2023年广东省大联考高考数学模拟试卷（二）（4月份）（含解析）

这是一份2023年广东省大联考高考数学模拟试卷（二）（4月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省大联考高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若，则复数的实部为(    )A.  B.  C.  D. 2.  以下函数满足的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  设集合，，则(    )A. 集合的非空子集有个 B. 集合的非空子集有个
C. 集合的非空子集有个 D. 集合的非空子集有个4.  沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为(    )A.
B.
C.
D. 5.  设满足，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列(    )A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 先递增后递减 D. 先递减后递增7.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点，若，，则的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知高和底面边长均为的正四棱锥，则(    )A.
B. 与底面的夹角的正弦值为
C. 二面角的平面角的正切值为
D. 四棱锥的体积为10.  已知曲线关于轴对称，设函数，则(    )A.  B. 的最小正周期是
C. 的值域是 D. 在区间上单调递减11.  已知随机变量和的分布列如下，与的取值互不影响，则(    )  
  A. 存在，使得 B.
C. 若服从二项分布，则 D. 12.  已知抛物线：的焦点为，为上位于直线右侧的一个动点，为坐标原点，则下列说法正确的是表示斜率，表示面积(    )A. 若，，，则
B. 若满足，则
C. 若直线交于另一点，则
D. 若直线交于，两点，且，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  曲线在点处的切线方程是______ ．14.  的展开式中，的系数是______ ．15.  已知正数，满足，则的最小值为______ ．16.  已知点，，，点满足，则的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知正项等比数列和其前项和满足，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ在和之间插入个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数的最小值．18.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，且．
求的值；
若为上一点，且，求角的最大值．19.  本小题分
已知盒中放有个乒乓球，其中个是新的，个是旧的第一次比赛时，从中一次性任意取出个来用，用完后仍放回盒中新球用后成了旧球；第二次比赛时从中任意取出个．
Ⅰ记第一次比赛时从盒中取出的个球中旧球的个数为，求的分布列与数学期望；
Ⅱ求第二次比赛时取出的球为新球的概率．20.  本小题分
图是边长为的正方形，将沿折起得到如图所示的三棱锥，且．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ点是棱上不同于，的动点，设，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
21.  本小题分
已知点为椭圆：上的一点，点．
Ⅰ求的离心率；
Ⅱ若直线交于，两点不与点重合，且直线，，的斜率满足，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．22.  本小题分
已知函数，．
Ⅰ若在区间上单调递增，求的取值范围；
Ⅱ若，求在区间上的值域；
Ⅲ证明：，

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：设，
，
则，即，
所以，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：若函数满足，则函数为奇函数，
对于，函数的定义域为，，即，所以为奇函数，故A正确；
对于，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故B错误；
对于，由可得，，即函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故C错误；
对于，函数的定义域为，，所以为偶函数，故D错误．
故选：．
若函数满足，则函数为奇函数，再利用奇函数的定义逐个分析各个选项即可．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由题意，集合中有无数个点元素，
故集合有无数个非空子集，
集合中有个元素，如图：直线与圆相交，
，
故集合有个非空子集．
故选：．
根据集合的定义，集合运算，直线与圆的位置关系判断即可．
本题考查集合中非空子集的求法，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，沙漏是由两个圆锥组成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高为，
设沙漏下半部分圆锥的体积为，沙子上方圆锥的体积为，
由于沙子体积占该沙漏容积的，即，
则，故剩余空间的高为圆锥高的一半，故沙子堆积成的圆台的高为．
故选：．
根据题意，设沙漏下半部分圆锥的体积为，沙子上方圆锥的体积为，分析可得，变形可得，故剩余空间的高为圆锥高的一半，由此分析可得答案．
本题考查圆台、圆锥的体积计算，注意圆台、圆锥的体积公式，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：满足，，即，
，，即，，
则．
故选：．
由题意利用两角差的正弦公式求得，由此可得的值，再利用诱导公式，可得的值．
本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：设为常数，，
，，易得，
，
，数列为递增数列．
故选：．
证明，数列则为递增数列．
本题考查数列的单调性，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：令，则，
当时，，单调递增，
所以，
所以，即，
由三角函数线的知识可知，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
即，
所以，
所以，
即，
综上所述：．
故选：．
令，利用导数确定函数的单调性，从而可得与的大小关系，令，，利用导数及三角函数线的知识，即可得与的大小关系，从而即可答案．
本题考查了导数的综合运用及三角函数的性质，难点在于构造函数及，，属于难题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意知，，且，都在双曲线的右支上，
设，则，，，
在中，，得，
在中，，得．
故选：．
由题意知，，且，都在双曲线的右支上，设，求出，，，利用勾股定理即可求解．
本题主要考查双曲线的离心率的求法，考查运算求解能力，属于中档题
 9.【答案】 【解析】解：设正方形中心为，
高和底面边长均为，
，，
则，故A正确；
平面，
是与底面的夹角，则，故B错误；
取中点，则，，即为所求角，则，故C正确；
，故D正确．
故选：．
根据正四棱锥的边长关系，分别进行计算即可．
本题主要考查空间角和棱锥体积的计算，根据线面角和二面角的定义找出线面角和二面角的平面角，进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由于曲线关于轴对称，故函数为偶函数，
可得，，故A错误．
函数，
当为偶数时，，
故的最小正周期为，故B正确．
显然，的值域为，故C错误．
在区间上，，故函数单调递减，故D正确．
当为奇数时，，
故它的最小正周期为，故B正确．
显然，它的值域为，故C错误．
在区间上，，故函数单调递减，故D正确．
综上可得，BD正确，AC错误
故选：．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：由已知得，且  解得．
对于，因为，的取值互不影响，所以，
若项成立，则有，
所以，所以，不符合条件，故A错误；
对于，，，
则，故B错误；
对于，设，则，得，
再由，可得，故C正确；
对于，，，
，，
，
所以，又，
所以，故D正确．
故选：．
分布列中概率和恒为，可根据分布列求出的范围，由此判断，B错误；，项按照公式分别计算各自的期望即可．
本题考查随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：时，抛物线，
因为当时，，，
为上位于焦点右侧的一个动点，，
所以，所以，
当且仅当，即时取得等号，
因为，所以，
所以，
又，，A正确；
，又，
，B正确；
设，
消得，
取等，
又，，C正确；
设，
设，
同理：，
，
，当且仅当时，，D错误．
故选：．
利用斜率公式以及基本不等式可求解，利用抛物线的定义可求解，利用直线与抛物线的关系以及韦达定理可求解，．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由，得，
，又时，，
曲线在点处的切线方程是．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出时的函数值，利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档题．
 14.【答案】 【解析】解：的展开式的通项为，
令，，
的展开式中，的系数是．
故答案为：．
根据二项展开式的通项，方程思想即可求解．
本题考查二项展开式的通项，方程思想，属基础题．
 15.【答案】 【解析】解：因为正数，满足，
所以，
则
，
当且仅当且，即，时取等号．
故答案为：．
由已知结合乘法，利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：易知点的轨迹方程为，
设，则，为参数且，
．
当时，，
当时，，令，，，
时取等号，
即，的最大值为．
故答案为：．
的轨迹方程为，利用参数法求的最大值即可．
本题考查本题考查三角换元求最值，轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于中档题．
 17.【答案】解：设等比数列的公比为，
由题意得，
解得，，
故；
由题意可得，，
则，
故数列单调递增，
因为，，
故满足题意的的最小值为． 【解析】由已知结合等比数列的通项公式即可求解；
先求出，然后结合数列的单调性即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式，等差数列的性质及数列单调性的应用，属于中档题．
 18.【答案】解：，
根据正弦定理可得，
，
，，
根据正弦定理可得，，
；
，，
，又，，
，又根据余弦定理可得：
，当且仅当取得等号，
，，
，
，又，
，，
的最大值为． 【解析】根据正弦定理，三角函数公式，即可求解；
根据向量垂直的性质，三角形面积公式，余弦定理，重要不等式，三角函数的辅助角公式，解三角方程，即可求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，重要不等式的应用，三角函数公式的应用，三角不等式的求解，属中档题．
 19.【答案】解：Ⅰ依题意，从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：所以；
Ⅱ设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，，
由Ⅰ可得，，，，
根据题意，，，，，
所以根据全概率公式可得． 【解析】解：Ⅰ从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，，然后根据等可能事件的概率公式可求，然后结合分布列公式及期望公式可求；
Ⅱ设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，，结合条件概率全概率公式
可求．
本题主要考查了全概率公式及超几何分布的应用，属于中档题．
 20.【答案】解：Ⅰ由于正方形的边长为，所以．
取的中点，连接，，由题意，得，
再由，可得，即，
由题易知，又，所以平面，又平面，
所以平面平面．
Ⅱ由Ⅰ可知，，又，
于是可分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．
所以．
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的法向量为，
同理可得平面的一个法向量为．
，，
设，，则上式可化为，
即，所以或舍去，
所以，解得． 【解析】Ⅰ由已知易得，，可证平面平面；
Ⅱ分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．设，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，进而可求得的值．
本题考查面面垂直的证明以及利用空间向量计算二面角，属中档题．
 21.【答案】解：Ⅰ因为在上，
所以，解得或舍去，
故，
的离心率为；
Ⅱ设：，联立方程组，
消去可得，
则，
所以，，
以
，
由题意得，
整理得，
所以或，
因为：不过点，
故，此时过定点． 【解析】先把代入可求，进而可求椭圆方程及离心率；
先设：，联立方程组，结合方程的根与系数关系及直线的斜率公式可得与的关系，进而可求直线所经过的定点．
本题考查椭圆方程的求解，还考查了椭圆性质的综合应用，属于中档题．
 22.【答案】解：Ⅰ因为，，
所以，，
又因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由余弦函数的性质可知在上最小值为，
所以，
即的取值范围为；
Ⅱ当，，所以，
又因为，
令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
，，
所以，
所以函数的值域为：；
Ⅲ证明：当时，，
由Ⅱ可知，
所以，
所以，
又因为，
所以 【解析】Ⅰ由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，由余弦函数的性质求在上最小值即可得答案；
Ⅱ利用导数，确定函数在上单调性，再求出最小、最大值即得答案；
Ⅲ因为当时，，，从而可得以，又由，即可得证．
本题考查了余弦函数的性质、转化思想、导数的综合运用及用放缩法证明不等式，属于难题．