2023年海南省重点大学实验中学高考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

这是一份2023年海南省重点大学实验中学高考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年海南省重点大学实验中学高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知全集，集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  从分别写有，，，，的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(    )A.  B.  C.  D. 5.  某班级有名学生，期中考试数学成绩，已知，则的人数为(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知等差数列，的前项和分别为，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆离心率的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数，其中为正整数，且为常数若对于任意，函数在内均存在唯一零点，则实数的取值范围为(    )A.  B.
C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列关于双曲线说法正确的是(    )A. 实轴长为
B. 与双曲线有相同的渐近线
C. 焦点到渐近线距离为
D. 与椭圆有同样的焦点10.  已知函数，若存在，，，使，则的值可以是(    )A.  B.  C.  D. 11.  如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是(    )A. 当点为棱中点时，截面的周长为
B. 线段长度的取值范围是
C. 当点与点重合时，三棱锥的体积为
D. 存在点，使得12.  已知，，都为正数，且，则(    )A.  B.  C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知，则的值等于______ ．14.  一组数据由个数组成，将其中一个数由改为，另一个数由改为，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为______ ．15.  已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______ ．16.  已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，，则 ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知函数的图象如图所示将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．
求的解析式；
的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积．
18.  本小题分
设等差数列的前项和为，已知，且是与的等差中项．
求的值；
若集合中最小的元素为，求实数的取值范围．19.  本小题分
如图，在正六棱柱中，，，分别为，的中点．
证明：，，，四点共面；
求平面与平面所成角的正弦值．
20.  本小题分
为了解某班学生喜爱打羽毛球是否与性别有关，故对本班名学生进行问卷调查，得到了如下的列联表：  喜爱不喜爱合计男  女  合计  已知在全班人中随机抽取人，抽到喜爱打羽毛球的学生的概率为．
请将上面的列联表补充完整，并推断是否有的把握认为学生喜爱打羽毛球与性别有关；
采用分层抽样的方法在喜爱打羽毛球的学生中抽取人，再选出人参加学校组织的羽毛球比赛，记选出的人中女生数为，求的分布列及数学期望．
附：，．  21.  本小题分
已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的一个动点，且点到右焦点距离的最大值为．
求椭圆的方程；
已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．22.  本小题分
已知，函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：全集，
集合，，
则，
则，
故选：．
根据集合的运算求出，的并集，从而求出．
本题考查了集合的运算，考查集合的表示，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
所以．
故选：．
利用复数除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：因为，，
则，则，
，则，
．
故选：．
计算，，再利用和差公式计算得到答案．
本题主要考查了同角基本关系，诱导公式，和差角公式的应用，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】本题考查概率的求法，注意列举法的合理运用，属于基础题．
用列举法求出基本事件总数和抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出概率．【解答】解：有放回地从张标签随机地选取两张标签的基本事件有，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，共有种．
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
，，，，，，
，，，，
共有个基本事件，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
故选D．  5.【答案】 【解析】解：期中考试数学成绩，
考试的成绩关于对称，
，
，
，
的人数为
故选：．
根据考试的成绩，得到考试的成绩关于对称，根据，得到，从而得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
 6.【答案】 【解析】解：，即，
又等差数列的前项和形式满足，，
故，
则，，
故．
故选：．
根据等差数列的前项和形式满足，，再根据，拼凑对应的形式，进而用，表达，求解即可．
本题考查等差数列的前项和性质，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：连接，与左右焦点，的连线，由，
由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，
在三角形中，，
所以，
即，当且仅当时取等号，
即，可得，所以椭圆的离心率
故选：．
连接，与左右焦点，的连线，由，在三角形中利用余弦定理，结合基本不等式，转化求解离心率的范围即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：函数的导数，
当时，恒成立，
函数在上单调递增，
若函数在内均存在唯一零点只需即可，
即，
为正整数，，
对一切成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
．
故选：．
求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数零点存在定理，建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查函数零点存在定理的应用，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数零点存在条件转化为不等式关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由双曲线，得，，，，，故A正确；
双曲线的标准方程为，，，，，
渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为故B正确；
双曲线的焦点到渐近线方程为的距离为，故C错误，
由椭圆得，，故椭圆的焦点为，故D正确．
故选：．
利用双曲线的方程，依据每个选项的条件逐项计算可判断每个选项的正确性．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 10.【答案】 【解析】解：存在，，，使，即，
令，则且，故且，
结合范围知：且，即在内至少存在两个值，
若，则，可得满足；
若，则，可得，
又，
故，
综上，．
故选：．
由题设，令得且，结合给定定义域区间有且，在满足存在两个整数，进而确定范围，即可得结果．
本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：在直三棱柱中，，，为的中点，则，
延长交延长线于，连接交于，如图，令，
于是，，所以，
由可得，所以，
 
对于，当点为棱中点时，，，，
，，，，
故截面的周长为故正确；
对于，在上单调递增，所以长度的取值范围是，故正确；
对于，当点与点重合时，如图，，，，三棱锥的体积：
，故正确；
对于，取上靠近点的四等分点，则即在平面内的射影，
要使，只要即可．由∽，得，
则，所以不存在点，使得，故D不正确．

故选：．
根据题意，延长交延长线于，连接交于，令，再对各项逐一进行分析即可．
本题考查棱柱的几何特征及棱锥的体积，考查学生的运算能力、转化思想，属于难题．
 12.【答案】 【解析】解：令，则，，，
所以，B错误；
注意等号不成立，故，A正确；
注意等号不成立，则，C正确；
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确．
故选：．
令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断、，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断．
本题主要考查了指数与对数的相互转化，还考查了对数的运算性质的应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：令，则；
令，则，上述两式相加得，故．
故答案为：．
分别令和，再将两个等式相加可求得的值．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：一个数由改为，另一个数由改为，故该组数据的平均数不变，
设没有改变的个数分别为，，，，
原一组数的方差，
新数据的方差，
所以．
故答案为：．
由方差公式求出原一组数的方差和新数据的方差，相减即可得出答案．
本题主要考查了方差的计算，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：因为向量在上的投影向量为，所以，
又为单位向量，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故．
故答案为：．
结合投影向量的概念得到，再根据平面向量垂直及数量积的运算律列式计算即可求解．
本题主要考查了投影向量的概念，考查了向量的数量积运算，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：，则，，
即，
设，函数在上单调递增，
，则，即．
故答案为：．
确定，，设，根据函数单调递增得到，得到答案．
本题主要考查了对数的运算性质及函数的单调性的应用，属于基础题．
 17.【答案】解：由图可知，，解得：，
所以，即：，
将点代入得，
所以，，解得：，，
所以，
所以，
因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，
所以．
因为，所以，
由，得，，
因为，
所以，即：，
所以由，得，
所以由，得，
所以，
由正弦定理，得，
所以的面积． 【解析】运用三角函数周期性、五点法求出解析式，运用图象平移变换及诱导公式求出解析式．
运用二倍角公式、平方公式求得、、、的值，运用诱导公式及和角公式求得，结合正弦定理可求得，运用三角形面积求解即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
 18.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为，
则，解之得，则
由得等差数列的首项为，公差为，则，
由集合中最小的元素为，
可得满足不等式的最小正整数为，
则，解之得，
则实数的取值范围为． 【解析】利用题给条件列出关于的方程组，解之即可求得的值；
利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：取的中点，连接，，，
又为的中点，再结合正六棱柱的性质易得：
，且，
四边形为平行四边形，
，又，均为对应棱的中点，
，
，
，，，四点共面；
根据正六棱柱的性质可得：，，两两相互垂直，
分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图的空间坐标系，
则根据题意可得：，，，
，，，
，，，
根据正六棱柱的性质易知平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，取，
平面与平面所成角的余弦值为：
，
平面与平面所成角的正弦值为． 【解析】根据平行线的传递性，平行直线确定唯一平面，即可证明；
建系，根据正六棱柱的性质及空间向量法即可求解．
本题考查平行线的传递性，平行直线确定唯一平面，向量法求解面面角问题，属中档题．
 20.【答案】解：因为全班人中随机抽取人，抽到喜爱打羽毛球的学生的概率为，
所以喜爱打羽毛球的学生的人数为，其中男生为人，女生人，
故可得到列联表：  喜爱不喜爱合计男女合计又，
所以没有的把握认为学生喜爱打羽毛球与性别有关．
用分层抽样的方法在喜爱打羽毛球的学生中抽取人，其中男生人，女生人，所以的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为： 的数学期望． 【解析】利用条件求出喜爱打羽毛球的学生的人数，从而得出列联表，根据列联表求出，进而判断出结果；
利用条件可知的可能取值，再利用古典概率公式求出相应的概率，从而求出分布列及期望．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于中档题．
 21.【答案】解：椭圆的离心率为，
又点到右焦点距离的最大值为，即，
解得，．
又由，可得，
椭圆的方程为：；
由题意，设直线的方程为，
联立得，
设，，
则，，

，
当且仅当即时取等号．
所求直线的方程为或．
 【解析】根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出、即可求解；
设直线的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解．
本题考查线面平行的证明，化归转化思想，属中档题．
 22.【答案】解：当时，，所以，
所以，，
所以切线方程为，
即．
由题意得，即，
因为，所以，
设，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，
又时，，又时，，所以存在，使，
令，因为，
所以当时，，即在区间上单调递减，
当时，，即在区间上单调递增，
所以，所以，
即，得到，当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号，所以，又，
所以的取值范围是． 【解析】根据导数的几何意义即可求出切线方程；
将原不等式变形为，设，构造函数，根据导数研究函数的最小值和零点的存在性定理可得当且仅当时“”成立，进而求出结果．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，构造函数转化成求函数的最值来求解，属难题．