
2
3
7
2
1
0
−1
(写出一种即可)                                                  …(3分)

(II)   每一列所有数之和分别为2，0，−2，0，每一行所有数之和分别为−1，1；
①如果操作第三列，则
a
a2−1
a
−a2
2−a
1−a2
−a+2
a2
则第一行之和为2a−1，第二行之和为5−2a，
2a−1≥05−2a≥0，解得a=1，a=2.…(6分)
②如果操作第一行
−a
−a2+1
a
a2
2−a
1−a2
a−2
a2
则每一列之和分别为2−2a，2−2a2，2a−2，2a2
解得a=1                                     …(9分)
综上a=1                                             …(10分)
(III) 证明：按要求对某行(或某列)操作一次时，则该行的行和(或该列的列和)
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和(或该列的列和)增大，
从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1−(−1)=2，
但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号，而不改变其绝对值，
显然，数表中mn个数之和必然小于等于i=1mj=1n|aij|，
可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …(13分) 
【解析】解：(I)根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得(写出一种即可) 
(II)  每一列所有数之和分别为2，0，−2，0，每一行所有数之和分别为−1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a−1，第二行之和为5−2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；
(III) 按要求对某行(或某列)操作一次时，则该行的行和(或该列的列和)，由负整数变为正整数，都会引起该行的行和(或该列的列和)增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1−(−1)=2，但是每次操作都只
是改变数表中某行(或某列)各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于i=1mj=1n|aij|，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．
本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．