2023年甘肃省定西市高考数学模拟试卷（理科）（含解析）

2023年甘肃省定西市高考数学模拟试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有名，参加脱口秀社团的有名，则该年级(    )

A. 参加社团的同学的总人数为
B. 参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的
C. 参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多人
D. 从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为

4.  已知角的顶点是坐标原点，始边是轴正半轴，终边过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则侧左视图中的(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐某新能源汽车制造企业为调查其旗下型号新能源汽车的耗电量单位：情况，随机调查得到了个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若样本中耗电量不小于的汽车大约有辆，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上一点，，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦秦九韶公式已知中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知双曲线：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数 ______ ．

14.  若的展开式中的系数与的系数相等，则实数 ______ ．

15.  已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______ ．

16.  如图，四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是棱上一点，则当截面的周长最短时，与所成角的余弦值等于______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列满足，
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．

18.  本小题分
年春节期间，科幻电影流浪地球上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩某平台为了解观众对该影片的评价情况评价结果仅有“好评”“差评”，从平台所有参与评价的观众中随机抽取人进行调查，数据如下表所示单位：人：

判断是否有的把握认为对该部影片的评价与性别有关？
若将频率视为概率，从所有给出“差评”的观众中随机抽取人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，与交于点，底面，，点，分别是棱，的中点，连接，，．
求证：平面平面；
求二面角的正弦值．

20.  本小题分
已知点到点的距离比它到直线：的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
若过点的直线交于，两点，则在轴的正半轴上是否存在点，使得，分别交于另外两点，，且？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间；
若函数有两个极值点，，且，求证：．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求曲线的极坐标方程；
若直线与曲线交于，两点，求．

23.  本小题分
已知．
求不等式的解集；
若的最小值为，且实数，，满足，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，
所以，，或，
所以，
故选：．
根据对数函数的单调性可化简，根据集合的交并补运算即可求解．
本题主要考查了集合交并补集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由得，
所以．
故选：．
根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的概念求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，参加社团的同学的总人数为，故A错误；
对于，因为参加社团的同学的总人数为人，参加脱口秀社团的有名，
所以参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的百分比为，
所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的百分比为，故B错误；
对于，参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多人，故C错误；
对于，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，故D正确．
故选：．
根据统计图表中的信息逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：角的顶点是坐标原点，始边是轴正半轴，终边过点，，，，
，，，
故选：．
利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面是等腰三角形，一条侧棱垂直等腰三角形的顶点，
所以几何体的体积为：，解得．
故选：．
判断几何体的形状，利用三视图的数据，通过几何体的体积，转化求解即可．
本题考查三视图求解几何体的体积的应用，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为函数满足，可得，
又因为函数为奇函数，所以，
所以，即，
所以函数是周期为的周期函数，
因为当时，，且函数为奇函数，
可得．
故选：．
根据题意推得，得到函数是周期为的周期函数，结合题设条件和函数的周期性，得到，代入即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：样本中耗电量不小于的汽车大约有辆，
则，
该型号新能源汽车的耗电量，
则．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由椭圆：，可得，，
，，右焦点分别为，
，，
，
当且仅当，，在同一直线上，且在，之间时取等号，
的最大值为．
故选：．
利用，可求的最大值．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，因为，所以，又，所以，
可得，且，
故的面积，
当且仅当，即时取等号，
故面积的最大值为．
故选：．
根据海伦秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值．
本题考查求三角形面积的最大值，考查基本不等式的应用，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
故图象向右平移个单位长度得到，
又，
令，，解得，，
当时，取得最小正值，最小正值为．
故选：．
先利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公式求出，，得到最小正值．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，
，，，，
双曲线的方程可化为，
根据题意可设直线方程为，
联立，可得，
设，，
则，，

，
又根据双曲线的定义可得，，
，
，
的周长为，
，，
双曲线的方程为．
故选：．
根据双曲线：的渐近线方程为，可得，，再根据弦长公式及双曲线的定义，将的周长用表示，从而可求出，进而得，从而得解．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，弦长公式的应用，方程思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
可得，
设，，可得，
所以单调递减，
则，即，
所以；
又由，
设函数，，可得，
当时，，单调递增，
所以，即，所以，
所以．
故选：．
化简，，，得到，，构造函数，和，，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解．
本题考查导数的综合运用，考查实数的大小比较，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由得，
所以，
由于在处的切线与直线垂直，
所以．
故答案为：．
求导，得切线的斜率，根据两直线垂直满足斜率相乘为即可求解．
本题主要考查导数及其几何意义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为的展开式的通项公式为，
且的系数与的系数相等，
则，即，所以，
且，所以．
故答案为：．
根据题意，写出二项式展开式的通项公式，由条件列出方程，即可得到结果．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意，若向量，设，
又由与的夹角为钝角，则，必有，
的坐标可以为．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，设，由数量积的计算公式可得关于的不等式，求出的取值范围，举出特殊值即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的分析，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，，
平面，平面，
，，，平面，
平面，故BC平面，
，将矩形沿旋转到与在同一平面，如图，
连接，此时交于点，的最小值为，，，
故的最小值为，此时，
，

过作交于，连接，，如图，
由题意可得，故为异面直线与所成的角，
又，，，，平面，
平面，故EF，，
又可得，，，
．
故答案为：．
矩形沿旋转到与在同一平面，的最小值为，可得，过作交于，连接，，为异面直线与所成的角，求解即可．
本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
 

17.【答案】解：数列满足，，



．
，
，
，
，得：


，
． 

【解析】由，，利用累加法能求出数列的通项公式．
由，利用错位相减法能求出数列的前项和．
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和错位相减法的合理运用．
 

18.【答案】解：由二联表可得，
所以有的把握认为对该部影片的评价与性别有关．
所有给出“差评”的观众中随机抽取一名男观众的概率为，随机抽取一名女观众的概率为，
表示被抽到的男性观众的人数，则，
，，，，，
所以的分布列为：

数学期望为． 

【解析】根据的计算公式计算，即可与临界值比较求解；
根据二项分布的概率公式计算概率，即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
 

19.【答案】证明：由于点，分别是棱，的中点，
，，
，
平面，平面，
平面，
又是的中点，
，
平面，平面，
平面．
由于，，平面，
所以平面平面．
解：由于底面，底面为菱形，
，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，
所以，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，令，得，，即，
，令，得，，即，
设二面角的平面角为，
则，，
则，
即二面角的正弦值为． 

【解析】利用面面平行的判定定理进行证明即可．
建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查面面平行的证明以及二面角的计算，利用面面平行的判定定理，建立坐标系，求出平面法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】解：因为点到点的距离比它到直线：的距离小，
所以点到点的距离等于它到直线：的距离，
则点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线的方程为．
设，，
由得：，且，得，
即，所以，
代入抛物线方程，得，
整理得，同理可得
故，是方程的两根，，
由韦达定理可得，
由题意，直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
与抛物线方程联立可得，
易得，由韦达定理可得，，
由可得，
故在轴的正半轴上存在一点满足条件．
 

【解析】根据点到点的距离等于它到直线：的距离，结合抛物线的定义得出抛物线的标准方程；
设，，由结合抛物线方程得出，是方程的两根，设直线的方程为，并与抛物线方程联立结合韦达定理得出点坐标．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 

21.【答案】解：函数的定义域为，．
当时，即时，，在上单调递增；
当时，由得，，
故在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增；
当时，原函数实质上为二次函数，则在上递减，在上递增．
当时，由得，舍，
在上单调递减，在上单调递增．
证明：由Ⅰ得若函数有两个极值点，，且，
则，，，
，且，即可得
要证，
令，，
，
在递增，
，
命题得证． 

【解析】求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数的单调性；
所证问题转化为，令，，根据函数的单调性证明即可．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的构造与运用，转化思想．属于中档题
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为．
直线的极坐标方程为，
故，
故，
所以，，
所以． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：，
当时，，
，
所以，
解得；
时，，
无解；
时，，
，
所以，
解得；
综上所述，不等式的解集为．
证明：，
所以，
所，
，
当且仅当时，即时，即，即或时等号成立．
故． 

【解析】分类讨论不等式即可求解；
根据基本不等式即可求解．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．