广东实验中学金湾学校2022-2023年高二下学期6月月考数学试卷及参考答案

广东实验中学金湾学校2022-2023学年下学期6月月考

高二数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一、单选题（每题5分，共40分）

1．函数的导函数为（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则（    ）

A． B．0 C．1 D．

3．在数列中，，，则的值为（    ）

A．5 B． C． D．以上都不对

4．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为．则（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）．

A．         B．        C．       D．

7．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（    ）

A．42 B．22 C．20 D．15

8．已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据：

经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（    ）

A．样本中心点为           B．

C．时，残差为         D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大

10．下列结论正确的是（    ）

A．若随机变量的方差，则

B．若随机变量服从二项分布，且，则

C．若随机变量服从正态分布，，则

D．掷一枚均匀的硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，则

11．对于数列，定义为的“优值”.现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．     B．     C．      D．的最小值为

12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（   ）

A．     B．     C．     D．

三、填空题（每题5分，共20分）

13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=___________.

14．函数的零点个数是__________．

15．每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为__________.

16．已知的展开式中含项的系数为，则______.

四、解答题

17．（10分）的展开式一共有7项．

（1）求展开式中二项式系数之和；

（2）求展开式中的常数项

18．（12分）已知数列的前项和为，且满足.为等差数列，其前项和为，如图________，的图象经过两个点.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.从图1，图2，图3中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.

19．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.

20．（12分）已知函数在处有极值2．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：．

21．（12分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．

(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）

(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．

（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；

（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．

参考公式：（其中为样本容量）

22．（12分）设函数.

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；

(2)若对任意恒成立，求的取值范围.

参考答案

1．D【分析】根据函数直接求解即可.

【详解】.

故选：D.

2．D【分析】根据赋值法，分别令可解.

【详解】令得：,

令得：，

所以.

故选：D

3．C【分析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.

【详解】，，

，

，

，

数列是以3为周期的数列，

，

故选：C．

4．C

【分析】以内的素数有四个，而以内的孪生素数有，根据古典概型的概率公式计算即可.

【详解】由题知，

以内的素数有，，，，

则是，，，，

符合孪生素数的有，

则所求概率为.

故选：C

5．C

【分析】先求出数列的通项公式为，利用裂项相消法求出.

【详解】数列的前n项和满足，

所以，当n=1时，；

当时，.

经检验，对n=1也成立.

所以.

所以

所以.

故选：C

6．D

【分析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.

【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，

故选：D

7．B

【分析】根据给定的信息，利用组合知识分类列式求解作答.

【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有种，

电平信号的6个数字中有5个0，有种，电平信号的6个数字中有6个0，有种，

由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为.

故选：B

8．C

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数的单调性即可比较大小.

【详解】设，则，

当时，，则为增函数；

当时，，则为减函数．所以， ，又，，，且在上单调递减，所以，所以．

故选：C．

9．ABC

【分析】求出可判断A；将样本中心点代入可判断B；求出当时观则值和预测值，求出残差可判断C；因为样本中心点为，所以去掉样本点，则样本的相关系数不变可判断D.

【详解】对于A，，

故样本中心点为，故A正确；

对于B，经验回归方程过样本中心点，解得：，故B正确；

对于C，当时观则值为，预测值为，故残差为，故C正确；

对于D，因为样本中心点为，所以去掉样本点，则样本的相关系数不变，故D不正确.

故选：ABC.

10．BC

【分析】对于A：直接利用方差的性质进行计算；对于B：根据二项分布中数学期望的计算公式列方程，解出；对于C：由正态分布的性质，直接求得；对于D：由事件A、B不互斥，即可判断.

【详解】对于A：若随机变量的方差，则.故A错误；

对于B：因为随机变量服从二项分布，且，所以，解得：.故B正确；

对于C：由正态分布的性质，由，则，所以.故C正确；

对于D：掷一枚均匀的硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，因为事件A、B不互斥，所以.故D错误.

故选：BC

11．ACD

【分析】根据所给，可得当时，，利用作差的方法求出判断A，再由等差数列求和公式求出判断B，由分析数列的项的符号变化情况判断C，求出判断D.

【详解】由题意可知，，则①，

当时，，

当时，②，

①-②得，，解得，当时也成立，，A正确； ，B错误；

，当时，即，且，故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，CD正确.

故选：ACD.

12．AB

【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可.

【详解】令，

则，

因为恒成立，

所以恒成立，

所以在上递减，

所以，

即，

所以，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

故D错误.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.

13．50

【分析】根据等比数列的下标性质，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】根据等比数列的性质可得，

所以.

令，

则，

于是 ，

所以.

故答案为：50

14．2

【分析】结合的图象以及导数确定正确选项.

【详解】，

画出与的图象如下图所示，

当时，，

，所以在曲线图象上点的切线方程为，即.

由图可知与有两个公共点，即有两个零点.

故答案为：

15．

【分析】利用全概率公式列方程求解即可.

【详解】从某高校中任意调查一名学生，记该学生近视为事件A，记该学生每天操作电子产品超过1h为事件B，则从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.

由题可知，，.

由全概率公式得

即

解得，

即从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.

故答案为：.

16．/

【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解.

【详解】，

又的展开式通项为，

的展开式通项为，

，解得.

故答案为：.

17．（1）；（2）.

【分析】（1）由展开式项数得，从而由二项式系数的性质得结论；

（2）写出展开式通项公式，得常数项所在项数后可得结论．

【详解】解：（1）由的展开式一共有7项得，

所以，的展开式中二项式系数之和为；

（2）由得：展开式的通项为，

令，得，所以展开式中的常数项为．

18．（1）；（2）选图1：；选图2：；选图3：.

【分析】（1）由，再根据直接求解；

（2）由为等差数列，再由图知与的值，可得的通项公式，进而求得，再利用错位相减法求得其前项和.

【详解】（1）由，

得当时，；

当时，，

综上所述，；

（2）设等差数列的公差为，

选图1：可得，，

即，解得，

则，

，

①

②

①②得：

，

化简得；

选图2：可得，，

即，解得，

则，

，

①

②

①②得：

，

化简得；

选图3：可得，，

即，解得，

则，

，

①

②

①②得：

，

化简得.

19．(1)分布列答案见解析，数学期望：

(2)分布列答案见解析，数学期望：

(3)答案见解析

【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；

（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；

（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.

【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，

因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，

所以的所有可能取值为，则

，

所以的分布列为

所以的数学期望为.

（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，

则，

，

，

所以的分布列为

所以的数学期望为.

（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，

即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，

回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.

回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.

20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】（Ⅰ）求出导函数，由且求得，并检验0是极值点；

（Ⅱ）不等式化为，引入函数，由导数求得的最小值，最小值大于0，从而证得不等式成立．

【详解】（Ⅰ）解：由已知，，则

解得，  

经检验，符合题意.     

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，．

要证，

只需证．

即．         

令，则．   

令，解得．                 

，的变化情况如下表所示．

所以，时，有最小值．

故成立

21．(1)表格见解析，可以认为(2)（i）；（ii）109或110．

【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；

(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：

在内有（只）；

在内有（只）；

在内有（只）；

在内有（只），

在内有（只）．

由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；

而指标值小于60的小白鼠共有只，

所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，

同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，

故列联表如下：单位：只

零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．

根据列联表中数据，得，

根据的独立性检验，推断不成立，

即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，

此推断犯错误的概率不大于0.05.

（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，

事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，

事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，

记事件A，B，C发生的概率分别为，

则，，

，

所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，

（ii）由题意，知随机变量，

，

因为最大，

所以，

解得

是整数，所以或，

接受接种试验的人数为109或110．

22．(1)的单调减区间为，单调增区间为.

(2)

【分析】（1）由导数的几何意义结合题意先求出，再用导数法研究函数的单调性即可；

（2）令，由题意可知在上单调递减，则在上恒成立，即可转化为求二次函数的最值问题，即可求解

【详解】（1）由，知，且，

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，

所以，得，                                   

所以，

令，得，在上单调递减；

令，得，在上单调递增；

综上，的单调减区间为，单调增区间为.

（2）因为，恒成立，

则有，对恒成立，

令，则对恒成立，

所以在上单调递减，

所以在上恒成立，

故恒成立，           

令，则.

所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数，则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．